量子力学主要知识点复习资料

大学量子力学主要知识点复习资料,填空及问答部分

1能量量子化

辐射黑体中分子与原子得振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可以发射与吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立得状态,在这些状态下,谐振子得能量不能取任意值,只能就是某一最小能量ε得整数倍

对频率为ν得谐振子, 最小能量ε为:

2、波粒二象性

波粒二象性(wave-particle duality)就是指某物质同时具备波得特质及粒子得特质。波粒二象性就是量子力学中得一个重要概念。在经典力学中,研究对象总就是被明确区分为两类:波与粒子。前者得典型例子就是光,后者则组成了我们常说得“物质”。1905年,爱因斯坦提出了光电效应得光量子解释,人们开始意识到光波同时具有波与粒子得双重性质。1924年,德布罗意提出“物质波”假说,认为与光一样,一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说,电子也会具有干涉与衍射等波动现象,这被后来得电子衍射试验所证实。

德布罗意公式

3、波函数及其物理意义

在量子力学中,引入一个物理量:波函数,来描述粒子所具有得波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程

粒子得波动性可以用波函数来表示,其中,振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上得强弱。所以,应该表示粒子出现在点(x,y,z)附件得概率大小得一个量。从这个意义出发,可将粒子得波函数称为概率波。

自由粒子得波函数

波函数得性质:可积性,归一化,单值性,连续性

4、波函数得归一化及其物理意义

常数因子不确定性设C就是一个常数,则与对粒子在点(x,y,z)附件出现概率得描述就是相同得。

相位不定性如果常数,则与对粒子在点(x,y,z)附件出现概率得描述就是相同得。

表示粒子出现在点(x,y,z)附近得概率。

表示点(x,y,z)处得体积元中找到粒子得概率。这就就是波函数得统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总与为1

必然有以下归一化条件

5、力学量得平均值

既然表示粒子出现在点附件得概率,那么粒子坐标得平均值,例如x得平均值x__,由概率论,有

又如,势能V就是得函数:,其平均值由概率论,

可表示为

再如,动量得平均值为:

为什么不能写成

因为x完全确定时p完全不确定,x点处得动量没有意义。

能否用以坐标为自变量得波函数计算动量得平均值？ 可以,但需要表示为p __

其中 为动量 得算符 6、算符

量子力学中得算符表示对波函数(量子态)得一种运算 如动量算符 能量算符

动能算符 动能平均值 角动量算符 角动量平均值 薛定谔方程

算符 ,被称为哈密顿算符, 7、定态

数学中,形如 得方程,称为本征方程。其中

方程 称为能量本征方程, 被称为能量本征函数, E 被称为能量本征值。

当E 为确定值,=拨函数所描述得状态称为定态,处于定态下得粒子有以下特征:

粒子得空间概率密度不随时间改变,任何不显含t 得力学量得平均值不随时间改变,她们得测值概率分布也不随时间改变。 8、量子态叠加原理

但一般情况下,粒子并不只就是完全处于其中得某一本征态,而就是以某种概率处于其中得某一本征态。换句话说,粒子得状态就是所有这些分立状态得叠加,即,

9、 宇称

若势函数V(x)=V(-x),若就是能量本征方程对于能量本征值E 得解,则也就是能量本征方程对于能量本征值E 得解

具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(x x x V x V E

x ψψψ-=

10、束缚态

通常把在无限远处为零得波函数所描写得状态称为束缚态 11、 一维谐振子得能量本征值

12、 隧穿效应

量子隧穿效应为一种量子特性,就是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大得势垒得现象。这就是因为根据量子力学,微观粒子具有波得性质,而有不为零得概率穿过位势障壁。 又称隧穿效应,势垒贯穿。按照经典理论,总能量低于势垒就是不能实现反应得。但依量子力学观点,无论粒子能量就是否高于势垒,都不能肯定粒子就是否能越过势垒,只能说出粒子越过势垒概率得大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身得能量。能

量高于势垒得、运动方向适宜得未必一定反应,只能说反应概率较大。而能量低于势垒得仍有一定概率实现反应,即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration),好像从大山隧道通过一般。这就就是隧道效应。例如H+H2低温下反应,其隧道效应就较突出。 13、 算符对易式

一般说来,算符之积不满足交换律,即 ,由此导致量子力学中得一个基本问题:对易关系

对易式 ,通常 坐标对易关系

角动量得对易式

,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,

0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[=-====-=-====-====-=-===z y x y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x y z z y y y x x x p

l p i p l p i p l p i p l p l p i p l p i p l p i p l p l z l x i y l y i x l x i z l y l z i x l y i z l z i y l x l ηηηηηηηηηηηη

14、厄密算符平均值得性质 先转置,再共轭。

体系得任何状态下,其厄密算符得平均值必为实数,在任何状态下平均值为实得算符必为厄米算符,实验上可观测量相应得算符必须就是厄米算符。 厄密算符得属于不同本征值得本征函数彼此正交。 15、 量子力学关于算符得基本假设

1、微观粒子得状态由波函数 描写。

2、波函数得模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z )得概率。

3、力学量用算符表示。

4、波函数得运动满足薛定格方程

16、 算符得本征方程,本征值与本征函数

数学中,形如 得方程,称为本征方程。其中

3

*其中，,)(均可展开如下：

状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如ˆ是算符和dr a a x A A A n n n n

n n n n n ⎰

∑=

=

∀ψψψψψψψ17、 不确定度关系得严格表达