高中物理万有引力知识点

万有引力与航天

编辑：李鸿书

一、行星的运动

1、开普勒的行星运动定律

(1)开普勒第一定律(轨道定律)

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.不同行星椭圆轨道则是不同的.

开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心.不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内(2)开普勒第二定律(面积定律)

对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的

时间内扫过相等的面积.

如右图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭

圆的一个焦点上.

如果时间间隔相等，即3412t t t t -=-，那么B A S S =,

由此可见，行星在远日点a 的速率最小，在近日点b 的速率最大. (3)开普勒第三定律(周期定律)

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.若

用a 代表椭圆轨道的半长轴，T 代表公转周期.即k a 23=T

(其中,比值k 是一个与行星无关的常量)

2、对行星运动规律的理解

(1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率，如上图所示，如果时间间隔相等，即3412t t t t -=-,由开普勒第二定律，可得速度之比等于到中心天体距离的反比，即A

B B A R R V V = (2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有

卫星来说，它们的23a T

一定相同,但常量k 的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k 值

不同.开普勒恒量k 的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关

(3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同.

(4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解:

①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心;

②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动; ③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即k a 2

3=T .如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R ₁、R ₂，公转周期分别为T ₁、T ₂，则有22

322131T R T R =

二、万有引力定律

1.太阳与行星间引力的推导

牛顿在前人对惯性研究的基础上，认为:以任何方式改变速度(包括方向)都需要力。因此，使行星沿圆或椭圆运动,需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力.所以，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了

(1)假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力.设地球的质量为m,运动线速度为v,地球到太阳的距离为r,太阳的质量为M.则由匀速圆周运动的规律可知 r mv 2=F ① T

r 2v π= ② 由①②得 22mr 4T

F π= ③ 又由开普勒第三定律 k r 32

=T ④ 由③④得 22

r m k 4π=F ⑤ 即2r

m ∝F ⑥ 这表明:太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比，

(2)根据牛顿第三定律，力的作用是相互的,且等大反向，因此地球对太阳的引力

'F 也应与太阳的质量成正比，且'F =-F 即2'r

m ∝F ⑦ (3)比较⑥⑦式不难得出2r Mm ∝F , 写成等式2r Mm G F =，式中G 是比例系数，

与太阳、行星无关

注意：中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推到引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的.

2.太阳与行星间引力的规律也适用于行星和卫星之间

假定卫星绕行星做匀速圆周运动，设轨道半径为R ，运行周期为T,行星和卫星质量分别为M 和m,由做圆周运动的卫星所需的向心力即为行星对它的引

力,有R T G 2224m R Mm π= 常量==2

234πGM T R 通过观测卫星的运行轨道半径R 和周期T,若它们的R ³/T ²为常量，则说明太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间.

测量研究表明太阳与行星间引力规律也适用于行星和卫星之间.

3.月—地检验

(1)牛顿的思考

①太阳的引力使行星不能飞离大阳。物体与地球之间的引力也使物体不能飞离地球.

②日地间引力与月地间引力以及物体与地球间引力是同一种力，其大小都可由公式2r

Mm G F =计算. (2)月—地检验

①牛顿认为，行星与卫星之间的引力、地球作用于物体的重力和太阳对行星的引力，都是同种性质的力，根据上述引力公式，对“月一地系统”和地面上的物体分别可得到 月月地月月地a m r m M 2=G ， g m a m r m M 2物物物地

物地==G ，两式相比，得月球绕地球运动的向心加速度g r r a 2）（地月

地月=,因为地球和月球之间的距离约为地球半径的60倍，所以代入上式得23s /m 107.2a -⨯=月

②根据天文观测，月球绕地球运动的周期T=27.3天，地球与月球间的距离

m 1085.3r 8⨯=地月，因此从运动学公式，r a 2ω= T

πω2=,得到月球运动的向心加速度2322s /m 107.2r 4a -⨯==地月月T

π，两个结果完全相符.这说明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力.

4.万有引力定律

(1)内容:自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m ₁和m ₂的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比

(2)公式:221

r

m m G F =，其中2211kg /m 1067.6⋅⨯=-N G ，称为万有引力常量，而m ₁、m ₂分别为两个质点的质量，r 为两质点间的距离.

(3)适用条件:

①上述只适用于质点间引力大小的计算.当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用公式计算.

②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可由公式直接计算，但式中的r 是两球球心间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，r 为球心到质点的距离.

③当研究物体不能看成质点时，可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力,然后再求合力.

（4）对万有引力定律的几点理解

①万有引力的普遍性:万有引力定律是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力.

②万有引力的相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力,符合牛顿第三定律,大小相等,方向相反

③万有引力的宏观性:通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义.

④万有引力的特殊性:两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体无关

(5)万有引力定律建立的重要意义

万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一，它把地面上的物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响，而且它第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑.

5.引力常量的测定

(1)对G 值的理解

①引力常量的准确数值为:2211kg /m 1067.6⋅⨯=-N G .