控制系统的动态数学模型

定律及实验规律为依据的微分方程又是最基
本的数学模型，是列写传递函数和状态空间
方程的基础。 2019/9/11
控制工程基础
本章要熟悉下列内容： 1、建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统和电
路网络）的数学模型及模型的线性化
2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换 3、经典控制理论的数学基础：传递函数 4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图 5、受控机械对象的数学模型 6、绘制实际机电系统的函数方块图 7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型
控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型 2.2 数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及反变换 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数 2.5 系统函数方块图及其简化 2.6 系统信号流图及梅逊公式 2.7 受控机械对象数学模型 2.8 绘制实际机电系统的函数方块图 2.9 状态空间方程
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控制工程基础
电动机 减速器
k1 J11
工作台+工件
k32 m31 m32
k231
k121
J12
J3
J2
k31
m2
k232 k122
k1 m1
20系19/统 9/11 1
D1 k121 m2 k122
D2 k231
k232 系统 2控制工程基础
k31 k32
D3 m31+m32
系统 3
传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之
间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学 模型。
建立数学模型是控制系统分析与设计中最
重要的工作！ 2019/9/11
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2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统
机电控制系统的受控对象是机械系统。 在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和 刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在 集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽 略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性 忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的 机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
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动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡
态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物 理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输 出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与 它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程 常用作动态数学模型。
对于给定的动态系统，数学模型不是唯一
的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，
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dx xx
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析 连续、线性、时不变系统的重要工具！

f
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pL ,x x
, xx0 pL p控L0制工程基础
Kc


f

pL ,x pL
xx0
pL pL0
Q A d (y) dt
pL A

M
d 2 (y) dt 2

D
d (y) dt

KcM A

d
2 (y) dt 2
D
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见光盘课件（第二章第一节）
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有源电路网络
ui (t) C uo (t)
R
dt
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RC
uo (t dt
) ui
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(t)
2.2 数学模型的线性化
线性模型：满足叠加性与齐次性，用来描述线性系统。
叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总
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线性化方法：一般可在系统工作平衡 点附近，对非线性方程采用台劳级数展开 进行线性化，略去高阶项，保留一阶项， 就可得到近似的线性模型。
由于反馈系统不允许出现大的偏差， 因此，这种线性化方法对于闭环控制系统 具有实际意义。
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阀控液压缸例
图 2-7
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y

f
(x)

f
(x)
df (x) (x x) dx
1 2
d
2 f (x dx2
)
(
x

x
)
2

如果 x x 很小，可以忽略其高阶项，因
此上述方程可写成增量方程形式
y Kx
df
其中，y y y y f (x) ，x x x ，K
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2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。
系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。
静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。

KcD A

A
d (y) dt

Kq (x)
KcM A

y(t)

KcD A

A y(t)

Kq x(t)
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线性化方法：假设变量相对于某一工作状态 （平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为
y(t) f (x(t))
简写为 y f (x) 。如果系统的工作平衡点 为 x, y ，则方程可以在 x 点附近台劳展开
的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。
齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同 的常数。
即若
为线性系统，则
f : x(t) y(t)
非线性模f型(：x1不(t)满足x叠2 (加t)性) 或齐y1次(t)性，y用2 (非t)线性方程
表示。 用来描述非线性系统。
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D
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图 2-8
QL0 f ( pL0 ,x0 )
QL

f
(
pL0
,x0
)


f
pL ,x x
xx0 pL pL0
x


f
pL pL
,x
xx0
pL pL0
pL

QL Kqx KcpL
Kq
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建立控制系统的数学模型，并在此基础 上对控制系统进行分析、综合，是机电控制 工程的基本方法。如果将物理系统在信号传 递过程中的动态特性用数学表达式描述出来， 就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要以传
递函数为基础。而现代控制理论采用的数学
模型主要以状态空间方程为基础。而以物理