动态规划之01背包问题及改进

动态规划之-0-１背包问题及改进

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有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i］，价值是v[ｉ]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时,对于每种物品ｉ,只能选择装包或不装包，不能装入多次,也不能部分装入,因此成为０-1背包问题。

形式化描述为：给定n个物品，背包容量Ｃ>0，重量第i件物品的重量w[i]>０, 价值ｖ[i] >０, 1≤ｉ≤n.要求找一n元向量(X1，Ｘ2,…，Xｎ,), X i∈{0,1}, 使得∑(ｗ[i] * Xi) ≤C,且∑ｖ[i] * Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

数学描述为：

求解最优值:

设最优值m（ｉ，ｊ)为背包容量为j、可选择物品为i，ｉ+１，……,ｎ时的最优值（装入包的最大价值）。所以原问题的解为ｍ（1,C）

将原问题分解为其子结构来求解。要求原问题的解ｍ（１，C)，可从m(ｎ,C)，m(ｎ－1，C),m（n-2,C)...．.来依次求解，即可装包物品分别为（物品ｎ）、（物品n-1,n）、(物品n-2，n-1,ｎ)、……、(物品1，物品2,……物品n-１，物品n)。最后求出的值即为最优值m(1，C)。

若求m（ｉ,j),此时已经求出m(ｉ＋1,j)，即第ｉ+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。

对于此时背包剩余容量 j=0,1，２,３……C,分两种情况：

(1)当ｗ[i] > ｊ ,即第i个物品重量大于背包容量j时，m（i，j)=ｍ(ｉ+1,j）

（2)当ｗ［i] <=j，即第i个物品重量不大于背包容量j时,这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。

若不放入物品i,则此时ｍ(i,j)=m(i+１,ｊ)

若放入物品i，此时背包剩余容量为ｊ－w［i]，在子结构中已求出当容量k＝0,1,２……Ｃ时的最优值m（i+1，ｋ)。所以此时m(i，ｊ)＝ｍ（i+1，j-w[i］)＋v［i]。

取上述二者的最大值，即m(i,ｊ) ＝mａx{ m（i+1，j)，m（i+1,j-ｗ[ｉ])＋v[i] }

总结得出状态转移方程为:

该算法的pythｏn代码实现：

1 # ０-1背包问题

2__aｕthｏr_＿＝'ice'

3

４

5 # 背包容量0~capacity，不是0~cａpaｃity-１

6def knａpsａｃk(weigｈt, ｖalue, capaciｔy)：

7if leｎ（weｉght) != len（ｖａlue):

8print(＂pａrameter eｒr!")

9rｅｔurｎ

10 oｂj_nuｍ = ｌen(wｅｉght)

１1resｕlt ＝ [［] for x in ranｇe(obｊ＿num）]

12 divide = min(weight[-1], capaｃiｔy）

１3 result[-1] = [０forｘｉｎ range(diｖidｅ)］

14ｒeｓulｔ[-1］.eｘteｎd(value[-1］ｆoｒｘin rａｎge(ｄivｉde, capacｉｔy + 1))

15for i iｎ rｅversｅd(list(range(1, oｂj_nuｍ－１))):

1６ divide = min（weｉｇhｔ[i]，capaｃiｔy）

17ｆorｊiｎraｎgｅ(ｄivide):

18 resｕｌt[i].ａpｐend(result[i ＋ 1］[j］）

19fｏr j inｒangｅ(diｖide, ｃapaciｔy + １)：

20ｒeｓulｔ[i].appeｎd（max(resuｌt[i + 1][ｊ］, resuｌt[i + １][ｊ- ｗeight[i]] + vａluｅ［i］))

21

22 reｓult[0] = {capaciｔy: resuｌｔ[1]［capaciｔｙ］}

2３ｉf wｅight[0］ <= caｐacｉｔy:

24 reｓult[０][ｃａpacity] = mａx(ｒesulｔ[1］[cａpaｃity］, reｓｕlt［1］[capaciｔy - w ｅight［0]] ＋ｖaｌｕe[0])

25

２6 vector ＝ [0 ｆoｒｘin rａnge(obj_nuｍ)]

27 capacitｙ_ｔemp = capａciｔy

２8ｆor i ｉn rangｅ(ｏbj＿nｕm - １）:

2９iｆ result[ｉ][capacity＿tｅmｐ] != reｓult[i + 1]［caｐａciｔy＿tｅmp]:

30vｅctoｒ[ｉ] = 1

31cａpaciｔｙ＿temp -= weｉght［i]

32

3３ｉf capaciｔy＿tｅmｐ == 0:

3４ vecｔor[-１］ = 0

3５ｅｌsｅ:

36 vectoｒ[-1］ = １

37

３８return｛'tｏtal_vaｌue': rｅsult[０][capacity]，＇seｌｅct＇：ｖector}

但是,该算法有两个明显的缺点:1,基于上述代码,因为数组索引的需要,要求所给物品重量为整数。2，当背包容量Ｃ很大时，算法所需计算时间较多。当C>２＾n时，需要Ω(ｎ*2^n)计算时间。

所以,改进算法如下：

对于函数m(i，j)的值，当i确定，j为自变量时,是单调不减的跳跃式增长,如图所示。而这些跳跃点取决于在（物品ｉ,物品ｉ+1，……物品n)中选择放入哪些物品使得在放入重量小于容量j （０＜=j<=C)的情况下ｍ取得最大值。对于每一个确定的i值，都有一个对应的跳跃点集Pｉ＝｛(ｊ,ｍ（i,j)），……｝。j始终小于等于Ｃ

(1)开始求解时,先求P i，初始时P n+1={(0，0）}，i=n+1,由此按下列步骤计算P i-１,Pｉ-2……Ｐ１，即P n,P n-1,……P1

(2)求Q i，利用P i求出m(i，j－w[i-1]）+ｖ[i－１]，即P i当放入物品ｉ－１后的变化后的跳跃点集Q i＝{ （j+w[i－１], m（i,j)＋ｖ[i－１] )，……},在函数图像上表现为所有跳跃点横轴坐标右移w[i-１],纵轴坐标上移v[i-１]。

(３）求Ｐi－１，即求P i∪Q i然后再去掉受控跳跃点后的点集。此处有个受控跳跃点的概念:若点(a,b）,(c,ｄ)∈Ｐi∪Qi，且a＜=ｃ,b>d,则(ｃ，d)受控于(a,b）,所以（c,ｄ)∉Pｉ-1。去掉受控跳跃点，是为了求得在物品i－1放入后m较大的点，即使m取最优值的跳跃点。

由此计算得出P n,Ｐｎ-1，……,P１。求得P1的最后那个跳跃点即为所求的最优值ｍ（１,C)。

举个例子

ｎ=5，c＝1０，w={２，２，6，５，4},v=｛6，3,5,4，６}。跳跃点的计算过程如下:

初始时p[6]={(0,0)}

因此，ｑ[６]=ｐ[６]⊕(w[5],ｖ[５])=｛(4,６)}