行列式的展开

a12 a22 an 2
a1n a2 n ann 0
的系数行列式不等于零，即 D
那么线性方程组(1)有唯一解并且解是的，解可以表示成
Dn D1 D2 x1 ，x2 ， ，xn D D D
(2)
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组 右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
按第二行展开
a21 A21 a22 A22 a23 A23 a21 M21 a22 M22 a23 M23
a12 a21 a32
a13 a11 a13 a11 a12 a22 a23 a33 a31 a33 a31 a32
n 2 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
n 2 xn ( xn x1 )
按照第1列展开，并提出每列的公因子( xi x1 ) ，就有
1 ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
n 2 x2
1 x3
n 2 x3
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
分析
ain Ajn 0, i j .
我们以3阶行列式为例.
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a 33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 a21 a22 a23 0 a21 a22 a23 a21 A11 a22 A12 a23 A13 a31 a32 a33
2 3
M 23 M 23
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式的展开定理
定理 1 n 阶行列式 D 等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 or D a1 j A 1 j a 2A j 2j
5
3 1 2 0 5 1 4 5 2 0 0 0
1 7 2 例1 计算行列式D 0 2 3 0 4 1 0 2 3 5 3 1 2 1 7 2 5 D 0 2 3 1 0 4 1 4 0 2 3 5
解
0 5 3 1 2 2 0 2 3 1 2 5 0 1 2 0 4 1 4 0 0 2 3 5 0
2 i j 1

( xi x j )
所以n=2时(*)式成立.
假设(*)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 x1 倍：
1 0 Dn 0 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn
n 2 xn
n−1阶范德蒙德行列式
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )

( xn x1 )
n i j 2

( xi x j )
n i j 1

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( xi x j ).
推论2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
r1 2r2 r4 r2
0 0 0
7 2 7
5 13 0 1 6 2
D
1 3
1 3
7 12
7 5 13 2 1 2
c1 2c2
7 7 12 c3 2c2
1 3 2 4 5 0 1 7 1 6 2 6
3 5 0 1
3 0 27 0
7 7 2
2 1 8 9 5 1 0 6 2 6
8 D1 9 5 0 81
D2
0 5 1 1 0 7
= 108
D3
2 1 1 3 0 1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6
D4
2 1 5 1 3 0 0 1 2 4
8 9
1 5 7 0
27
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
ain Ain D i 1, 2,
, n
推论2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
，
a11 Dj a n1
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
a1, j 1 an , j 1
a1n ann
定理结论的包含三层意思：
• 方程组有解；（解的存在性） • 解是唯一的；（解的唯一性）
• 解可以由公式(2)给出.
这个结论的三层意思是有联系的. 应该注意，该定理所讨论 的只是系数行列式不为零的方程组.
1 1 1 0
2
5
1 1 1 0 1 3
1 0 0
3 4 c1 2c3 11 1 1 c4 c3 0 3 3
3 1
1 5
5 5
(1)
3 3
5 1 1 11 1 1 5 5 0
6 2
r2 r1
5 6
1 1 2 0
5 5 0
( 1)
1 3
其中 Ai j (i, j 1, 2,
ain Ai n a iAk
k 1 n
n
i k
a Anj n j ak j Ak j .
k 1
, n) 为 ai j 的代数余子式.
例如
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
3. 齐次线性方程组的相关定理
定理 3 如果齐次线性方程组的系数行列式
D 0, 则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理3′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
非零解的必要条件.
2. 在第四章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
2 3 1 2 5 2 5 4 1 4 1 2 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
5 3 1 2 0 2 3 1
10 0 r3 r 0
r2 2 r
2
3
1

7 2 6 6
20
7 2 6 6
1080
例2
3 D 5 2
*推论 1 一个 n 阶行列式 D, 如果其中第 i 行所有元素 除 ai j 外都为零， 那么这行列式等于 ai j 与它的代数余子式 的乘积，即 D ai j Ai j . a11 a12 a13 a21 a22 a23 例如 D 0 0 a33 a41 a42 a43
a14 a24 0 a44
8 2 40. 0 5 5 5
例3
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1
2 Dn x1
1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
n i j 1

( xi x j ).
(*)
n 1 x1
n 1 x2
n 1 xn
证明
用数学归纳法
D2
1 x1
1 x2
x2 x1
按第一行展开
(1)11 a11 M11 (1)12 a12 M12 (1)13 a13 M13
a11 M11 a12 M12 a13 M13
a22 a11 a32
a23 a21 a23 a21 a22 a12 a13 a33 a31 a33 a31 a32
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
27
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
2. 线性方程组的相关概念
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 线性方程组 an1 x1 an 2 x2
例5
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 0 1
1 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
四、克莱姆法则
1. 克莱姆法则 定理2 如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a21 a n1 (1)
例 6 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？
1
解
2 3 1
4 1 ( 2)( 3) 1
1
1 1
1
c2 c1
M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 1 1 1 3 2 1 1 3 1 5 2
r4 r3 1
1 3 0
0 5
1 0 5 3 1
1
1 4 1 3
0 1 0
1 0 5 1 2 1 r1 2r3 1 0 5 0. 1 0 5 1 1 3 1 1 3
第四讲 行列式的展开
• 行列式的计算核心思想是“造零”、“降阶”.
上一次课我们利用性质5解决了“造零”的问题，
今天我们将解决“降阶”的问题.
一、余子式与代数余子式
定义 1 在 n 阶行列式中，把元素 ai j 所在的第 i 行和 第 j 列划后，留下来的 n－1 阶行列式称为元素 ai j 的余 子式，记作 M i j .
1 1 1 1 1 1 0 5 解 A11 A12 A13 A14 1 3 1 3 2 4 1 3
r4 r3 r3 r1
1 1 5 1 1 0 5 2 2 2 2 2 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 2 5 2 5 4. 2 0 2 0 2 1 0 0
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
i j A ( 1) Mi j 称为元素 ai j 的代数余子式. 而 ij
例如
a11
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a12 a32 a42
a14 a24 a34 a44
a14 a34 a44
a21 D a31 a41
M 23 a31 a41
A23 1
a1 n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是它的 一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解， 但不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
3 3
0 A31 0 A32 a33 A33 0 A34 a33 A33 1
a33 M 33
a11 3 3 1 a33 a21 a41
a12 a22 a42
a11 a14 a24 a33 a21 a41 a44
a12 a22 a42
a14 a24 a44
综上所述，有
ain Ajn 0, i j .
D, i j a i n A jn 0, i j D, i j ani Anj 0, i j
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
同理可得
a1i A1 j a2 i A2 j