线段的垂直平分线PPT课件

4,如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于 一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心 之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三 种连接方案： （1）AB+BC （2）AD+BC(D为BC的中点) （3）OA+OB+OC(O 为△ABC三边的垂直平分线的交点) 要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？
A
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半
径作弧，与直线l 相交于点A和B．
C 2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
B
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四 学以致用
.
1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的 等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征?
老师提示:先分析,作出示意图形,再按要
求去作图.
2.如图，已知△ABC，求作： （1）AC边上的高；（2）BC边上的高. A
P● Q●
(1) R●
P● Q●
R● (2)
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.
P● Q●
(1) R●
P● Q●
R● (2)
(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心 G的位置;
(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ 是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在 什么位置? (3).你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?
结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么? 与同伴交流.
结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
MNAB
学习目标
PCAPCB90 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一 点到三个顶点的距离相等；
ACBC,PCPC 2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底 边及底边上的高作出等腰三角形.
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二 学习新知
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条 边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
线段的垂直平分线(2)
一 回顾与思考
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等 如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一
M P
点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). A
C
B
老师提示:这个结论是经常用来证明两条N
线段相等的根据之一.
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这
基本想法是这样的:我们知道,两条直 线相交只有一个交点。要想证明三条直线 相交于一点只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 刚学到的逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交
于点P,连接AP,BP,CP.
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
作法:
A
B
1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2
长为半径作弧,两弧交于点C和D.
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
想一想：请你说明CD为什么是AB的
垂直平分线,并与同伴进行交流.
特别提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的 中点,所以以后我们经常也会用这种方法
作线段的中点.
∴PA=PC.
B
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
P C
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一
点.
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直 平分线的定理以及逆定理的几何语言的表 示方法，你能把这个定理也用几何语言表 示出来吗？
试一试：你能独立完成这个写作过程吗？
请你写出作法.
老师期望:你能独立写出作法.
作法: （1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m，
交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB,AC
△ABC为所求的等腰三角形
A h
a
BD C
m
做一做
已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过
点P．
（1）AB+BC
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边
的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶
点的距离相等).
aA
c
b
P
B
C
老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.
三 挑战自我
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗?
如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等 吗?
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规
作出图形.
例题
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图).
a
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
B
C
老师提示:钝角三角形中三边的高的情况.
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1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三 角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直 平分线交点在三角形外．
3.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一 个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育 中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如 图中P,Q,R表示)的距离相等.
C
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
P A
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半
径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
B
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议一议
如果点P是直线l外一点，那么怎样利用尺规作l的垂线， 使它经过点P呢？
已知：直线l和l上一点P．
P
求作：PC⊥ l ．
条线段的垂直平分线上.
P
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段

两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一.
回顾思考：
用尺规作线段的垂直平分线.
C
已知:线段AB,（如图）.
求作:线段AB的垂直平分线.