克莱姆法则

第三节 克莱姆法则

教学目的及要求： 1.克莱姆法则

2.利用克莱姆法则求解线性方程组

教学重点、难点： 克莱姆法则的应用

教学过程：

一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授

1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行

探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组

a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n

b 1,

a 21x 1

a 22x 2

a 2n x n

b 2,

(1)

a n1x 1 a n2x 2 a nn x n

b n ,

a 11 a 12 a 1n D

a 21

a 22

a 2n

a n1 a n2 a nn

2. 克莱姆法则

定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为

性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，

即

a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n

0,

a 21x 1

a 22x 2 a 2n x n

0,

(2)

a n1x 1 a n2x 2 a nn x n

0.

称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即

,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一

2 2 5 20,

20,

85

45

D j

x j D(j 1,2, ,n) (3)

其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定

有解,且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:

定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方

程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理

3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.

注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性

方程组(2)有非零解.

三、例题选讲

例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：

2x1 3x2 5x3 2

x1 2x2 5

3x 2 5x3 4

解D

20

2

35

D1( 2) 2 5

D2

60,

18

20.

D 1

D 2 D 3

x 1

1, x 2

3, x 3

1

1

D

2

D 3

D

例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食 品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出

3 5 3

33

1 0

72 7 7 2

c 1 2c 2

27.

c

3 2c 2

8 1 5 1

2

8 5 1

9 3 0

6 81, D 2

1 9

0 6 5 2 1 2

0 5 1 2 0 4 7 6

1

0 7 6 2

1

8

1

2

1 5 8 1 3 9 6

27,

D 4

1

3 0 9 0 2 5 2

0 2 1 5 1

4

6

1

4

7

108, 27, D 1

D 3

2 3 2 r 1 2 r 2

0 1 8 r

1 r

2 1 2 5 D 3

1 2 5

1 2 5

0 1 8

0 3 4

3

4

3

4

由克莱姆法则

34

2x 1

x 1

x 2 3x 2 5x 3 6x 4 x 4

9,

8,

用克莱姆法则解方程组

2x 2

x 3 2x 4

5,

x 1 4x 2

7x 3 6x 4

2

1 5 1

7 5 13

1 3 0 6 r 1 2r 2

1

3 0 6

0 2 1 2

r 4 r 2 0

2 1

2

1 4

7

6

7

7 12

13 2 12

x 1

D 1 D 81

27 3, x 2

D 2 D 108 27 4,

x 3 D 3 D

27 27

1, x 4

D 4 D

27 1.

27

营养

所需营养量

7 2 7 例 2 (E01) 解D