一种基于傅氏算法的高精度测频方法

的表现进行了仿真。各仿真中初值都设为５０Ｈｚ， 每周波采样Ｎ＝１０２４点，为避免过零点的影响，设 Ｍ＝Ｎ１８，若某测量频率与上次测量频率之差小于 Ｏ．００５Ｈｚ，则停止迭代，视该频率为真实值。 ３．２无谐波时的情况
当信弓为完全正弦波时，设电压信号 ｕ（ｔ）＝Ｕ ｓｉｎ（２Ｔｃｆｔ＋咖，其频率在３０—７０Ｈｚ变化，初 相角随机选择。测量结果如表１。
］ｔｈｂ．１
表ｌ信号中不舍谐波时的仿真结果 Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ
ｆｏｒ ａ ｓｉｇｎａｌ ｗｉｔｈｏｕｔ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ
真实频率／Ｈｚ测量频率／Ｈｚ绝对误差，Ｈｚ相对混差，％迭代次数
可见，对于纯正弦的情况，计算精度可达到 ０．００１Ｈｚ。而计算时间则只需１．１２５个基波周期（傅 氏算法的数据窗长加消除过零点影响的＾仁Ｎ／８）， 对于５０Ｈｚ信号，数据窗只需２２．５ｍｓ，加上计算本 身所需时间，２３ｍｓ左右即盯得准确的频率值。 ３．３有谐波时的情况
本文仔细研究了正弦信号经傅氏算法变换后 的结果，发现随着数据商的推移，傅氏算法得到相 量的实部和虚部满足一个恒等式，由此得到一种新 的测频方法，无需计算相量的相角，无需自适应凋 整采样频率，仅需２３ｍｓ左右的时间，在存在噪声 和谐波的情况Ｆ，仍能准确求出基波频率。
２算法的基本原理
２．１ 信号中仅有基波分量 设原始电压信号中仅含有基波分量，即
为考察谐波条件下算法的性能，设原信号为
ｕ（ｔ）＝ｓｉｎ（２ｘｆｔ＋竹）十０．２ｓｉｎ（２×２妒－４－仍）＋ Ｏ．１ｓｉｎ（３ｘ２啦４－仍）＋Ｏ．１
具体过程描述如下：
（１）如果估计频率，等于初始设定频率而（通 常取５０Ｈｚ），则此频率也就是系统真实频率。
（２）如果估计频率与预设频率不等，且迭代
次数未到限定值，则将此估计频率作，为新的预设
万方数据
８０
中国电机工程学报
第２６卷
频率，转入步骤（３）。如果迭代次数已到，则跳出 循环，将最后一次迭代值做为频率测量值。
ｕ（ｔ）＝Ｕ ｓｉｎ（２Ｒｆｉ＋妒）
（１）
式中 Ｕ、扮别表示基波电压的幅值和初相角。若
用．而表示额定频率，Ⅳ表示频差，真实频率为．厂’ 三者之问存在如下关系
万方数据
翌！型
主二墨篓！ ．塑茎±堡墨簦鎏塑壹堕鏖型塑查鲨
！！百度文库
ｆ＝，０＋Ａｆ
（２）
即
由于真实频翠未知，事先只能假定系统频率为
额定值＾，对时间窗［Ｏ，列使用傅氏算法得
（３）假设系统采样率保持不变，对于而每周 期采样点数为Ⅳ０，则对于频率，每周期点数应为 Ⅳ＿＝耳Ｎｏｆｆｆ），目·）为根据四舍五入原则的取整函数。 需注意的是，一般情况下，对于频率＾采样频率 Ｎｏｌｏ并不是整周期采样（即ＮＣ＝Ｎｏｆｏ／ｆ），这就意味着 将式（３）、（４）等离散化进行积分时将带来误差，为解 决这个问题，可以对新的Ⅳ点数字序列进行插值。
ｒ ｓｉｎ（４晚ｆ＋２ⅡＡｔ＇ｔ＋妒＋２舻万ｒｏ皿）＝
丽器而咖（螂埘：矽》ｓｉｎ（勰）（８）
ｃ挚２十ｃ格卜置２ ∽
（ｆｏ＾＋Ａｆ）２＝糌２ 、＾
２＝芳 ｕ品一ｕ；， Ｚ？
（”１…０）
其中Ｍ ２ ２，可根据具体情况来选择。显然，对于
单次计算，ｌｕ：，一ｕ：ｌ可能较小甚至为０，但对于
、‘１
。Ｉ
连续Ｍ点而言，式（１４）分母必不为０，且此时分子
ＡＢＳＴＲＡＣ’Ｉ！Ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｅ ｓｉｇｎａｌ ｆｉｌｔｅｒｅｄ ｂｙ Ｆｏｕｒｉｅｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｐａｒｔ ａｎｄ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｈａｓｏｒ ｇａｉｎｅｄ ｂｙ Ｆｏｕｒｉｅｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｓａｔｉｓｆｙ ａｌｌ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｈｉｆｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ｗｉｎｄｏｗ．Ｈｅｎｃｅ，ａ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｃｏｍｅｓ ｉｎｔｏ ｂｅｉｎｇ．Ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｃｃｏｒｄｃｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ，ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｎｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｓ ８１－ｃ ｕｓｅｄ ｔｏ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓａｍｐｌｅｓ ｆｏｒ ｆａｓｔｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｓｐｅｅｄ ｂｙ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｃａｎ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ｏｂｔａｉｎ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎ ２３ｍｓ Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ ａｎｄ ｎｏｉｓｅｓ ａｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎａｌｌｔｈｅｓｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ
硬件处理器的运算速度决定了能够迭代的次 数。通常随着迭代次数的增加，频率测量的精度也 将大大提高，但通过大量仿真可以发现，迭代次数 在６次以上时，精度的提高将变得非常有限。因此 实际应用时可以考虑将迭代次数限制在１０次。实 际使用时，还可以上一点的测频输出值为基础进行 迭代，这样如果频率变化不是太剧烈，收敛速度将 会更快。图１为某次计算实例，横坐标为迭代次数，
第２６卷第２期 ２００５年１月
文章编号：０２５８—８０１３（２００６）０２—００７８—０４
中国电机Ｔ程学报
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆｔｈｅ ＣＳＥＥ
中图分类号：ＴＭ７６１ 文献标识码：Ａ
Ｖ０１．２６Ｎｏ ２ Ｊａｎ ２００６ ＠２００６ Ｃｈｉｎ Ｓｏｃ．ｆｏｒ Ｅｌｅｃ．Ｅｎｇ．
学科分类号：４７０ ４０
由于采用了四舍五入原则，对于Ｎ＜－Ｎｏ＾∥及Ｎ＞Ｎｏ
ｆｄｆ两种情况，插值公式并不一致。设原采样序列
为ｚ（ｆ）（ｉ＝１，２，…），使用一阶线性插值，有
，．ｐ，扛１
。（‘户Ｉｘ（ｉ）州ｆ＋１）－ｘ（ｉ］，ｉｆｏ．Ｎ，ｏ一－ｉ）
【
∥Ｖ
ｉ＝２，３，…Ｎ≤ｆｏⅣｆ、／ｆ
…、Ｐ乒１
加户ｊｘ（ｉ一１）十［“ｆ）－ｘ（ｉ一１）］（墼鍪牛１）
（１２）
（”１３“）
ｂ １６ｌ＋ｌｄｌ＋ｌ／｝
‘万Ｔｏ，ｒｏ＋争，类似的使用傅氏算法
因此可用式（１４）代替式（１１）
Ｕ．．＿Ｌ２。。ｓｌ，“（ｆ＋熹）ｓ近２砥ｆⅫ＝
ｆ＝，０
ｆ１４１
等（胁ｓ（础埘２珂ｄｔ—
ｒｃｏｓ（４＂ｘｆｏＨ２ｒ，４ａ＋妒＋２可万ＴｏⅫ）＝
面丽２Ｖｆ石。丽ｃ。ｓ（ｒ，４ｆｉｒｏ＋妒＋２彤熹）ｓｉｎ（嗍）（７） ｕ，＝吾Ｆ吣＋争ｃｏｓ（２矾ｒ肌＝ ｉＵ【Ｊ。Ｔｏｓｍ．（２撑十矿十２珂≥皿＋
一种基于傅氏算法的高精度测频方法
李一泉， 何奔腾
（浙江大学电气工程学院， 浙江省杭州市３１００２７）
Ａ Ｈｉｇｈ－Ａｃｃｕｒａｃｙ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｆｉｌｔｅｒ
Ｕ Ｙｉ－ｑｕａｎ．ＨＥ Ｂｅｎ＿ｔｅｎｇ （Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００２７，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ）
心藤
Ⅲ，
ｕ。＝吾ｒ坤）ｓｉｎ（２１＿ｃｆｏｆｍ＝等（Ｐ ｃｏｓ（２坞８坤胁一
此时即可求得系统真实频率厂，对于纯正弦波
无理论误差，优于以往根据相角变化求频率的方
ｒ ｃｏｓ（铖ｆ＋２哗＋妒灿２面驴２瓦Ｕｆｏ巧ｊ
ｃｏｓ（鸠儡＋ｉｐ）ｓｉｎ（ｒｔ母Ｔｏ）
（３）
法，因为真实频率未知情况下求得的相角本身并不 准确。
ＫＥＹ ＷＯＲＤＳ：Ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ；Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ；
Ｆｏｕｒｉｅｒ ｆｉｌｔｅｒ；Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ
摘要：该文仔细研究ｒ正弦信号经傅氏算法变换后的结果， 发现随着数据窗的推移，傅氏算法得到的相量实部和虚部满 足一个恒等式，由此得到一种新的测频方法。为了提高谐波 情况下测频的精度，以前一次频率测量值为基础进行迭代， 在对采样数据插值的基础卜，使得迭代很快的收敛，仅需 ２３ｍｓ左右的时间，即可准确求出基波频率。分别对原始信 号为纯基波、存在谐波和噪声等情况进行，仿真，结果表明， 算法在各种情况Ｆ都具有很高的计算精度。
实际使用时，山于必须将积分各式离散化，此
ｕ，。＝ｉ２ Ｊ（）ｒｏ“（ｆ）ｃ。ｓ（２７嘛ｆ）ｄｆ＝ｉＵ ｔ Ｊ。／７，’ｓｉｎ（２７【匀｝＋妒）ｄＨ．
时采样频率的大小将直接影响积分值的准确性，采 样点越密，离散积分值与理论积分值就越接近，测
舳ａ舭：蝴删５面鬻砉％
ｓｉｎ（鸸风＋妒）ｓｉｎ（丁【螈）
（４）
纵坐标为每次迭代时的频率测量值，实际频率为 ４５Ｈｚ，含有２０％的二次谐波，１０％的三次谐波及 ３０ｄＢ的高斯白噪声，初始频率设为５０Ｈｚ。
Ｆｉｇ．１
图ｌ各次迭代时的频率计算值 Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆｅｖｅｒｙｔｉｍｅｉｔｅｒａｔｉｏｎ
３算法仿真
３．１概述 为验证文中算法的正确性，对各种情况下算法
量频率也就越准确。 同时，由式（ＩＩＪ还可知，若相邻两次计算所得
的实部绝对值比较接近，则计算出的频率值可能误
Ⅳ２瓦丽ｚ丽ｕ 考察式（３）和式（４），令 ｓｉｎ（ⅡＡｆｆｏ）（５…） 丌五Ⅳ（２矗＋Ⅳ）
差较大，必须进行另外处理。 按照等比定理
ａ
Ｃ
Ｐ
显然有
（等）２十（南灶芷２ （６）有
■＝■＝了＞０
堡：删
分母都比较大，这就解决了分母过零点的问题。
２．２信号中含有谐波 ２．２．１迭代算法的实现
如果电压信号中含有谐波分量，情况将有所不
同。因为傅氏算法是针对额定频率，若频率发生偏 移，谐波的频率必然也发生偏移，而基于额定频率 的傅氏算法对于偏移了的谐波分量并不能很好的
抑制，从而可能导致测频误差的明显增大。但如果 是基于系统真实频率的傅氏算法，则能得到更好的 滤波效果，由此可以利用迭代方法提高测频精度。
关键词：电力系统：频率测量；傅氏算法：迭代
１ 引言
频率是反映电力系统运行特性的重要参数。通 过及时、准确地测量系统频率，可以预测系统是否 将失去稳定，从而通过切机、切负荷控制等来保证 系统的安全运行。
目前，测频方法主要可分为两类，分别基于硬
件［Ｉ－３］及软件”。８】。软件方法往往是纯数字算法，使 用灵活，投资较少，因而获得了广泛的重视，除了 传统的电压过零点法，还出现了基于插值的ＣＲＯＳＳ 法、最小二乘法、卡尔曼滤波法、基于滤波的方法”１ 等，这些方法大多计算量偏大，在计算精度和计算 速度之间不能较好地统一，影响了实际应用。而傅 氏算法具有内在的不敏感于谐波分量的特性，电力 系统保护中又常常采用该算法计算基波向量。如能 在傅氏算法的基础进一步探求准确、快速的测频方 法，无疑是很有意义的。Ｓｉｄｈｕｔｌ０－１１１、Ｐｈａｄｋｅｔｌ２－１ ３１ 等人提出了利用电压相量相角的变化来测量频率的 方法，但是如果频率真实值未知，用来计算相角的 傅氏算法本身就不可能得到相角真实值“…，因此， 该方法存在原理误差。且为了测量的精度，通常在 傅氏算法的一个周波时间窗以外，还需要较长时间 （比如一个周波），待相角拉开到一定程度后才能得 到较准确的值，这又直接影响了算法的快速性。
【
∥Ｖ
ｉ＝２，３，·· Ｎ＞氏Ｎｎｉｆ （４）为消除过零点的影响，固定公式（１４）中 Ｍ＝Ｎ／８，根据新的预设频率，及序列，（ｉ），按照２．１ 节中方法进行频率计算，得频率＾，若频率，ｌ与频 率ｒ的偏差的绝对值小于一个门槛（如０．００５Ｈｚ）， 则认为频率＾即为系统真实频率，否则将户＾，返 回步骤（２）。
通常频率偏移并不会很大，如阢，正Ｊ，则对于固 定采样频率Ｎｏｙｏ，新的估计频率每周期采样点数．Ⅳ 将会落在一个比较小的范围［兀Ⅳｏ，五，，０Ⅳ０／矗］内， 从而可以离线计算出各ｓｉｎ（２ｋｎ／Ｎ）、ｃｏｓ（２ｋｒＵＮ） （ｋ＝Ｌ２，…，Ｎ）的值，应用时直接查表即叮。 ２．２ ２迭代算法的收敛性
如果初值离真实频率比较远，可能导致迭代次 数增加，从而降低算法的性能。由于系统频琦夏偏移 通常不会很大，因此推荐将频率初值设为额定值。