韦达定理习题

一元二次方程根与系数的关系习题

1、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根是1x 、2x ，那么21x x += ，21x x ⋅= 。

2、已知1x 、2x 是方程04322=-+x x 的两个根，那么：21x x += ；21x x ⋅= ；=+2

111x x ；=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；||21x x -= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a = 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且21x x +=－2，则m= ，21x x ⋅ = 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为

9

13，那么常数项应改为 。

12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二

次方程为 。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为1x 、2x ，且

43x 1x 121-=+，则m= 。

18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。

21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

23、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

24、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

0362)2(,053)1(22=+-=--x x x

25、已知1x 和2x 是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）321231x x x x +

（2）22

21x 1x 1+ （3）22221)(x x -

（4）21x x -

（5）2

21

122x x x x + （6）5

2212251x x x x +

26、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。

27、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

28、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。

29、已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式1||21=-x x ，求m 的值及两个根。

30、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足

100

91)1)(1(=---βα，求m 的值。

31、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：

(1)两根互为倒数；

(2)两根互为相反数；

(3)有一根为零；

(4)有一根为1；

(5)两根的平方和为64

1。

32、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

33、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

34、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和

等于29，求b、c的值。

35、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

36、已知一元二次方程(2k －3)x 2+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。

37、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。

38、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。

39、已知1x 、2x 是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；1y 、2y 是关于y 的方

程y 2+5my+7=0的两个实数根，且11y x -=2,2

2y x -=2，求m 、n 的值。