高等数学中罗尔定理教学方法探讨

高等数学中罗尔定理教学方法探讨

惠菊梅

(青海大学基础部,青海西宁810016)

摘要:根据四种命题间的关系,强调了罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件,对现行教材内容作了完善和补充。

关键词:罗尔定理;命题;条件

中图分类号:G420 文献标识码:C 文章编号:1006-8996(2003)03-0079-02

罗尔定理是微分学及其应用中许多定理及公式的基础,现用全国高等农业院校教材高等数学中对罗尔定理只直接写出定理,未作证明,也未作适当的引入或必要的铺垫,学生只知结果不知前因,对知识的衔接、理解掌握出现一定的难度。另外,教材中还指出: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不成立 ,这说明罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件。但教材没有在理论上系统地阐述且举例也较含糊,学生不易理解掌握。针对这两个问题,笔者采用下述方法组织教学,

取得了较好的效果。

1 定理的引入

罗尔定理:如果函数y =f (x )满足下列条件:

[1](1)在闭区间[a ,b ]上连续

(2)在开区间(a ,b )内可导

(3)f (a )=f (b )

则在(a ,b )内至少存在一点 ,使得f ( )=0。

首先采用画图及简述的教学方法给出罗尔定理的基础费马定理: 若函数f (x )在开区间(a ,b )内一点 处可导且取得最大值(或最小值),则必有f ( )=0 。

设f ( )为最大值,则f (x ) f ( ),且f ( +)=f ( -)=f ( )

而f ( -)=lim x -f (x )-f ( )x - 0,f ( +)=lim x +f (x )-f ( )x -

0所以f ( )=0。

其次,讲明罗尔定理的三条题设既具体实用又满足费马定理的题设,所以就有费马定理的结论。

(1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数一定有最大值和最小值。

(2)在开区间(a ,b )内可导,对应 费马定理 的题设在开区间(a ,b )内一点 处可导。

(3)f (a )=f (b )的作用,若f (a ) f (b ),f (a )、f (b )分别是最大值和最小值,则无法在开区间(a ,b )内找到可导的 点,有了f (a )=f (b ),即使端点处取得最值,在开区间(a ,b )内至少还会有取得最大值(或最小值)的点,这样学生对罗尔定理容易理解掌握。

2 罗尔定理的题设是结论成立的充分而非必要条件

例1[2] 研究函数f (x )=x 2

-4x +3在区间[-1,4]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=2x -4,令f (x )=0,则有2x -4=0,解得x =2,即f (2)=0,所以 =2。后面又收稿日期:2002-11-20作者简介:惠菊梅(1953 ),女,陕西清涧人,讲师。

第21卷 第3期

2003年6月 青海大学学报(自然科学版)

Journal of Qinghai University Vol.21No.3

Jun.2003

有: 显然例1中的函数f (x )=x 2-4x +3在区间[-1,4]上满足罗尔定理的三个条件,而x =2,2 (-1,4)使f (2)=0符合罗尔定理的结论 。这段话显然不妥,因为f (-1) f (4),即该题不满足罗尔定理题设的第三条,但例题的解法正确。可这样理解:该例题说明罗尔定理的三个条件不全成立,结论也有成立的可能性。即罗尔定理的否命题是假命题,根据四种命题间的关系,原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题,从而得出罗尔定理的逆命题是假命题,即罗尔定理的题设是结论成立的充分条件而非必要条件。

例2[2] 研究函数f (x )=x 23在[-1,1]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=23x -13,令f (x )=0,即23

x -13=0,此方程无解,因此,找不到x = ,使f ( )=0。后面又有: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不满足,如例2中f (x )=x 23在[-1,1]上不满足第二个条件,因为f (0)不存在,即曲线在原点的切线垂直于x 轴。 这段话的意思是说三个条件不全成立,结论可能不成立,但容易造成错觉,理解为 题设不成立,结论也不成立 。可通过逆否命题来解释这一问题, 找不到符合条件的 使f ( )=0,则三个条件一定不全成立, 例2中第二个条件不成立。根据四种命题间的关系,原命题的逆否命题与原命题是等价的,所以罗尔定理的逆否命题是正确的命题。参考文献:

[1]吴亲仁,陆秀丽译.数学分析原理(第一卷第一分册)[M].北京:人民教育出版社,1979.186-188.

[2]张嘉林.高等数学[M].北京:中国农业出版社,2000.72-73.

(责任编辑 唐宏伟)

(上接第78页)

灌输关于道德的各种美丽动听的言辞和准则 。[3]

因此,法律基础课的教学应分为课堂教学与课外实践两个部分,教学方式应更加趋向实证化,重实际,重调查研究。在课堂教学中,力戒一本书、一支笔、一张嘴、一堂课的传统的 满堂灌 的方法。多采用对话式教学和引导式教学方法,以学生为主体,以教师为主导,通过案例教学和现代多媒体教学手段的采用,提高教学活动的直观性和生动性,调动学生学习的积极性、主动性、创造性,省时高效,优化教学效果。与此同时,把课堂教学与课外实践活动紧密结合起来,开展形式多样、丰富多彩、同学们喜闻乐见的教学实践活动,如:通过请进来,走出去的方式带领学生旁听法庭审判,开展法律知识竞赛,进行普遍存在的法律问题的社会调查,开展法律咨询活动,组织 法就在我身边 等的专题讨论会、辩论会,组织模拟法庭等,加大教学实践的力度。提高教学的现实性和生动性。最终优化教学内容,提高教学质量,落实教学要求,达到教学目的。

综上所述,法律基础课教学改革是一个环环相扣、紧密相连的系统工程。它以明确学科性质,把握学科定位为前提,以教材重组和教学内容创新为根本,以教学方式和手段改革为保障。并需要各级各类教育部门、学校、师生通力合作,通过一系列改革,提高法律基础课的针对性和实效性,进一步发挥法律基础课在培养大学生法治人格上的重要作用,为大学生的自身成长和依法治国的宏伟大业,奠定坚实的基础。

参考文献:

[1]谷春德,陈劳志.法律基础教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.1-7.

[2]潘菽.教育心理学[M].北京:人民教育出版社,1983.156.

[3]列宁.列宁选集(第四卷)[M].北京:人民出版社,1972.355.(责任编辑 陈 军)80 青海大学学报 第21卷