线性代数第一章第二节 n阶行列式

4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
t a a a 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为 1 .
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例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解
a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
t ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn .
a11 a21 记作 D an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
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其中 j1 j2 jn 为自然数1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．

注
i1i2 in

( 1)
t ( i1i2 in )
ai1 1ai2 2 ain n
行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来计算 主要利用行列式性质来计算
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思考题
x 1 1 2
已知
3
1 f x 3 1
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
29
9
例5 求i，j使25i4j1为偶排列。
解：6元排列使i、j只能取3或6；由于
（256431 ) 10 （偶数） （253461 ) 7，
所以，i=6,j=3。
10
1.定理： 经过一次对换，排列的奇偶性改变。 2.定理: 所有n!个n元排列中，奇偶排列各占一 半，均为 n! 个。
2
解
0 0 0 4
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
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即行列式中不为零的项为 a14a 23a 32a41 .
1
t 4321
1 2 3 4 24.
4. n阶行列式的等价定义（行列下标都可任意排列）
线性代数
教师：陈新宏 单位：数学与计算科学学院
1
§ 1.2
n阶行列式
问题：怎样定义n阶行列式?
2
一、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
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例8
a1
a2

an 1
an
a1
an 1 a2 * * *
an * * *
* * * an n ( n 1) * * an 1 (1) 2 a1a2 an1an * a2 a1
其中 * 表示此处元素可以是任意的数.
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注意 这个行列式的值一般并不等于
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
解
(1) a 23a 31a42a56a14a65 a14a 23a 31a42a56a65 ,
431265的逆序数为
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
（2） Dn
i1 i 2 i n
(1)
( i1 i 2 i n )
a i1 1 a i2 2 a in n
视情况 灵活选 用定义
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根据这个结论,也可以把行列式表示为:
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
( 2) a32a43a14a51a66a25
行标排列341562的逆序数为
t 00 2004 6
列标排列234165的逆序数为
t 1 0 3 0 0 4
所以 a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
例6
证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于 其主对角元素的乘积, 即
6
练习：计算
（n(n 1) 321 ）
（n(n 1) 321 ） (n 1) (n 2) 3 2 1
1 n(n 1) 2
7
思考题目：
求逆序数
（ 13 (2n 1)2n(2n 2) 42)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
j1 j2 jn
1
t j1 j2 jn
a1 j1 a2 j2 anjn
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说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
t ( j1 j2 j3 )
t 132 1 0 1,
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 a31 a32 a33
j1 j2 j3
(1)
a1 j1 a2 j2 a3 j3
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2、n 阶行列式的定义
定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
( j1 1, j2 2, , jn n )
其次决定非零项的符号
a11 a21 a22 t (12n ) ( 1) a11a22 ann an1 an 2 ann a a a 11 22 nn
22
1 2 3 4 0 4 2 1 ? 1 4 5 8 160. 例7 D 0 0 5 6 0 0 0 8
11
三、n阶行列式的定义
12
1.三阶行列式的特点（它表示一个数）
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明

a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
通俗的讲，逆序就是大前小后；如 132中32构成一个逆序 14325中43、42、32各构成一个逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，
记作：.
（j1 j2 ... jn ）
(14325 ) 0 2 1 3
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3!项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
13
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21 a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11 a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
故 x 的系数为 1.
3
31
小结：
1.二、三阶行列式、对角线法则； 2.排列的逆序数、奇偶排列； 3.n阶行列式定义及其计算。注意， 三阶以上行列式无对角线法则！ 作业布置：
32
（1） a11
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
Dn
a 21 a n1

j1 j2 jn
(1)
( i1 i 2 i n ) ( j1 j2 jn )
a i1 j1 a i2 j2 a in jn
当n = 4,5时:
当n = 6,7时:
a1 a 2 a n D 4 a1 a 2 a 3 a 4 , D 5 a1 a 2 a 3 a 4 a 5
D 6 a1 a 6 , D 7 a1 a 7
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例9
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
（2n 2） (2n 4) 4 2
n(n 1)
8
二、奇、偶排列及其性质 1.奇、偶排列：逆序数为奇（偶）数的 排列称奇（偶）排列。 因为
t (23541) 4 1 5
所以 23541 是一个奇排列. 2.对换：某两数位置互换称排列的一次对换。
4
例1
求排列32514的逆序数.
2
2
3 2 5 1 4
1 于是排列32514的逆序数为
t 212 5
练习.求逆序数
1. 2. 3. 4.
（4123 ） 111 3
（263145 ） 11 3 1 0 6
（ 123 n） 0
（n(n 1) 321 ）
a11
a22

ann
a11 a12 a1n a a 22 2n ann
a11 n a21 a22 aii a11a22 ann i 1 an1 an 2 ann
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证
只以下三角行列式为例来证明. 先决定所有可能的非零项
a1 j1 a 2 j2 a n jn a11 a 22 a nn
思考题解答 解
含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1 a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43
30
1t a11a22a33a44 x 3 , 1t 1234 a11a22a34a43 2 x 3