矢量场的通量及散度.
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div(cA) cdivA div( A B) div( A B) div( A) divA grad A
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
A dS
S
V
定理 在直角坐标系中，矢量场
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
W
F dl F
t l l
dl
m k
磁场强度环路积分
H dl I
l k 1
I
1）环量的定义
A dl
l
第二章 场论 在直角坐标系中 A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dl dl cos(t , x)i dl cos(t , y ) j dl cos(t , z )k dxi dyj dzk
P q R lim [ ]M M V M x y z 当Δ Ω 缩向M的时候，M′就趋于M所以有 divA lim
divA
P q R x y z
第二章 场论 推论1
A dS divAdV
s V
推论2 若在封闭曲面Snei处处有divA=0则有
通量可以写成
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
第二章 场论 例1 设由矢径r=xi+yj+zk构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2 及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S，求是两场r从S内穿出S的 通量 z r dS r dS s1 s2 s1 s2 y
Dx q r 2 3x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz q r 2 3z 2 , , , 5 5 5 x 4 r y 4 r z 4 r
q r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) divD 0 5 4 r
（r≠0)
第二章 场论 再根据推论3，例2的结论 利用通量的叠加
m
e
D dS q
s
e i qi Q
i 1 i 1
m
（高斯定理）
在电荷连续分布的电场中，电位移矢量D的散度为
divD lim
D dS
S
M
V
e Q lim lim M V M V
第二章 场论 3）散度运算的基本公式
A dS divAdV
s V
推论3 若在矢量场A内某些点（或者区域）上有divA≠0或者 divA不存在，而在其他店上都有divA=0，怎穿出包围这些点 （或者区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一个常数
第二章 场论 例3 在点电荷q所产生的静电场中，求电位移矢量D在任何点M处 的散度 q D r 取点电荷所在的点为坐标原点此时 3 4 r r xi yj zk , r r 其中 qx qy qz D , D , D x y z 因此 4 r 3 4 r 3 4 r 3
第二章 场论 第三节 矢量场的通量及散度 ●简单曲线 ●简单曲面 ●有向曲线 ●有向曲面 1、通量
dQ vn ds (v n )ds v (nds) v ds
其中
ds nds
v ds D ds
单位时间流量 电通量 磁通量
B ds
第二章 场论 1）通量的定义 通量的叠加性
有
A dl Pdx Qdy Rdz
l l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
A dl ydx xdy
An dS A dS
A dS Ai dS
i 1 i 1
m
m
A
i
dS i
i 1
m
在直角坐标系中
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS ndS dS cos(n, x)i dS cos(n, y )i dS cos(n, z )i dzdyi dxdzj dxdyk
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
A dS
S
V
定理 在直角坐标系中，矢量场
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
W
F dl F
t l l
dl
m k
磁场强度环路积分
H dl I
l k 1
I
1）环量的定义
A dl
l
第二章 场论 在直角坐标系中 A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dl dl cos(t , x)i dl cos(t , y ) j dl cos(t , z )k dxi dyj dzk
P q R lim [ ]M M V M x y z 当Δ Ω 缩向M的时候，M′就趋于M所以有 divA lim
divA
P q R x y z
第二章 场论 推论1
A dS divAdV
s V
推论2 若在封闭曲面Snei处处有divA=0则有
通量可以写成
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
第二章 场论 例1 设由矢径r=xi+yj+zk构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2 及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S，求是两场r从S内穿出S的 通量 z r dS r dS s1 s2 s1 s2 y
Dx q r 2 3x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz q r 2 3z 2 , , , 5 5 5 x 4 r y 4 r z 4 r
q r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) divD 0 5 4 r
（r≠0)
第二章 场论 再根据推论3，例2的结论 利用通量的叠加
m
e
D dS q
s
e i qi Q
i 1 i 1
m
（高斯定理）
在电荷连续分布的电场中，电位移矢量D的散度为
divD lim
D dS
S
M
V
e Q lim lim M V M V
第二章 场论 3）散度运算的基本公式
A dS divAdV
s V
推论3 若在矢量场A内某些点（或者区域）上有divA≠0或者 divA不存在，而在其他店上都有divA=0，怎穿出包围这些点 （或者区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一个常数
第二章 场论 例3 在点电荷q所产生的静电场中，求电位移矢量D在任何点M处 的散度 q D r 取点电荷所在的点为坐标原点此时 3 4 r r xi yj zk , r r 其中 qx qy qz D , D , D x y z 因此 4 r 3 4 r 3 4 r 3
第二章 场论 第三节 矢量场的通量及散度 ●简单曲线 ●简单曲面 ●有向曲线 ●有向曲面 1、通量
dQ vn ds (v n )ds v (nds) v ds
其中
ds nds
v ds D ds
单位时间流量 电通量 磁通量
B ds
第二章 场论 1）通量的定义 通量的叠加性
有
A dl Pdx Qdy Rdz
l l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
A dl ydx xdy
An dS A dS
A dS Ai dS
i 1 i 1
m
m
A
i
dS i
i 1
m
在直角坐标系中
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS ndS dS cos(n, x)i dS cos(n, y )i dS cos(n, z )i dzdyi dxdzj dxdyk