高等数学中罗尔定理教学方法探讨
高数罗尔定理构造辅助函数的方法
高数罗尔定理构造辅助函数的方法《高数罗尔定理构造辅助函数的方法》一、解决方案1.高数罗尔定理高数罗尔定理是数学中一类有用的关系，高数罗尔定理可以用来通过构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题。
具体的内容是：高数罗尔定理指出，若有一组函数，其中E相互独立，则它们可以表示为一个独立的恒等函数的联合。
2.建立模型在利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题之前，必须首先建立一个合理的数学模型，并将数据录入模型中，这样可以使模型能够有效地进行数学求解。
为此，应该在建立模型前充分考虑数学问题的解决思路，确定引入的变量，确定公式的计算过程等。
在建立模型完成后，就可以利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法进行求解了。
二、构造辅助函数1.基本思路利用高数罗尔定理构造辅助函数的基本思路是将数学模型中的函数表示为一个独立的恒等函数的联合，从而实现问题的求解。
用以下公式可以描述这一思路：F(x) = f(x1,x2,…,xn)其中，f(x1，x2，…，xn)表示原模型，F(x)表示新恒等函数2.具体步骤（1）将模型中的变量按某一意义顺序进行排列；（2）将原模型按变量的顺序推导至最小阶段；（3）设置恒等函数，例如F(x1,x2,…,xn)，x1＝F(x2,x3,…,xn)；（4）依然利用原模型，推出另外一个恒等函数，例如G(x2,x3,…,xn)，x2＝G(x3,x4,…,xn)；（5）将A和B抽象为新的恒等函数P(x)，比如P(x)=F(G(x))；（6）根据原函数模型将恒等函数的每一部分的参数定义为求解问题的变量；（7）根据设定的变量，用高数罗尔定理，把P(x)表示为恒等函数的联合，即：P(x)=F(x1,x2,…,xn)=G(x1,x2,…,xn)（8）利用推导至恒等函数的形式进行求解，从而解决数学问题。
三、总结以上针对如何利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题进行了详细阐述。
高数罗尔定理可以一定程度上解决求解复杂的数学问题，但也存在一定的局限性，比如当数学模型中的变量数量较多时，可能就不能满足高数罗尔定理的要求。
同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题
同济版高等数学在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一个重要的数学定理，它可以有效地帮助我们解决微分方程和积分方程等问题，并且在多个领域有广泛的应用，尤其是在计算机科学领域。
在拉格朗日中值定理的证明中，利用罗尔定理（Rolle Theorem）是一种有效的方法。
因此，利用同济版高等数学证明拉格朗日中值定理成为一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理定义了一个函数在某段区间上的行为，它认为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{}(c)$，即拉格朗日中值定理成立。
然后，我们介绍一下罗尔定理。
罗尔定理的定义为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=0$。
罗尔定理可以用来证明拉格朗日中值定理。
将罗尔定理和拉格朗日中值定理联系起来，可以得到证明拉格朗日中值定理的结论：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$处可导，那么一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c) =frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即拉格朗日中值定理成立。
接下来，我们来看看如何利用同济版高等数学进行拉格朗日中值定理的证明。
首先，我们需要用罗尔定理证明函数$f(x)$在$[a,b]$上连续、可导，存在一个点$c$使得$f^{}(c)=0$，即：函数$f(x)$在$[a,c]$上单调递增，在$[c,b]$上单调递减。
在此基础上，我们继续做出下列的假设：设$f^{}(x)$在$[a,b]$上连续可积，当$f^{}(x)$在$[a,c]$上单调递增时，$f(x)$的积分是一单调递增函数，当$f^{}(x)$在$[c,b]$上单调递减时，$f(x)$的积分是一单调递减函数。
关于罗尔定理的进一步讨论
ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ）＝ 厂（ ） ６，
十
推 论 ８ 设 函数 厂 ｚ 在 区间 （ 。 ， ｘ） （） 一 。 ＋ｃ 上连 。
续 ， 区 间 （ Ｃ ， 。 ）内 可 导 ， 在 ～ ｘ ＋ 。 。 且
ｌ ，（ ｉ ａ ｒ ）一 ｌ 厂（ ）＝ Ａ ， ｉ ａ ｒ ｚ
推论 ７ 设 函数 厂 ｚ （ ）在 区间 （ 。 “ 上 连续 ， 一。 ， ）
在 区 间 （ ｏ ， ）内 可 导 ， 一 。口 且 ｌ 厂ｚ ｉ （ ）＝ ｌ 厂 ｚ ａ ｒ ｉ （ ）＝ Ａ， ａ ｒ
’ 一 。。
推 论 ２ 设 函数 ｆ ｘ 在 区间［ ，） （） 口 ６ 上连续 ， 区 在
若 厂（ ） 常值 函数 ， 结论显 然成立 ． 面只讨 是 则 下
杨 若 松 （９ ０ 男 ） 魏 成 （ ９０ 男 ） 均 为 ２０ 级 计算 机 １９ 一， ， １０ 一， ， ０９
论 厂（ ）不是 常值 函数 的情形 ． ｚ 在 此情形 下 ， 不妨 设存 在 。∈ （ 。 ， 。 ） 一 。 ＋ 。，
间（ ６ ｎ，）内 可 导 ， 且
ｌ 厂 ｚ）一 ｌ 厂 ｚ）一 Ａ ， ｉ （ ａ ｒ ｉ （ ａ ｒ
十
一
ｌ 厂ｚ ｉ （ ）＝ ｌ ， ）一 Ａ ， ａ ｒ ｉ （ ａ ｒ
其 中 Ａ 为有 限实数 ， 则存 在 ∈ （ ， 。 ） 使得 ａ ＋ 。，
（ ）一 ０ ．
推论 ６ 设 函数 ，（ ） 区间 （ ｃ ，］上连 续 ， ｚ 在 一 ד ３
高 等数 学 研 究
５ ８
ＳＴＵ ＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ ＡＴ Ｉ Ｍ ＣＳ
高等数学 中值定理
F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
启发式教学在高等数学教学中的应用——以罗尔定理教学为例
启发式教学在高等数学教学中的应用——以罗尔定理教学为
例
苏丽丽
【期刊名称】《课程教育研究：外语学法教法研究》
【年(卷),期】2018(000)007
【摘要】本文中作者结合教学实践案例展示了启发式教学在高等数学教学中的应用,并针对目前高等数学教学面临的现状给出了有效的建议.
【总页数】2页(P246-247)
【作者】苏丽丽
【作者单位】武警工程大学基础部,陕西西安710086
【正文语种】中文
【中图分类】G640
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5.翻转课堂在高等数学教学中的应用研究——以“罗尔定理”为例 [J], 王学武;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
罗尔定理的线上教法分析
㊀㊀㊀１４１㊀㊀罗尔定理的线上教法分析罗尔定理的线上教法分析Һ罗庆仙㊀龙㊀能㊀（广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东㊀茂名㊀５２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ罗尔定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，在实际应用和中值定理的证明中有着重要的意义．本文通过对罗尔定理的线上教法的分析，培养学生的分析能力㊁知识迁移能力㊁数形结合的思想以及运用知识解决问题的能力．同时，学生还要掌握构造辅助函数和利用中值证明等式的方法，为后面中值定理的学习打下扎实的理论基础．ʌ关键词ɔ罗尔定理；线上；教法；分析ʌ基金项目ɔ广东茂名幼儿师范专科学校２０２０年度教育科学 十三五 规划课题 新版课程标准和教资国考背景下的‘小学数学课程与教学“的课程设计与教材建设（２０２０ＧＭＹＳＫＴ０２）一㊁引㊀言微分中值定理包括罗尔定理㊁拉格朗日中值定理㊁柯西中值定理和泰勒定理，它们是我们讨论怎样由导数ｆᶄ（ｘ）的已知性质来推断函数ｆ（ｘ）所应具有的性质的有效工具，也是数学分析中的重要内容．这部分内容理论性比较强，特别是定理的应用．因此，它们成为教师的一个教学难点．然而，大专院校的学生按来源基本上分为以下三大类：一是高考，二是３＋证书，三是学业水平考试，所以他们的数学基础比较差㊁理解能力比较弱㊁自学能力也相对比较差，这无疑增加了教学的难度．在中值定理的教学过程中，首先要让学生充分理解罗尔定理，并掌握相应的数学方法，这样才能够以罗尔定理为基础，通过构造满足罗尔定理三个条件的辅助函数，证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理．二㊁温故知新在讲罗尔定理之前，我们先复习极值的概念和费马定理，为接下来证明罗尔定理做铺垫，同时加深学生对这些知识点的理解．（极值的概念）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ有定义．若ｘ０ɪＩ，且存在ｘ０的某邻域Ｕ（ｘ０）⊂Ｉ，∀ｘɪＵ（ｘ０），有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）（ｆ（ｘ）ȡｆ（ｘ０）），则称ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极大点（极小点），ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极大值（极小值）．注：①极大点和极小点统称极值点，极大值和极小值统称极值；②极值点必属于区间Ｉ的内部；③极值是一个局部概念；④若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ内部某点ｘ０取最值，则ｘ０必为极值点．（费马定理）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ有定义．若函数ｆ（ｘ）在ｘ０可导，且ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则ｆᶄ（ｘ０）＝０．三㊁定理讲解先简单介绍罗尔定理的条件和结论，再详细分析每一个条件的几何意义，得出结论的几何意义，接着举例子分析缺少一个或三个罗尔定理条件，结论是否仍然成立，最后证明罗尔定理！１．罗尔定理及其几何意义．（罗尔定理）㊀设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上满足下列条件：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）．则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ，使得ｆᶄ（ｃ）＝０．表１㊀罗尔定理的几何意义罗尔定理的条件及结论罗尔定理的几何意义（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续在闭区间［ａ，ｂ］上有连续曲线（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导曲线上每一点都存在切线（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）曲线两个端点的高度相等则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ｃ，使ｆᶄ（ｃ）＝０则至少存在一条水平切线图１㊀几何意义图像２．罗尔定理的条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成㊀㊀㊀㊀㊀１４２㊀立，如下列例子：（１）如图２，是函数ｆ（ｘ）＝ｘ，０ɤｘ＜１，０，ｘ＝１{的图像，在［０，１］上满足条件（２）和（３），但是条件（１）不满足，该函数在０，１()上的导数恒为１．图２㊀函数图像（２）如图３，是函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜，ｘɪ［－１，１］的图像，满足条件（１）和（３），但是条件（２）却遭到破坏（ｆ（ｘ）在ｘ＝０处不可导），结论也不成立．图３㊀函数图像（３）如图４，是函数ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，１］的图像，满足条件（１）和（２），但是条件（３）却遭到破坏，该函数在０，１()上的导数恒为１．图４㊀函数图像（４）又如ｆ（ｘ）＝０，－２ɤｘɤ－１，ｘ２，｜ｘ｜＜１，１，１ɤｘɤ２，ìîíïïï在［－２，２］上不连续，在（－２，２）内不可导，且ｆ（２）ʂｆ（－２），即三个条件都不满足，但存在一点ξ＝０ɪ（－２，２），使得ｆᶄ（０）＝０．这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件．３．罗尔定理的证明思路：引导学生由函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，可以知道函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上取得最大值Ｍ和最小值ｍ．接着提问学生最大值和最小值有没有可能相等？引导学生分为ｍ＝Ｍ和ｍʂＭ两种情况讨论，对于ｍʂＭ的情况，运用数形结合的方法引导学生知道至少有一个最值在区间内取值，然后再提问学生区间内的最值与极值之间的关系，进而引导学生用费马定理去证明．用费马定理证明时，先把它的条件和结论写出来，对照着写过程．罗尔定理的证明方法是分类讨论，然后利用费马定理来证明的，下面我们来证明罗尔定理．证明㊀（１）若ｍ＝Ｍ，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必为常数，它的导数恒为零，此时可在（ａ，ｂ）内任意取一点ｃ，有ｆᶄ（ｃ）＝０．（２）若ｍʂＭ，则由ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）知，最大值与最小值至少有一个不在端点处取得．如果最大值不在端点处取得，那么存在ｃɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ｃ）＝Ｍ．因为在区间内部取得的最大值一定是极大值，所以由费马定理得ｆᶄ（ｃ）＝０．综上所述，定理得证．四㊁应用举例，深入理解定理用罗尔定理解决方程根的存在性问题，得到了证明方程的根的存在性问题的另一种方法的步骤．要提醒学生注意讨论的是ｆᶄ（ｘ）＝０的根的存在性还是ｆ（ｘ）＝０的根的存在性，而且只能够证明至少有一个根．利用罗尔定理证明含有 中值点 的等式，总结出证明此类型等式的一般方法．例１㊀已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ－２），试判断方程ｆᶄ（ｘ）＝０有几个根，并指出根的所在区间．（用罗尔定理判断）分析㊀依题意可知ｆ（ｘ）＝０是二次方程，有两个不相等的实根，ｆᶄ（ｘ）＝０是一次方程，至多有１个实根．用罗尔定理来证明ｆᶄ（ｘ）＝０有几个根，即要判断ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，但是题目并没有给出验证罗尔定理的区间，因此需要找出区间．而３个条件中，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）是找出区间［ａ，ｂ］的突破点，所以令ｆ（ｘ）＝０求得区间是（１，２）．解㊀因为ｆ（１）＝ｆ（２），且ｆ（ｘ）在［１，２］上连续，在（１，２）内可导，由罗尔定理得，至少存在一点ｃɪ（１，２），使得ｆᶄ（ｃ）＝０．又因为ｆᶄ（ｘ）＝０是一次方程，至多有１个实根，故ｆᶄ（ｘ）＝０有１个实根，位于（１，２）内．例２㊀用罗尔定理证明：方程３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ）＝０在（０，１）内有实根．分析㊀依题意令ｆᶄ（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ），因此我们需要通过导数公式表来找出ｆ（ｘ）的解析式，然后验证ｆ（ｘ）在（０，１）内满足罗尔定理．证明㊀设辅助函数Ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－（ａ＋ｂ）ｘ，则Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ｃɪ（０，１），使㊀㊀㊀１４３㊀㊀Ｆᶄ（ｃ）＝０，又因为Ｆᶄ（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ），所以有３ａｃ２＋２ｂｃ－（ａ＋ｂ）＝０，即方程３ａｘ２＋２ｂｘ－（ａ＋ｂ）＝０在（０，１）内有实根．例３㊀设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且ｆ（１）＝０，求证存在ξɪ（０，１），使ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０．分析㊀由题可知，函数ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔定理的条件（１）和（２），需要证明的结论是ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０，即要证明某个函数的一阶导数的方程等于零．把ξ改为ｘ，由ｆᶄ（ｘ），ｆ（ｘ），ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｓｉｎｘ．证明㊀设辅助函数为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｓｉｎｘ，则Ｆᶄ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）ｓｉｎｘ＋ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ，显然函数Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ξɪ（０，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）ｓｉｎξ＋ｆ（ξ）ｃｏｓξ＝０．练习：设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且ｆ（１）＝０，证明至少存在一点ξɪ（０，１），使得ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．分析㊀由题可知，函数ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔定理的条件（１）和（２），需要证明的结论是ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．但是等号右边并不为零，所以需要把式子整理变形，使得等号右边为零，即ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＝０，把ξ改为ｘ，由ｆᶄ（ｘ），ｆ（ｘ），ｘ和１联想到两个函数相乘的导数，从而知道需要构造的函数为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）．证明㊀设辅助函数为Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ），则Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ），显然函数Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理知，至少存在一点ξɪ（０，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ），即ｆᶄ（ξ）＝－ｆ（ξ）ξ．小结：１．罗尔定理的三个条件是充分的，不是必要的，缺少一个条件，结论不一定成立．２．罗尔定理的应用及步骤．（１）利用罗尔定理证明方程的根．（ⅰ）判别方程ｆᶄ（ｘ）＝０是否有根．验证ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，在证明过程中要注意区间的选取，通常是从ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）中寻找区间（如例１）．（ⅱ）应用罗尔定理讨论方程的根．首先要构造一个函数，使得构造后的函数的导数是结论中的函数（如例２）．（２）利用罗尔定理证明含 中值点 的等式．首先改写中值等式，将所有项移到一侧，把等号右边变为零（若等号右边为零则不需要改写）；其次令表达式中的中值为变量ｘ，并构造辅助函数．最后验证辅助函数满足罗尔定理的条件，得出结论．证明形如：ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝０的结论，可构造函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）．拓展练习：考虑到有部分学生需要专升本，因此我们在教学上还需要增加一些拓展的习题，让有兴趣的学生自行完成．１．证明方程ｘ５－５ｘ＋１＝０有且仅有一个小于１的正实根．２．证明：函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）在区间（１，３）内至少存在一点ξ，使ｆᵡ（ξ）＝０．３．证明：方程ｘ３－３ｘ＋ｃ＝０在区间（０，１）内没有两个不同的实根（提示：用反证法）．五㊁总㊀结罗尔定理 是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的预备定理，也是数学分析内容中学习难度比较大的一部分．因此，在进行线上教学时，教师要认真备课，提高自己的教学水平，同时对自己的上课方式也要进行适当的调整，比如：教师在教学方式上要以连麦提问的教学形式，鼓励学生积极思考，发挥学生的主体作用；在课堂上让学生把做好的题目写好拍照发到钉钉群里，对于重点㊁难点要板书给学生讲解，做到以讲练结合的方法，调动学生的积极性，使课堂气氛更加活跃；在教学手段上，教师需采用多元化的教学手段，将板书㊁课件相结合；在教学模式上，教师应采取屏幕和摄像头切换的线上教学模式，多让学生独立思考，提高学生的数学思维能力．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．［２］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．［３］赵萨日娜．拉格朗日中值定理的教学设计［Ｊ］．文化创新比较研究，２０１７（３１）：６２－６３．［４］赵彦军，姜淑珍．谈数学分析中辅助函数的构造［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１４（２３）：６９－７０．［５］李双安，陈凤华，赵艳伟．拉格朗日中值定理教法研究［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１６（０９）：２９，３１．。
罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用
—０没 有 根 。假 设 方 程 ６ ｘ＋口一０有 两 个 根 。 由罗 尔 ｘ ＋２
研
．
１ ９ ． Ｏ
下结论 ：如果方程 厂（ ） ｚ 一０没有 根 ，则方程 ＿ ｚ 一０至 厂 ） （
多 有 一 个 根 。应 用 中结 合 零 点 定 理 ，还 可 以证 明 如 果 方 程
罗 尔定 理
如果 函 数 厂（ ） 足 （ ） 闭 区 间 ［ ，］ ｚ满 １在 。 ６ 上
厂（ ） ｚ 一０没有 根 ， 则方程 ＿ ｚ ＝０只有一 个根 。 厂 ） （
应 用二 根据 多项 式方程 ／ （ ） ｚ 一０的根来 讨论多项
式 方 程 ， ｚ 一０的 根 。由罗 尔定 理 用 反 证 法立 即可 得 出 如 （）
项式方程 ， 称方程 厂（ ） ｚ 一０为方程 ， ｚ 一０的导数方 程 。 （）
本 文 中 方程 的 根 均 是 实 根 ， 是 重 根 ， 个 数 按 一 个 计 算 。 若 其
＋ … ＋ａ 一 — ０ １ ．易 看 出 ０为 方 程
。 ＋ ｎ ｏ １
＋ … ＋ ａ一 － １ 一０的一 个 根 ， ｚ 由题 设 ｚ 也 是 该 ｏ
方 程 的一 个 根 。所 以 由 罗 尔 定 理 知 在 （ ， 。 内 存 在 方 程 ０ｚ ） ａ ０
口 ｏ
十口 （ ｌ 一 １ ）
１９ ． ９ ６
别存在其导数方程 的一个实 根 ，即 厂（ ） ｚ 一０至 少有 三实
罗尔定理关于根的推论
罗尔定理关于根的推论
摘要：
一、罗尔定理简介
二、罗尔定理与根的关系
三、罗尔定理关于根的推论
四、结论
正文：
一、罗尔定理简介
罗尔定理是微积分中一个关于函数的连续性和极限的定理。
它告诉我们，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
罗尔定理在微积分中有着广泛的应用，例如用于证明泰勒定理、证明函数的单调性等。
二、罗尔定理与根的关系
在数学中，根是一个重要的概念。
对于一个多项式方程，我们通常会寻找一个数，使得这个数代入方程后，方程的值等于零。
这个数就是该方程的一个根。
在微积分中，我们可能会遇到一些与根相关的问题，例如寻找函数的零点、证明函数有唯一零点等。
这些问题与罗尔定理有着密切的关系。
三、罗尔定理关于根的推论
根据罗尔定理，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
对于函数的根而言，我们可以将函数的根看作是函数的零点。
因此，如果一个函数在
某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限，即函数在这个点处取到零。
这个点就是函数的一个根。
四、结论
罗尔定理关于根的推论为我们解决与根相关的问题提供了一个重要的工具。
通过利用罗尔定理，我们可以证明函数存在根、唯一根等结论。
同时，罗尔定理也可以帮助我们更好地理解函数的连续性和极限的概念。
罗尔定理在中值类等式证明中的应用
㊀㊀㊀１４５㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３罗尔定理在中值类等式证明中的应用罗尔定理在中值类等式证明中的应用Һ郭改慧㊀白云霄㊀（陕西科技大学文理学院，陕西㊀西安㊀７１００２１）㊀㊀ʌ摘要ɔ介绍罗尔定理在证明中值类等式时几种常用的方法和技巧．ʌ关键词ɔ罗尔定理；高等数学；辅助函数ʌ基金项目ɔ陕西高等教育教学改革研究一般项目资助（１９ＢＹ０５３）；陕西科技大学研究生教育改革研究项目资助（ＪＧ２０１８０４）；２０１９年陕西科技大学教学改革研究项目资助（１９Ｙ０８４）一㊁引㊀言１６９１年，法国数学家罗尔在题为‘任意次方程的一个解法的证明“一文中，给出最原始的罗尔定理，即在多项式方程ｆ（ｘ）＝０的两个相邻的实根之间，方程ｆᶄ（ｘ）＝０至少有一个根．这是多项式形式的罗尔定理，也是现在看到的罗尔定理的特例．１８４６年，意大利数学家贝拉维蒂斯将这一定理推广到可微函数，并将此定理命名为 罗尔定理 ．作为微分中值定理中形式最为简单的罗尔定理，在高等数学相关问题的证明中有着重要应用．二㊁罗尔定理［１］定理：如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足如下条件：在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆᶄ（ξ）＝０．罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线．罗尔定理是微分学中重要定理之一，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，在高等数学中占有十分重要的地位．罗尔定理最常用的是解决函数零点问题或判断方程根的个数问题．事实上，在含有中值点的导数的等式证明中，罗尔定理也有着巧妙的应用．三㊁罗尔定理证明等式罗尔定理可用于中值类等式的证明．通常，形如ｆ（ｎ）（ξ）＝ｋ或Ｆ（ξ，ｆ（ξ），ｆᶄ（ξ））＝０的等式，可使用罗尔定理来证明．下面介绍几种常用的方法．（一）寻找相同端点法不需要构造辅助函数，只需根据题意寻找函数，存在两个或三个相同的端点值即可直接证明．例１㊀设函数ｆ（ｘ）在［０，３］上连续，在（０，３）内可导，且ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＝３，ｆ（３）＝１．求证：一定存在ξɪ（０，３）使得ｆᶄ（ξ）＝０．分析㊀所证结论为ｆ（ｎ）（ξ）＝ｋ的形式，可选择使用罗尔定理．由已知条件知不需要构造辅助函数，只需在（０，３）内寻找另一点的值与ｆ（３）相等．证明㊀由于函数ｆ（ｘ）在［０，３］上连续，则ｆ（ｘ）在［０，２］上连续，那么ｆ（ｘ）在［０，２］上必有最大值和最小值，分别设为Ｎ，ｎ，所以ｎɤｆ（０）ɤＮ，ｎɤｆ（１）ɤＮ，ｎɤｆ（２）ɤＮ，故ｎɤｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）３ɤＮ．由介值性定理知，至少存在一点ηɪ［０，２］，使得ｆ（η）＝ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）３＝１，即得ｆ（η）＝ｆ（３）．显然ｆ（ｘ）在［η，３］上满足罗尔定理的条件，所以存在ξɪ（η，３）⊂（０，３），使得ｆᶄ（ξ）＝０．例２㊀设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上连续，在（ｍ，ｎ）内具有二阶导数，且二者存在相等的最大值，并满足ｆ（ｍ）＝ｇ（ｍ），ｆ（ｎ）＝ｇ（ｎ），试证明：存在ξɪ（ｍ，ｎ）使得ｆᵡ（ξ）＝ｇᵡ（ξ）．分析㊀所证结论为ｆᵡ（ξ）＝ｇᵡ（ξ）的形式，可转化为Ｆᵡ（ξ）＝０，寻找三个相同的端点，两次使用罗尔定理即可证明．证明㊀令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），并设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）分别在点ａ，ｂɪ（ｍ，ｎ）取得最大值，不妨设ａ＜ｂ，则Ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）－ｇ（ａ）＞０，Ｆ（ｂ）＝ｆ（ｂ）－ｇ（ｂ）＜０．由零点定理知，存在ηɪ（ａ，ｂ）⊂（ｍ，ｎ），使得Ｆ（η）＝０．又因为Ｆ（ｍ）＝Ｆ（ｎ）＝０，分别在（ｍ，η），（η，ｎ）上对Ｆ（ｘ）应用罗尔定理，得Ｆᶄ（η１）＝０，η１ɪ（ｍ，η）；Ｆᶄ（η２）＝０，η２ɪ（η，ｎ）．再对Ｆᶄ（ｘ）在（η１，η２）上应用罗尔定理，得Ｆᵡ（ξ）＝０，ξɪ（η１，η２）⊂（ｍ，ｎ）．（二）构造辅助函数法应用微分中值定理证明中值类问题，最常用的方法是先构造辅助函数作为原函数，再根据条件选用合适的中值定理来证明．相关辅助函数的构造技巧可参见参考文献．对一些不易找到原函数的问题，可用常数ｋ值法㊁解微分方程法㊁不定积分法及综合法等来构造辅助函数达到解决问题的目的．１．常数ｋ值法对一些中值类等式命题，可对命题的结论简化变形以及移项，使一边为常数，并令该常数为ｋ，然后将该式恒等变形，化为对称式，从而找到满足罗尔定理的辅助函数，这样. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４６数学学习与研究㊀２０２１ ２３的方法称为常数ｋ值构造辅助函数法．例３㊀设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，求证：在（ａ，ｂ）内至少存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）．分析㊀此题型中常数已分离，可令ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｋ，即有ｂｆ（ｂ）－ｋｂ＝ａｆ（ａ）－ｋａ．此为对称式，且ａ与ｂ互换，等式不变．对此类型的问题，可作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－ｋｘ．证明㊀令Ｆ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａｘ．显然Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，又因为Ｆ（ａ）＝ａｆ（ａ）－ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａａ，Ｆ（ｂ）＝ｂｆ（ｂ）－ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａｂ，所以Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）．因此Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上满足罗尔定理，于是存在ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）－ｂｆ（ｂ）－ａｆ（ａ）ｂ－ａ＝０．从而得证．２．解微分方程法解微分方程法即为将求证存在ξ使Ｆ（ｘ）＝０中的ξ看作自变量ｘ，通过解微分方程Ｆ（ｘ）＝０得φ（ｘ）＝ｃ（其中ｃ为任意常数）．因为φᶄ（ξ）＝０等价于Ｆ（ｘ）＝０，所以φ（ｘ）就是所要构造的辅助函数．例４㊀设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，ｆ（１）＝２ｆ（０）．求证：至少存在一点ξɪ（０，１）使得（１＋ξ）ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）．分析㊀只需寻找一个函数φ（ｘ）满足罗尔定理的条件，且φᶄ（ｘ）＝［（１＋ｘ）ｆᶄ（ｘ）－ｆ（ｘ）］ｇ（ｘ），ｇ（ｘ）ʂ０．解常微分方程（１＋ｘ）ｆᶄ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０，可得ｆ（ｘ）１＋ｘ＝ｃ，从而可以得到所要构造的辅助函数．证明㊀设辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）１＋ｘ．显然Ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且Ｆ（１）＝Ｆ（０）＝ｆ（０）．由罗尔定理知，至少存在一点ξɪ（０，１），使得（１＋ξ）ｆᶄ（ξ）＝ｆ（ξ）．３．不定积分法将所证结论化简变形，并向罗尔定理或其余中值定理结论靠拢，通过对等式两端进行积分，构造适当的辅助函数来证明相关命题．例５㊀设ｆ（ｘ）在［１，２］上连续，在（１，２）内可导，且ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝４．求证：至少存在ξɪ（１，２），使得ξｆᶄ（ξ）＝２ｆ（ξ）成立．分析㊀所证问题即证［ｘｆᶄ（ｘ）－２ｆ（ｘ）］ｘ＝ξ＝０．因为不易凑出原函数，故把结论变形为ｆᶄ（ξ）ｆ（ξ）－２ξ＝０，把ξ换成ｘ，得ｆᶄ（ｘ）ｆ（ｘ）－２ｘ＝０，两端积分得ｌｎｆ（ｘ）－２ｌｎｘ＝ｌｎｃ，即ｆ（ｘ）ｘ２＝ｃ，可构造出辅助函数．证明㊀设辅助函数为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ２，则Ｆ（ｘ）在［１，２］上连续，在（１，２）内可导，且有Ｆ（１）＝Ｆ（２）＝１．故由罗尔定理知，存在一点ξɪ（１，２），使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即存在一点ξɪ（１，２），使得ξｆᶄ（ξ）＝２ｆ（ξ）成立．（三）综合法利用罗尔定理证明中值类等式方法灵活，构造辅助函数巧妙多变，有时需要将以上方法结合使用．例６㊀设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且满足ｆ（１）＝３ʏ１３０ｅ１－ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ，求证：至少存在一点ξɪ（０，１），使得ｆᶄ（ξ）＝２ξｆ（ξ）．分析㊀先解微分方程ｆᶄ（ｘ）＝２ｘｆ（ｘ），得到ｆ（ｘ）＝ｃｅｘ２，即ｆ（ｘ）ｅ－ｘ２＝ｃ，可构造辅助函数．证明㊀作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ－ｘ２，由已知条件ｆ（１）＝３ʏ１３０ｅ１－ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ，利用积分中值定理得Ｆ（１）＝ｆ（１）ｅ－１＝ｅ－η２ｆ（η）＝Ｆ（η）．其中ηɪ０，１３[]⊂［０，１］．显然Ｆ（ｘ）在［０，η］上连续，在（０，η）内可导，由罗尔定理知至少存在一点ξɪ（η，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即ｆᶄ（ξ）＝２ξｆ（ξ）．四㊁结束语运用罗尔定理证明等式时，通常要根据已知条件直接寻找相同的端点值，或者要构造辅助函数再寻找相同的端点值．如何构造辅助函数，取决于题目所给等式和条件．本文针对以上两种情形，总结出一些方法步骤及具体实例，有助于大家理解和掌握运用罗尔定理证明中值类等式的证明思路．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］吴瑞华，吕川，吕炜．罗尔定理应用技巧［Ｊ］．高等数学研究，２０２０（０５）：２０－２１．［３］杨丽娜．再谈应用罗尔定理证明等式过程中辅助函数的构造技巧［Ｊ］．高等数学研究，２０１６，１９（０５）：２４－２６．［４］石丽娜，邢丽丽．罗尔定理应用中辅助函数的两种构造方法［Ｊ］．高等数学研究，２０１９，２２（０３）：１３－１４，１７．［５］邱永利．罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（０１）：４．［６］柳叶．中值类等式证明中辅助函数的３种构造方法［Ｊ］．高师理科学刊，２０１７（０３）：１１－１５．. All Rights Reserved.。
利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用
利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用作者：张高明来源：《价值工程》2010年第31期摘要:罗尔定理在一元微分学处于很重要的地位,本文通过构造函数的思想来探究罗尔定理的应用。
Abstract: Rolle's theorem plays a very important part in the study of one differential calculus. This paper attempts to explore the application of R olle’s theorem from the perspective of constructing function.关键词:罗尔定理;构造函数;连续;可导Key words: RollTheorem;constructingfunction;continuous;derivatives中图分类号:O1-0 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)31-0140-021知识准备罗尔定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(b)=f(a),则在(a,b)至少存在一点ξ使下式成立:f′(ξ)=02如果有条件f(x)在一个端点上的值为 0,并且证明的等式有自然数m和n,则要借助fm和fn构造辅助函数例1:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)?酆0,x∈(a,b),f(a)=0则对任意自然数m 和n,存在x1∈(a,b)和x2∈(a,b)使= 成立。
证明:令g(x)=fn(x)fm(x)(a+b-x),因为f(a)=0则g(a)=g(b)=0由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使g′(ξ)=0即nfn-1(ξ)fm(a+b-ξ)f′(ξ)-mfn(ξ)fm-1(a+b-ξ)f′(a+b-ξ)=0令ξ=x1,a+b-ξ=x2整理得:=命题得证。
又如:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(b)=f(a)=0,f(x)?酆0,(x∈(a,b))则对任意的自然数n,存在ξ∈(a,b),使nf′(ξ)+f(ξ)=0成立。
罗尔定理论文
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且()()lim lim f x f x A x x a b ==+-→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令()()()()(0),,,,,0,.f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪=∈⎨⎪-=⎩容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使()()0F f ξξ''==.(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与()()22,x f x ，即()()12f x f x c ==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则()g t 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换()()t m a x t m t-=-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使()0g τ'=，而()()()()2()m a m m a mg f m ττττ---''=-， 于是取()(),m a a m ττξ-∈+∞-=，就有()0f ξ'=.3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换()(),t b s x t t s-=- s t b <<，其中b 为负数，同理可得，取()b s sτξτ-=-，就有()0f ξ'=. 2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑ (1) 证明：根据题设，函数()()()()()(),11ni i ji j j j b a f f H x x fb a f f =⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑,在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()()()()()()(),11ni i jj i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦∑()()()(),10ni i jj i j b a b a f f ff =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得()()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()()()()()()0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.证明：设()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =.由行列式性质知()()0F a F b ==，则由于满足罗尔定理，则(),a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=，则问题得证. （二） 罗尔定理的应用1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求()f x 满足条件()()f a f b =.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件→构造辅助函数()f x →验证()f x 满足罗尔定理的条件→应用罗尔定理→命题结论.例1：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明:在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-至少存在一个根.证明：令()()(){}()()222F x f b f a x b a f x =---，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且()()()()22F a f b a b f a F b =-=，根据罗尔定理，至少存在一个(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，则有()(){}()()222f b f a b a f ξξ'-=-，故在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-.至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的()F x ；其次，验证()F x 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.例2：设()f x 在),a +∞⎡⎣内可微，且满足不等式()0f x ≤≤， ()0,x ∀∈+∞,证明存在一点()0,ξ∈+∞，使得()221f ξξ'=+ 证明:由已知不等式知 ()00f =，()0lim x f x →+∞=.令()()F x f x =-，则()00F =，()()0lim lim lim x x x F x f x →+∞→+∞→+∞=-=，则由推广的罗尔定理，()0,ξ∃∈+∞，使得()0F ξ'=，即()221f ξξ'=+二、拉格朗日中值定理推广及应用 （一）拉格朗日中值定理推广 1.拉格朗日中值定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导.则在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()()()f b f a f b aξ-'=-.2.拉格朗日中值定理推广2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令()g x x =，()1h x =并代入上式即得拉格朗日中值定理()()()f b f a f b aξ-'=-.则就有下面推广：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少(),a b ξ∃∈，使()()()11010f a a f b b f ε='， 容易得到()()()f b f a f b aξ-'=-.2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式如果函数()()()12,,,n f x f x f n ⋯在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则对于任意给定的一组实数12,,n k k k ⋯,，且120n k k k ++⋯+=，必存在(),a b ξ∈，使得()()()11222111||||||0n n n n n b b b b b bk f f f k f f f k f f f a a a a a a ξξξ-'''⋯+⋯+⋯⋯+⋯=，其中，()()|i i i b f f b f a a =-，1,2,,.i n =⋯特别地，当12|||0n b b bf f f a a a⋯≠，上式可写()()()()()()()()()121211220n n n n f f f k k k f b f a f b f a f b f a ξξξ'''++⋯+=---.证明：令()()()()11222111||||||n n n n n b b b b b bx k f x f f k f x f f k f x f f a a a a a aφ-=⋯+⋯+⋯⋯+⋯.显示()x φ在[],a b 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立. 2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛. 命题 设函数()f x 在闭区间[],a b ，在开区间(),a b 内除了有限个点外可微，则存在(),a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，分别在[][],,,a d d b 应用拉格朗日定理中值定理，则得到()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈.令()()(){}12max ,f f f ξξξ'''=，使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.2.4 推广4 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若()f x 在(),a b 内除了n 个点处可微，则存在1n +个点，211n a b ξξξ+<<<⋯<<及1n +个正数1,21,,,n ααα+⋯使得111n i i α+==∑且()()11()()n i i i f b f a f b a αξ+='-=-∑.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，则由上述推广3得()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈，取1,2αα使()()12,b a d a b a b d αα-=--=-则12121,0,0αααα+=>>且()()()1122()()f b f a f f b a αξαξ''-=+-⎡⎤⎣⎦.这个证明方法可以推广到()f x 在n 个点上不可微得情形，可以的以上的推论. 2.5 推广5 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，则存在()0,x a b ∈及0,0,1p q p q ≥≥+=，使得()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.证明：（1）先证明若()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，且()()f b f a =，则存在()0,x a b ∈，使得()()000f x f x -+''≤.事实上，由()f x 在[],a b 连续，得,,M m ∃使得()m f x M ≤≤又()()f b f a =，故()f x 必在区间(),a b 内取得至少一个最值，不防设最值点为0x ，()0f x M =，()()000lim 0x x f x f x x x +→-≤-或()()00lim 0x x f x f x x x -→-≥-，()()000f x f x -+''≤.（2）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，则由()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''知()F x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数F -'，F +'，且有因为()()0F b F a ==，故由上面的结论()1,x a b ∃∈使得()()000F x F x -+''≤.不妨设()()000,0,F x F x -+''≥≤则()()()()110f b f a F x f x b a ---''=-≥-，()()()()010f b f a F x f x b a++-''=-≤-，即()()()()11f b f a f x f x b a+--''≤≤-，又()()()()111G x xf x x f x -+''=+-在[]0,1上连续函数.且()()10G f x +'=，()()11G f x -'=，有介值定理，()0,1p ∃∈使得()()()f b f a G p b a-=-，即()()()()()111f b f a pf x p f x b a-+-''+-=⎡⎤⎣⎦-，又1q p =-，则()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.(二) 拉格朗日中值定理应用 1.利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在(),a b 内至少有一点ξ，使得等式成立，但对ξ的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ，使它满足拉格朗日中值定理，使得()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下： 第一步，选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ；第二步，对所取的函数()f x 和对应的区间[],a b ，写出拉格朗日中值公式，()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，第三步，确定导函数()f ξ'在所讨论的区间上的单调性；第四步，分别,a b ξξ==，确定()f x '在区间端点上的导数值，由()f x '的单调性得出()f ξ'的范围：()()()f a f f b ξ'''<<， （当()f x '单调增加时） ()()()f a f x f b >>， （当()f x '单调减少时）由()()()f b f a f b aε-'=- ，(),a b ξ∈这个等式就得到数学不等式；若当()f x '单调增加时则有()()()()f b f a f a f b b a-''<<-，或有()()()()()()f a b a f b f a f b b a ''-<-<-.等,以下举例说明.例3 当0x >时，则有(1xIn x +>证明：设()(1f t tIn t =+ []0,t x ∈，并满足中值定理条件，且有()(1f t In t ⎛⎫'=++(0In t =>， []0,t x ∈， 所以()f t 在[]0,x 是单调递增的.故当0x >时，()()00f x f >= 则有(1xIn x +>2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.例4 求1121lim n n x n a a +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0a >.解：对()x f x a =应用拉格朗日定理，有()1122111lim lim |1x n n x x x n a a n a n n ε+=→∞→∞⎛⎫⎛⎫'-=⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2lim 1x n a Ina Ina n n ε→∞==+， 其中11,1n n ξ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭.参考文献：[1] 数学分析（上）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001[2] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2008 [3] 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广[J].河南:南阳理工学院.2008 [4] 陈守信.数学分析选讲[M]. 北京：机械工业出版社. 2009[5] 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式[J].牡丹江大学学报. 2008。
罗尔定理的条件和结论
罗尔定理的条件和结论
罗尔定理，又称罗尔纳阵定理或可移除性定理，是一种关于矩阵的数学定理。
罗尔定理的主要内容是：对于给定的n阶矩阵A，满足矩阵A的行列式不等于0的条件下，存在n阶矩阵B，使得A+B的行列式等于A的行列式，并且B的行列式等于0。
罗尔定理的条件是：给定的n阶矩阵A的行列式不等于0。
罗尔定理的结论是：存在n阶矩阵B，使得A+B的行列式等于A的行列式，并且B的行列式等于0。
罗尔定理可以用来证明n阶方阵中行列式不变的移除性。
在研究矩阵的特征以及计算行列式时，罗尔定理也得到广泛应用，能够大大提高我们计算行列式的效率，这也使得计算行列式更加容易。
此外，罗尔定理还为高等数学中的更多内容提供了支撑，这些内容有矩阵的特征值、行列式的乘积等。
活跃在高考解题中的罗尔定理
又
1 2
<
a
<
e, 2
所以 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ − 2
<
a
<
1.
综上, a 的取值范围为
(e − 2, 1).
点评 本题第一问考察分类讨论思想, 第二问通过罗
尔 定 理 能 迅 速 找 到 解 题 的 突破 口, 但 注 意 不 能 用 罗 尔 定 ∃x1 ∈ (0, x0), f ′(x1) = 0
理 两 次 按 如 下 思 路 去 解 答: ∃x2 ∈ (x0, 1), f ′(x2) = 0 ⇒f ′′(x) = 0 在 (0, 1) 上有解 (注: 错误思路) 以上思路是错
2
( e)
在一个实数 c ∈ 1 , 1 , 使得 f (c) = 0.
e
⃝2 再证唯一性. 假设 f (x) 有两个零点, 设为 x1, x2
(0 < x1 < x2), 则 f (x1) = f (x2) = 0, 由罗尔定理得: 至少
存在一个 a
∈
(x1, x2),
使得
f ′(a)
=
0, 即
1 2
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
47
活跃在高考解题中的罗尔定理
安徽省无为第三中学城北校区 (238300) 朱小扣 广东省兴宁市第一中学 (514500) 蓝云波
罗尔定理是微分学中一条重要的定理, 与拉格朗日中值
定理、柯西中值定理并称为是三大微分中值定理. 而高考中
的导数题有时仅仅依靠高中课本知识很难解决, 很多时候会
方程根的个数问题, 是有别于用函数单调性讨论零点的另一
种方法, 使用起来简单, 便于学生掌握.
第五讲 罗尔定理的应用
第五讲 罗尔定理的应用一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231n a a aa n ++++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++="在(0,1)内至少有一个实根。
例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程222[()()]()()x f b f a b a f x ′−=−在(,)a b 内至少存在一个实根。
例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。
例 4 证明方程2210x x −−=有且仅有三个不同的实根。
二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+=例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+=例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′=例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ′′−=− 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ⋅>，()02a b f a f +⎛⎞⋅<⎜⎟⎝⎠，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=例11设()f x 在[0,1]上可导，(1)2(0)f f =，证明：存在(0,1)c ∈，使得(1)()()c f c f c ′+=例12 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)0f ′=，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得2()(1)()0f f ξξξ′′′−−=例13 设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得1()1()f f ξξξ⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠例14设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ′−=′−注：类似的题目举不胜举。
罗尔定理应用中辅助函数的两种构造方法
∫ 犉（狓）＝ ［犳（狓）犵″（狓）－犳″（狓）犵（狓）］ｄ狓
∫ ∫ ＝ 犳（狓）ｄ犵′（狓）－ 犵（狓）ｄ犳′（狓）
分离法． 罗尔定理 若函数犳（狓）满足如下条件： （１）犳（狓）在 闭 区 间 ［犪，犫］上 连 续，即 犳（狓）∈
犆［犪，犫］； （２）犳（狓）在 开 区 间 （犪，犫）内 可 导，即 犳（狓）∈
犇（犪，犫）； （３）犳（犪）＝ 犳（犫）；
则在开区间（犪，犫）内至少存在一点ξ ∈ （犪，犫），使得 犳′（ξ）＝ ０．
犜狑狅 犕犲狋犺狅犱狊狅犳犆狅狀狊狋狉狌犮狋犻狀犵犃狌狓犻犾犻犪狉狔犉狌狀犮狋犻狅狀狊犻狀犝狊犻狀犵犚狅犾犾狊犜犺犲狅狉犲犿
ＳＨＩＬｉｎａａｎｄＸＩＮＧ Ｌｉｌｉ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ （ＥａｓｔＣｈｉｎａ），Ｑｉｎｇｄａｏ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ２６６５８０，Ｃｈｉｎａ）
犃犫狊狋狉犪犮狋 ＴｗｏｍｅｔｈｏｄｓｏｆｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｕｘｉｌｉａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＲｏｌｌｓｔｈｅｏｒｅｍａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｔｈｅｙａｒｅｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｅｐａｒａｔｉｎｇｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅ ｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｇｉｖｅｎｔｏｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅａｎｄｅａｓｙｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄａｎｄｔｏ ｇｒａｓｐ． 犓犲狔狑狅狉犱狊 Ｒｏｌｌｓｔｈｅｏｒｅｍ，ａｕｘｉｌｉａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
罗尔定理教案
《罗尔定理的几何意义及应用》教案定理探讨⑶)()(bfaf=，则在),(ba内至少存在一点ξ，使得)(='ξf。
【提问：教师写出⑴Cxf∈)(],[ba和⑵Dxf∈)(),(ba这两种符号代表什么含义？】2、几何意义：若曲线弧段AB连续，存在不垂直与x轴的切线，且端点函数值相等，则在曲线弧段AB上至少有一点，该点处的切线是水平的。
【提问：⑴Cxf∈)(],[ba在几何上表示什么？⑵Dxf∈)(),(ba在几何上表示什么含义？⑶)()(bfaf=表明曲线的什么几何意义？⑷罗尔定理的结论的直观意义是什么？即：在),(ba内至少存在一点ξ，使0)(='ξf，表明什么？】Cxf∈)(],[baDxf∈)(),(ba让学生说出这两种符号代表的含义，引导学生回顾以前学过的知识。
2、通过罗尔定理的条件和结论，引导学生发现罗尔定理的几何意义。
教师画图，让学生思考交流得出罗尔定理的几何意义。
启发法4分钟。
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高等数学中罗尔定理教学方法探讨
惠菊梅
(青海大学基础部,青海西宁810016)
摘要:根据四种命题间的关系,强调了罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件,对现行教材内容作了完善和补充。
关键词:罗尔定理;命题;条件
中图分类号:G420 文献标识码:C 文章编号:1006-8996(2003)03-0079-02
罗尔定理是微分学及其应用中许多定理及公式的基础,现用全国高等农业院校教材高等数学中对罗尔定理只直接写出定理,未作证明,也未作适当的引入或必要的铺垫,学生只知结果不知前因,对知识的衔接、理解掌握出现一定的难度。
另外,教材中还指出: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不成立 ,这说明罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件。
但教材没有在理论上系统地阐述且举例也较含糊,学生不易理解掌握。
针对这两个问题,笔者采用下述方法组织教学,
取得了较好的效果。
1 定理的引入
罗尔定理:如果函数y =f (x )满足下列条件:
[1](1)在闭区间[a ,b ]上连续
(2)在开区间(a ,b )内可导
(3)f (a )=f (b )
则在(a ,b )内至少存在一点 ,使得f ( )=0。
首先采用画图及简述的教学方法给出罗尔定理的基础费马定理: 若函数f (x )在开区间(a ,b )内一点 处可导且取得最大值(或最小值),则必有f ( )=0 。
设f ( )为最大值,则f (x ) f ( ),且f ( +)=f ( -)=f ( )
而f ( -)=lim x -f (x )-f ( )x - 0,f ( +)=lim x +f (x )-f ( )x -
0所以f ( )=0。
其次,讲明罗尔定理的三条题设既具体实用又满足费马定理的题设,所以就有费马定理的结论。
(1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数一定有最大值和最小值。
(2)在开区间(a ,b )内可导,对应 费马定理 的题设在开区间(a ,b )内一点 处可导。
(3)f (a )=f (b )的作用,若f (a ) f (b ),f (a )、f (b )分别是最大值和最小值,则无法在开区间(a ,b )内找到可导的 点,有了f (a )=f (b ),即使端点处取得最值,在开区间(a ,b )内至少还会有取得最大值(或最小值)的点,这样学生对罗尔定理容易理解掌握。
2 罗尔定理的题设是结论成立的充分而非必要条件
例1[2] 研究函数f (x )=x 2
-4x +3在区间[-1,4]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=2x -4,令f (x )=0,则有2x -4=0,解得x =2,即f (2)=0,所以 =2。
后面又收稿日期:2002-11-20作者简介:惠菊梅(1953 ),女,陕西清涧人,讲师。
第21卷 第3期
2003年6月 青海大学学报(自然科学版)
Journal of Qinghai University Vol.21No.3
Jun.2003
有: 显然例1中的函数f (x )=x 2-4x +3在区间[-1,4]上满足罗尔定理的三个条件,而x =2,2 (-1,4)使f (2)=0符合罗尔定理的结论 。
这段话显然不妥,因为f (-1) f (4),即该题不满足罗尔定理题设的第三条,但例题的解法正确。
可这样理解:该例题说明罗尔定理的三个条件不全成立,结论也有成立的可能性。
即罗尔定理的否命题是假命题,根据四种命题间的关系,原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题,从而得出罗尔定理的逆命题是假命题,即罗尔定理的题设是结论成立的充分条件而非必要条件。
例2[2] 研究函数f (x )=x 23在[-1,1]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=23x -13,令f (x )=0,即23
x -13=0,此方程无解,因此,找不到x = ,使f ( )=0。
后面又有: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不满足,如例2中f (x )=x 23在[-1,1]上不满足第二个条件,因为f (0)不存在,即曲线在原点的切线垂直于x 轴。
这段话的意思是说三个条件不全成立,结论可能不成立,但容易造成错觉,理解为 题设不成立,结论也不成立 。
可通过逆否命题来解释这一问题, 找不到符合条件的 使f ( )=0,则三个条件一定不全成立, 例2中第二个条件不成立。
根据四种命题间的关系,原命题的逆否命题与原命题是等价的,所以罗尔定理的逆否命题是正确的命题。
参考文献:
[1]吴亲仁,陆秀丽译.数学分析原理(第一卷第一分册)[M].北京:人民教育出版社,1979.186-188.
[2]张嘉林.高等数学[M].北京:中国农业出版社,2000.72-73.
(责任编辑 唐宏伟)
(上接第78页)
灌输关于道德的各种美丽动听的言辞和准则 。
[3]
因此,法律基础课的教学应分为课堂教学与课外实践两个部分,教学方式应更加趋向实证化,重实际,重调查研究。
在课堂教学中,力戒一本书、一支笔、一张嘴、一堂课的传统的 满堂灌 的方法。
多采用对话式教学和引导式教学方法,以学生为主体,以教师为主导,通过案例教学和现代多媒体教学手段的采用,提高教学活动的直观性和生动性,调动学生学习的积极性、主动性、创造性,省时高效,优化教学效果。
与此同时,把课堂教学与课外实践活动紧密结合起来,开展形式多样、丰富多彩、同学们喜闻乐见的教学实践活动,如:通过请进来,走出去的方式带领学生旁听法庭审判,开展法律知识竞赛,进行普遍存在的法律问题的社会调查,开展法律咨询活动,组织 法就在我身边 等的专题讨论会、辩论会,组织模拟法庭等,加大教学实践的力度。
提高教学的现实性和生动性。
最终优化教学内容,提高教学质量,落实教学要求,达到教学目的。
综上所述,法律基础课教学改革是一个环环相扣、紧密相连的系统工程。
它以明确学科性质,把握学科定位为前提,以教材重组和教学内容创新为根本,以教学方式和手段改革为保障。
并需要各级各类教育部门、学校、师生通力合作,通过一系列改革,提高法律基础课的针对性和实效性,进一步发挥法律基础课在培养大学生法治人格上的重要作用,为大学生的自身成长和依法治国的宏伟大业,奠定坚实的基础。
参考文献:
[1]谷春德,陈劳志.法律基础教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.1-7.
[2]潘菽.教育心理学[M].北京:人民教育出版社,1983.156.
[3]列宁.列宁选集(第四卷)[M].北京:人民出版社,1972.355.(责任编辑 陈 军)80 青海大学学报 第21卷。