高考模拟试题命题说题

高考模拟试题命题、说题竞赛
一．试题呈现 【选择题】
12. 对于函数()f x ，若12x x ，满足1212()()()f x f x f x x ++=，则称12x x ，为函数()f x 的一对“线性对称点”，若实数a 与b 和b a +与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）
A.3log 4
B.3log 41+
C.
43
D.3log 41-
【填空题】
15. 在ABC ∆中，点P 在线段BC 上，PC BP λ=,过点P 的直线交AB 延长线于点M ，交AC 于点N ，若AC n AN AB m AM ==,,当n m 2+取得最小值3时，λ= . 【解答题】
{}2
2ln
2)1(.,
21
,21,)1(,ln )(.2111+-<-==≤+=+n n S a S n a a a a ax x f x x f n n n n n ）求证：（的值；求项和为其前满足数列在其定义域内恒成立已知函数
二．试题解析
【选择题】
12. 对于函数()f x ，若12x x ，满足1212()()()f x f x f x x ++=，则称12x x ，为函数()f x 的一对“线性对称点”，若实数a 与b 和b a +与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）
A.3log 4
B.3log 41+
C.
43
D.3log 41-
【答案】D
【解析】依题⇒=+=+++++c b a c b a b
a b
a
333,3
333333a b c a b c ++++=，
因为b a b a b a b a ++=⋅≥+=32332333，所以34a b
+≥（当且仅当a b =时取等号）.
又3333
a
b
c
a b c
++++=，所以3314
313333
3111a b a b c
a b
a b a b +++++=≤---==+， 从而c 的最大值为:3log 41-，故选D.
【填空题】
15.在ABC ∆中，点P 在线段BC 上，PC BP λ=,过点P 的直线交AB 延长线于点M ，交AC 于点N ，若AC n AN AB m AM ==,,当n m 2+取得最小值3时，λ= . 【答案】2
【解析】依题，)0(11,0,>+=+>λλλ
n
m n m 且，2132221221)1(2=⇒+=++≥+++=++λλλλλλλ）（）（n
m
m n n m n m
【解答题】
{}2
2
ln
2)1(.,
21
,21,)1(,ln )(.2111+-<-==≤+=+n n S a S n a a a a ax x f x x f n n n n n ）求证：（的值；求项和为其前满足数列在其定义域内恒成立已知函数
()()分，分不合题意，时则即当分，不合题意；时，则即当分
处取得最大值，在上单减，
，上单增，在，在，
则，
则若分
不合题意，，当上单增
，在若注意令，）由解：（5 (1011)
4...............;0)(,0,11,10113......0)(,110,100112.. (11)
)(11111-)(11
,0)(11
1-,0)(,01..................,0)(,01-)(,0)(,0)
1(,1
1
)(,
0)0(,)1ln()(,0)1ln()1(1////==-∴>⎪⎭⎫
⎝⎛-∈><->⎪⎭⎫
⎝⎛-∈<<>--=∴⎪⎭⎫
⎝⎛∞+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴-><-<<>>>∞+∈∴∞+>≤->-+==-+=≤-+≤+a a x h a x a a x h a x a a a
x x h a a x h a x x h a
x x h a x h x x h x h a x a x x h h ax x x h ax x ax x f
分为等差数列，
数列分7 (11)
1,1-11116 (1)
1
1121
121121
1)2(11+-=-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-=--=
---=--=-++n a n a a a a a a a a a a n n n n n n n n
n
n n
{})
11
1ln(1,28......, (2)
3
ln 1,1,22ln
T 11++-=-=≥-==+-=-n T T b n b n n n n b n n n n n 当分
当项和的前设数列 时，也成立当1=n
分9...) (11)
1ln(1++
-=∴n b n
11
1)111ln(110 (1)
1
)111ln(,110)1ln(11+-
>++-∴+<++=+=≤+=n n n n x n x x x a 分则令
取等号）恒成立（时，）知，当由（
分分即12 (22)
ln
,
11..., (1)
1
+-=<∴=>∴>∑∑==n n T S S a b a b n n n n
i i n
i i n n
三．试题概况
四．命题探究过程（以15题为例）
【2016级成都一诊变式试题】如下图点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线MN 与AB,AC 两边分别交于M,N 两点，且,AB x AM =,AC y AN =.若ABC AMN S S ∆∆=3
2
,则=+y x .
（1）ABC ∆的重心
人教A 版八年级数学上册：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 【论题】
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
（如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC,AB 的中点，AD 与CE 交于点G ，求证：1:2:=GD AG ）
【论证】
过D 作CE DF //交AB 于F ，因为D 为BC 中点，所以F 为BE 中点，（平行线分线段成比例）又E 为AB 中点，所以AE:EF=2:1,又CE DF //所以，1:2:=GD AG 可知：AD AG 3
2
=
即1:2:=GD AG 。

本论证是由一般到特殊的推理，就是演绎推理。

演绎推理主要是由一般性前提推出个别性结论的推理，是必然性推理，即结论是可靠的。

（2）平面向量基本定理
以AB 、AC 为邻边构造平行四边形ABTC ，对角线BC 、AT 交于D ，则AD AC AB AT 2=+=,由关联（1）知AD AG 3
2
=，
B
C
C
所以)(2
1
3232AC AB AD AG +⨯==
AN y AM x AC AB 3131)(31+=
+= （3）M 、N 、G 三点共线 【论题】
M 、N 、G 三点共线，A 为平面内一点，若,AM y AN x AG +=则1=+y x 【论证】
M 、N 、G 三点共线，存在实数λ，使得)10(<<=λλMN MG
即)(AM AN AM AG -=-λ，所以AM AN AG )1(λλ-+=,AM y AN x +=而
1)1(=-+λλ，所以1=+y x .（本论证是由一般到特殊的推理，就是演绎推理。

）
由关联（2）AN y
AM x AG 3131+=，知13131=+y x 即311=+y x
（4）三角形面积比
共角三角形面积比，面积公式。

ABC AMN S S ∆∆=
3
2，变形为32
=∆∆ABC AMN S S
即
32sin 2
1sin 21
==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆∆xy AC AN AB AM A AC AB A
AN AM S S ABC
AMN
（5）依题，31
1,32=+=y
x xy 且所以33
211=+=+=+y x xy y x y x 知2=+y x （6）变式运用1解答过程中得出了31
1=+y x 结论，相当于知道了的y x ,关系，若将条件
ABC AMN S S ∆∆=
3
2
去掉，题目变为求)0,(>+y x y x 的最小值问题也是可以的。

M
N
（6）变式运用2
如上图，G 为BC 边中点，过点G 的直线交AB 、AC 边所在直线为M 、N ，若AB x AM =,
AC y AN =，则=+y
x 1
1 .2
通过题目及变式2可以归纳推理：如上图，P 可以在中线AG 上移动，过点P 的直线交AB 、AC 边所在直线为M 、N ，AB x AM =,AG AP AC y AN λ==，.则
λ
2
11=+y x .
通过题目及变式2还可以归纳推理：G 在BC 上移动，过点G 的直线交AB 、AC 边所在直线为M 、N ，AB x AM =,GC BG AC y AN λ==，.则
λλ
+=+11y
x . 数学中从公理、定理可以推出了浩瀚的数学结构，从题目反思推理的过程，实现了在归纳与演绎中培养核心素养。

.............命出试题
15.在ABC ∆中，点P 在线段BC 上，PC BP λ=,过点P 的直线交AB 延长线于点M ，交AC
C
C
M
C
于点N ，若AC n AN AB m AM ==,,当n m 2+取得最小值3时，λ= .。