不动点定理
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2010
• 4）当3.449<a<3.544时有八个四周期点，其中四个
是不稳定的排斥子，四个是稳定的吸引子，函数的迭 代序列循环地在四个稳定点的附近跳跃
• 5）当a的值不断增加时高阶不动点不断出现，迭代
序列在16个周期点，32个周期点等的附近循环地出 现。
• 6）当a的值不断地向3.569945972….接近时，迭代
• 3求证(уⁿ⁺₁-χⁿ⁺₁)⁄(уⁿ-χⁿ)<1⁄2 • 4求证∑уĸ<∑χĸ+1 • 评析这一道试题绝妙地将数学归纳法，函数不等式，
数列等几大版块的知识融合再一起，在思维上具有良 好的区分度和一定的创新性
• 1导数来判断 • 2数学归纳法的”三步曲“，重点须放在的过成中如
何创设出运用数学归纳的条件（一定要运用前面的假 设）
• 3）3<a<1+√6此时仍有两个不动点q和1-1/a，但此时
迭代序列都不收敛于这两个点而是在这两个二周期点 （二阶不动点）的附近反复跳跃是指满足ƒ(ƒ(χ))=χ的 点（一阶不动点一定是二阶不动点）除o和1-1/a外， 还有就是 χ1χ2=1+a±√(a+1)(a+3)ƒ(χ1)=χ2,ƒ(χ2)=χ1所以这 时函数有四个二周期点前两个是不稳定的排斥子，后两 个是稳定的吸引子
• 3在2界定的范围内，合理的进行放缩，以达到较为
精确的范围
• 4该问是笔者自己命制的，可能会有出入。 • 当然，在每年的各个自主命题的高考试卷中，都会看
到这些熟悉的背影。而这些试题往往具有一定的难度。 例如：07年全国卷1（22）用数学归纳法来证明收敛 速度。08年浙江卷（21），全国卷1（22），09年 安徽卷（22），江西卷（22）重庆卷（22）等。在 高考题中考查较为频繁的是递推数列。而递推数列中 的考查又依托了非线性迭代序列的考查，以此来甄别 考生的水平程度。
序列在越来越多的点附近出现，其位置很难确定，直 到出现随无穷大周期点时迭代序列的出现几乎是随机 的，已无规律可言，表明系统以进入混沌状态。
• 混沌状态是一种无序状态，但是却由一个确定的非线
性函数或非线性方程所产生。 2010
• 事实上在高考中并没有涉及过多的过于深奥的理论，更多地
是集中在利用 定理的某些运用来求序列或数列的通项和证明 序列的收敛和发散，重点是收敛速度的界定和证明。下面结 合具体示例来探讨。
• 其中λ是大于0的常数，设实数a₀,a,b满足ƒ(a₀)=0和
b=a-λƒ(a)
• 1，证明λ≤1并且不存在b₀≠a₀使得ƒ(b₀)=0 • 2，(b-a) ²≤(1-λ²)(a-a)² • 3(ƒ(b)) ²≤(1-λ²)(ƒ(a)) ² • 评析）1用反证法处理 • 2，3有两个方法，一是从导函数的意义，二是对上
• 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献，这个定理表明：在二维
球面上，任意映到自身的一一映射，必定至少有一个点是不变的。 他把这个定理推广到高维球面。尤其是，在n维球内映到自身的任 意连续至少有一个不动点。在 定理的证明过程中，他引进了从一 个复形到另 一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。 有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。 。
• 这些都是不动点定理的一种延伸。
2010
• 物理系统中的混沌现象特征可以归纳如下 • 1由确定系统产生的随及现象 • 2短期的行为可以通过系统进行预测 • 3长期行为是不可预测的随机现象 • y=aχ(1-χ)定的振荡而且振幅大小毫无规律可言，好象
Hale Waihona Puke 随及出现的• 这种现象在通常的非线性函数中y=aχ(1-χ)迭代也会出
那么直观，但却能反映出丰富的变化。如下图，这就
是迭代的魅力，无限的接近。
2010
简要介绍
如果ƒ是ń +1维实心球Bn+1=｛χєRn+1｝到自身的连续映射 （n=1,2,3….），则ƒ存在一个不动点χ（即满足ƒ（χ。）=χ。此 定理是E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种 各样的方程（如代数方程，微分方程，积分方程）等的求解问题， 在数学上非常重要，也有很多的实际运用。
浅议在高考中的运用
2010
不动点的理解
• 所谓不动点，顾名思义就是不动，不改变的意思。当
然这只是片面的理解。在一维（数轴）的情况下，我
们不妨如下理解（见图示）。在下图中显而易见χĸ
• 在不断地接近于χ₀。
•ƒ
ƒ
χ₁ χ₂ χ₃χ₄χ₅χ₆…
χ₀=ƒ(χ₀)
• 在二维（平面）的情况下，则表现的更加抽象，没有
的正整数χn₊₁
• =ψ(2χⁿ)不等式|χĸ₊p—χĸ|≤Lĸ₋₁⁄(1-L)|χ₂-χ₁| • 恒成立 • 评析）借助新信息，有效地考查了学生的理解能力和思维能
力。从不同的角度来处理问题，明确数学是用来刻画客观世 界的工具，而数学知识则是用来解决理论或抽象出来的实际 问题的工具。
• 1我们可以紧扣定义，从分子有理化或导函数的意义即拉格
• 06广东）A是由定义在(2,4)上且满足如下条件的函数ψ(χ)组
成的集合，
• 对任意的χ，都有存Ψ(χ)ε(1,2) • 在常数L，使得对任意的χ₂,χ₁є(1,2)都有|ψ(Χ1)-ψ(Χ2)≤|χ₂-
χ₁|
• 1设Ψ(χ) =(1+χ)⅓,χε(2,4)证明ψ(χ)εA • 2设ψ(χ))εA若存在使得χ₀₌ψ(2χ₀)求证是χ₀唯一的 • 3设任ψ(χ)εA，任取χⁿε(1,2)令证明给定的正整数，对任意
现，试观察当参数aa取不同的值时，二次函数y=aχ(1χ)的迭代过程（o<χ<1）
• 1）0<a≤1，此时有一个不动点o，从任何x.出发，经
迭代产生的点列都会收敛于不动点o，亦称o是吸引子
• 2）1<a<3此时有两个不动点o和1-1/a，从任何出发x.
迭代 点列都会收敛于1-1/a而远离o。我们亦称是11/a吸引子，o是排斥子。
• 康托尔揭示了不同n与空间Rn的一一对应关系.G.皮亚诺则实现了把
单位线段连续映入正方形。这两个发现启示了，在 拓扑映射中， 维数可能是不变的。1910年，布劳威尔对于任意n的证明了这个猜 想——维数的拓扑不变性。 在证明过程中，布劳威尔创造了连续 拓扑映射的单纯映射的概念，也就是一系列线性映射的逼近。他还 创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同 伦类的数。实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有 用。例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J.W.亚力山大则用 它证明了贝蒂数的不变性。
述的定义性质进行变形
• 06陕西）已知函数ƒ(χ) =χ³-χ²+χ⁄2+1⁄4（几次方）且
存在χ₀ε(0-1⁄2)
2010
• 1求证ƒ(χ) =χ³-χ²+χ⁄2+1⁄4在上R为单调函数 • 2设χ₁=0，χⁿ⁺₁=ƒ(χⁿ)， У₁=1⁄2,уⁿ⁺₁=ƒ(уⁿ)其中
nεN⁺求证χⁿ<χⁿ⁺₁<χ₀<уⁿ⁺₁<уⁿ
朗日中值定理入手，彰显思维的深刻性。
• 2反证法的引入为解决解的唯一性提供了有利的工具。 • 3界定新范围，合理地进行变形，创设运用放缩法的情境
2010
• 04江苏） ƒ(χ)χεR，满足如下性质对任意的χ₁,χ₂都
有ƒ(χ₁)-ƒ(χ₂)|≤|χ₁-χ₂|。 和λ(χ₁-χ₂)²≤(χ₁χ₂)(ƒ(χ₁)-ƒ(χ₂) ）
• 考虑到试题具有一定的难度，笔者建议考生在考试时
应有所放弃，以免造成不必要的损失。
• 注明（以上资料有些参考2010资料上的，有些是笔者自己
• 4）当3.449<a<3.544时有八个四周期点，其中四个
是不稳定的排斥子，四个是稳定的吸引子，函数的迭 代序列循环地在四个稳定点的附近跳跃
• 5）当a的值不断增加时高阶不动点不断出现，迭代
序列在16个周期点，32个周期点等的附近循环地出 现。
• 6）当a的值不断地向3.569945972….接近时，迭代
• 3求证(уⁿ⁺₁-χⁿ⁺₁)⁄(уⁿ-χⁿ)<1⁄2 • 4求证∑уĸ<∑χĸ+1 • 评析这一道试题绝妙地将数学归纳法，函数不等式，
数列等几大版块的知识融合再一起，在思维上具有良 好的区分度和一定的创新性
• 1导数来判断 • 2数学归纳法的”三步曲“，重点须放在的过成中如
何创设出运用数学归纳的条件（一定要运用前面的假 设）
• 3）3<a<1+√6此时仍有两个不动点q和1-1/a，但此时
迭代序列都不收敛于这两个点而是在这两个二周期点 （二阶不动点）的附近反复跳跃是指满足ƒ(ƒ(χ))=χ的 点（一阶不动点一定是二阶不动点）除o和1-1/a外， 还有就是 χ1χ2=1+a±√(a+1)(a+3)ƒ(χ1)=χ2,ƒ(χ2)=χ1所以这 时函数有四个二周期点前两个是不稳定的排斥子，后两 个是稳定的吸引子
• 3在2界定的范围内，合理的进行放缩，以达到较为
精确的范围
• 4该问是笔者自己命制的，可能会有出入。 • 当然，在每年的各个自主命题的高考试卷中，都会看
到这些熟悉的背影。而这些试题往往具有一定的难度。 例如：07年全国卷1（22）用数学归纳法来证明收敛 速度。08年浙江卷（21），全国卷1（22），09年 安徽卷（22），江西卷（22）重庆卷（22）等。在 高考题中考查较为频繁的是递推数列。而递推数列中 的考查又依托了非线性迭代序列的考查，以此来甄别 考生的水平程度。
序列在越来越多的点附近出现，其位置很难确定，直 到出现随无穷大周期点时迭代序列的出现几乎是随机 的，已无规律可言，表明系统以进入混沌状态。
• 混沌状态是一种无序状态，但是却由一个确定的非线
性函数或非线性方程所产生。 2010
• 事实上在高考中并没有涉及过多的过于深奥的理论，更多地
是集中在利用 定理的某些运用来求序列或数列的通项和证明 序列的收敛和发散，重点是收敛速度的界定和证明。下面结 合具体示例来探讨。
• 其中λ是大于0的常数，设实数a₀,a,b满足ƒ(a₀)=0和
b=a-λƒ(a)
• 1，证明λ≤1并且不存在b₀≠a₀使得ƒ(b₀)=0 • 2，(b-a) ²≤(1-λ²)(a-a)² • 3(ƒ(b)) ²≤(1-λ²)(ƒ(a)) ² • 评析）1用反证法处理 • 2，3有两个方法，一是从导函数的意义，二是对上
• 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献，这个定理表明：在二维
球面上，任意映到自身的一一映射，必定至少有一个点是不变的。 他把这个定理推广到高维球面。尤其是，在n维球内映到自身的任 意连续至少有一个不动点。在 定理的证明过程中，他引进了从一 个复形到另 一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。 有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。 。
• 这些都是不动点定理的一种延伸。
2010
• 物理系统中的混沌现象特征可以归纳如下 • 1由确定系统产生的随及现象 • 2短期的行为可以通过系统进行预测 • 3长期行为是不可预测的随机现象 • y=aχ(1-χ)定的振荡而且振幅大小毫无规律可言，好象
Hale Waihona Puke 随及出现的• 这种现象在通常的非线性函数中y=aχ(1-χ)迭代也会出
那么直观，但却能反映出丰富的变化。如下图，这就
是迭代的魅力，无限的接近。
2010
简要介绍
如果ƒ是ń +1维实心球Bn+1=｛χєRn+1｝到自身的连续映射 （n=1,2,3….），则ƒ存在一个不动点χ（即满足ƒ（χ。）=χ。此 定理是E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种 各样的方程（如代数方程，微分方程，积分方程）等的求解问题， 在数学上非常重要，也有很多的实际运用。
浅议在高考中的运用
2010
不动点的理解
• 所谓不动点，顾名思义就是不动，不改变的意思。当
然这只是片面的理解。在一维（数轴）的情况下，我
们不妨如下理解（见图示）。在下图中显而易见χĸ
• 在不断地接近于χ₀。
•ƒ
ƒ
χ₁ χ₂ χ₃χ₄χ₅χ₆…
χ₀=ƒ(χ₀)
• 在二维（平面）的情况下，则表现的更加抽象，没有
的正整数χn₊₁
• =ψ(2χⁿ)不等式|χĸ₊p—χĸ|≤Lĸ₋₁⁄(1-L)|χ₂-χ₁| • 恒成立 • 评析）借助新信息，有效地考查了学生的理解能力和思维能
力。从不同的角度来处理问题，明确数学是用来刻画客观世 界的工具，而数学知识则是用来解决理论或抽象出来的实际 问题的工具。
• 1我们可以紧扣定义，从分子有理化或导函数的意义即拉格
• 06广东）A是由定义在(2,4)上且满足如下条件的函数ψ(χ)组
成的集合，
• 对任意的χ，都有存Ψ(χ)ε(1,2) • 在常数L，使得对任意的χ₂,χ₁є(1,2)都有|ψ(Χ1)-ψ(Χ2)≤|χ₂-
χ₁|
• 1设Ψ(χ) =(1+χ)⅓,χε(2,4)证明ψ(χ)εA • 2设ψ(χ))εA若存在使得χ₀₌ψ(2χ₀)求证是χ₀唯一的 • 3设任ψ(χ)εA，任取χⁿε(1,2)令证明给定的正整数，对任意
现，试观察当参数aa取不同的值时，二次函数y=aχ(1χ)的迭代过程（o<χ<1）
• 1）0<a≤1，此时有一个不动点o，从任何x.出发，经
迭代产生的点列都会收敛于不动点o，亦称o是吸引子
• 2）1<a<3此时有两个不动点o和1-1/a，从任何出发x.
迭代 点列都会收敛于1-1/a而远离o。我们亦称是11/a吸引子，o是排斥子。
• 康托尔揭示了不同n与空间Rn的一一对应关系.G.皮亚诺则实现了把
单位线段连续映入正方形。这两个发现启示了，在 拓扑映射中， 维数可能是不变的。1910年，布劳威尔对于任意n的证明了这个猜 想——维数的拓扑不变性。 在证明过程中，布劳威尔创造了连续 拓扑映射的单纯映射的概念，也就是一系列线性映射的逼近。他还 创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同 伦类的数。实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有 用。例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J.W.亚力山大则用 它证明了贝蒂数的不变性。
述的定义性质进行变形
• 06陕西）已知函数ƒ(χ) =χ³-χ²+χ⁄2+1⁄4（几次方）且
存在χ₀ε(0-1⁄2)
2010
• 1求证ƒ(χ) =χ³-χ²+χ⁄2+1⁄4在上R为单调函数 • 2设χ₁=0，χⁿ⁺₁=ƒ(χⁿ)， У₁=1⁄2,уⁿ⁺₁=ƒ(уⁿ)其中
nεN⁺求证χⁿ<χⁿ⁺₁<χ₀<уⁿ⁺₁<уⁿ
朗日中值定理入手，彰显思维的深刻性。
• 2反证法的引入为解决解的唯一性提供了有利的工具。 • 3界定新范围，合理地进行变形，创设运用放缩法的情境
2010
• 04江苏） ƒ(χ)χεR，满足如下性质对任意的χ₁,χ₂都
有ƒ(χ₁)-ƒ(χ₂)|≤|χ₁-χ₂|。 和λ(χ₁-χ₂)²≤(χ₁χ₂)(ƒ(χ₁)-ƒ(χ₂) ）
• 考虑到试题具有一定的难度，笔者建议考生在考试时
应有所放弃，以免造成不必要的损失。
• 注明（以上资料有些参考2010资料上的，有些是笔者自己