中值定理证明方法总结(1)
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证: 按三阶行列式展开法有
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
f ′(ξ ) g ( a ) g′(ξ ) = h ( a ) h′(ξ )
g(b) f ′(ξ ) h(b) f (b) h′(ξ ) g(b)
f (a) − h(a)
f (b) g′ ξ + f (a) ( ) h(b) g(a)
方程两边同时积分
解出积分常数 ，则
令辅助函数
(2)常数变易法 此法适用于常数已分离出来的命题, 构造辅助函数的步 骤如下:
x, ⎧ 0 ≤x <1 f ( x) = ⎨ 0, x =1 ⎩
f ( x) = x x∈[− 1,1]
y
−1
y
o 1 x y f ( x) =x x∈[0,1]
o
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o
1
x
1
下页
x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
y = f ( x) 在 ( a , b ) 内可导, 且
分方程） ●解出积分常数 ,则 即为所求的辅助函数。
以拉格朗日及柯西中值定理为例， 说明辅助函数
的
构造作法： . 拉格朗日中
值定理的结论:
将 改写为
方程两边同时积分
f (b) − f (a) x+ C = f( x) b− a
解出积分常数 ，则
令辅助函数
柯西中值定理的结论:
将 改写为
直接积分消不去导数，故变形为
利用逆向思维设辅助函数 g b ( ) f (a) f ( b ) − g ( a ) f ( x ) g x( F( x) = h(b) h(a) h(a) h(b) f (b) f (a) f (a) f (b) h x ( ) = g(a) g(b) + g(a) g(b) h(b) h(a)
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) − f (a) Fx− ( f) (x ) 证: 作辅助函数 ϕ( x) = F(b) −F(a) 则ϕ(x) 在[a,b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 ϕ(a) = f (b)F(a) − f (a)F(b) =ϕ(b) F(b) −F(a) 由罗尔定理知, 至少存在一点 ξ ∈(a, b), 使 ϕ′(ξ ) =0, 即 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) . F′(ξ ) F(b) −F(a)
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证: 问题转化为证 f ′(ξ ) −
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) − f (a) ′ . 至少存在一点 ξ ∈(a, b) , 使 f (ξ ) = b−a f (b) − f (a)
o
aξ
三、柯西(Cauchy)中值定理 f ( x) 及 F( x) 满足 :
f ′(ξ ) =0 .
* 中值定理的统一表达式 设 f ( x) , g( x) , h( x) 都在 [a, b] 上连续 , 且在 (a, b) 使 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ (a, b) , f ′(ξ ) f (a) f (b) g(a) g(b) g′(ξ ) =0 h(a) h(b) h′(ξ )
x→a+
lim f ( x) = lim f ( x)
x→b−
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) =0.
f (a+),
证明提示: 设 F( x) =
x =a
f ( x),
f (b−),
a <x <b
x =b
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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同样, 柯西中值定理要证 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = , g′(ξ ) g(b) −g(a)
ξ ∈(a, b)
f ( b ) − f ( a ) g′(ξ ) =0 即证 f ′(ξ ) − g(b) −g(a) ( ) − ( ) f b f a F′( x) = f ′( x) − g′( x) 设 g(b) −g(a)
使 f ′(ξ ) =0 .
⎧f (a+0) , ⎪ F( x) =⎨f (x) , ⎪ ⎩f (b−0) ,
x =a a <x <b x =b
显然 F( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 由罗尔 定理可知 , 存在一点ξ ∈(a, b) , 使 F′(ξ ) =0 , 即
y
y = f (x)
o
aξ
b x
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) =0. 故在[ a , b ]上取得最大值 证: 因 f ( x) 在[a , b] 上连续，
M 和最小值 m.
若 M = m, 则 f ( x) ≡M,
x∈[a, b] ,
)
f ( x) g( x) h( x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 F ′(ξ ) ,由罗尔定理知至少存在一点 f(a) =F( fb () b)=0 , f因此 g(a) g(b) ′(ξ ) (a) ) F′(g ) 0 , = h(即 f 使 ξg ∈ (a, b)g ,(b ξ′)(ξ = a) h(b) h(a) h(b) h′(ξ ) f (b) f ′(ξ ) f (a) (a )) fg (b ))g′ ξ g′(ξ+ f= (a0 ) f (b) h′(ξ ) (b ) F′(ξ ) = − fg (a ( ) h( a ) h ( b ) g ( a ) g ( b ) ′ h ( b ) h ( ξ ) h(a)
x
y=
f (b) −f ( a) b− a
x+C
方法2. 逆向分析 要证 即证
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a) f (b) − f (a) ′ f (ξ ) − =0 b−a F′(ξ )
f ( b ) − f ( a ) F′( x) = f ′( x) − b−a 原函数法 f (b) − f (a) F(x) = f (x) − x b−a 辅助函数
特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的
技巧.
构造辅助函数的方法
(1)不定积分求积分常数法.
构造辅助函数 的步骤如下:
● 将欲证结论中的 改写为 ； ● 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式.(即易积 分形式)；
● 利用观察法或不定积分法 , 方程两边同时积分； （ 或解微
设 f ( x) , g( x) , h( x)
都在 (a, b) 上连续 , 且在[a, b] 使
内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ (a, b) ,
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
f ′(ξ ) g′(ξ ) =0 h′(ξ )
说明 若取 h( x) ≡1, g( x) =x, f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h( x) ≡1, g( x) =x, 若取 h( x) ≡1, g′( x) ≠0 , ( 自己验证 ) 即为拉格朗日中值定理; 即为柯西中值定理;
微分中值定理的应用与技巧
基本概念、内容、定理、公式
罗尔中值定理 拉
中值定理
推广
格朗日中值定理 柯西中值定理
泰勒公式
应用 研究函数性质及曲线性Baidu Nhomakorabea 利用导数解决实际问题
中值定理
一、罗尔( Ro le )定理 二、
拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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一、罗尔( Rolle )定理 y = f ( x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
因此 ∀ ξ ∈(a, b), f ′(ξ ) =0 .
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若 M > m, 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M ≠ f (a) , 则至少存在一点 ξ ∈(a, b), 使
f (ξ ) =M, 则由费马引理得 f ′(ξ ) =0.
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a), ξ ∈(a, b) F(b) −F(a) =F′(ξ )(b−a), ξ ∈(a, b)
两个 ξ 不 一定相同
上面两式相比即得结论.
错!
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几个中值定理的关系
罗尔定理 f ′(ξ ) =0 y y= F( x) = x f (x) f (a) = f (b)
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 F′( x) ≠0
f (b) − f (a) = f ′(ξ ) . 至少存在一点 ξ ∈(a, b) , 使 F′(ξ ) F(b) −F(a) 分析: F(b) −F(a) =F′(η)(b−a) ≠0 a <η <b f (b) − f (a) F′(ξ ) − f ′(ξ ) F(b) =0 要证 ϕ′(ξ ) −F(a) ϕ( x) = f (b) − f (a) F( x) − f ( x) F(b) −F(a)
中值定理的主要应用与解题方法
原函数的性质 中值定理
反映 反映
导函数的性质
中值定理的主要应用
(1) 利用中值定理求极限 (2) 研究函数或导数的性质 (3) 证明恒等式 (4) 判定方程根的存在性和唯一性
(5) 证明有关中值问题的结论
(6) 证明不等式
注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）
o
f (a) = f (b)
拉格朗日中值定理
f ( b ) − f ( a ) f ′(ξ ) = b−a ) y n =0y=f(x F( x) =x
o 泰勒中值定理 aξ bx f (x) = f (x0 ) + f ′( x0 )(x−x0 )
1 f (n) ( x )( x−x ) n +⋯ +n 0 0 ! +(n+ f 1 1) ( ξ )( x−x )n+ 1 1)! (n+ 0
原函数法
f (b) − f (a) F( x) = f ( x) − g( x) g(b) −g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱. 例如, 设 f ( x) 在 (a, b) 内可导,且 f (a+0) = f (b−0),
则至少存在一点 ξ ∈(a, b) ,
证: 设辅助函数
解题方法:
从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.
(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,
可考虑用柯西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 . (4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用
柯西中值定理 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F′(ξ ) F(b) −F(a)
aξ
b x
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f ( x) 方法1. 直观分析 由 y 图可知 , 设辅助函数 f (b) − f (a) F( x) = f ( x) − x−C b−a o a ξ b (C 为任意常数 )
二、拉格朗日中值定理
y = f ( x)
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y = f (x)
=0 b−a ������ () ξ )− f (b) − f (a) x ϕ( x) = fϕ (′x 作辅助函数 � b−a 显然 , ϕ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 ϕ(a) =bf (a) −af (b) =ϕ(b), 由罗尔定理知至少存在一点 思路思路思路 b−a思路: 利用逆向思维逆向思维逆向思维逆 证毕 ξ向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 ∈(a, b), 使ϕ′(ξ ) =0, 即定理结论成立 .
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
f ′(ξ ) g ( a ) g′(ξ ) = h ( a ) h′(ξ )
g(b) f ′(ξ ) h(b) f (b) h′(ξ ) g(b)
f (a) − h(a)
f (b) g′ ξ + f (a) ( ) h(b) g(a)
方程两边同时积分
解出积分常数 ，则
令辅助函数
(2)常数变易法 此法适用于常数已分离出来的命题, 构造辅助函数的步 骤如下:
x, ⎧ 0 ≤x <1 f ( x) = ⎨ 0, x =1 ⎩
f ( x) = x x∈[− 1,1]
y
−1
y
o 1 x y f ( x) =x x∈[0,1]
o
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o
1
x
1
下页
x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
y = f ( x) 在 ( a , b ) 内可导, 且
分方程） ●解出积分常数 ,则 即为所求的辅助函数。
以拉格朗日及柯西中值定理为例， 说明辅助函数
的
构造作法： . 拉格朗日中
值定理的结论:
将 改写为
方程两边同时积分
f (b) − f (a) x+ C = f( x) b− a
解出积分常数 ，则
令辅助函数
柯西中值定理的结论:
将 改写为
直接积分消不去导数，故变形为
利用逆向思维设辅助函数 g b ( ) f (a) f ( b ) − g ( a ) f ( x ) g x( F( x) = h(b) h(a) h(a) h(b) f (b) f (a) f (a) f (b) h x ( ) = g(a) g(b) + g(a) g(b) h(b) h(a)
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f (b) − f (a) Fx− ( f) (x ) 证: 作辅助函数 ϕ( x) = F(b) −F(a) 则ϕ(x) 在[a,b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 ϕ(a) = f (b)F(a) − f (a)F(b) =ϕ(b) F(b) −F(a) 由罗尔定理知, 至少存在一点 ξ ∈(a, b), 使 ϕ′(ξ ) =0, 即 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) . F′(ξ ) F(b) −F(a)
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证: 问题转化为证 f ′(ξ ) −
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) − f (a) ′ . 至少存在一点 ξ ∈(a, b) , 使 f (ξ ) = b−a f (b) − f (a)
o
aξ
三、柯西(Cauchy)中值定理 f ( x) 及 F( x) 满足 :
f ′(ξ ) =0 .
* 中值定理的统一表达式 设 f ( x) , g( x) , h( x) 都在 [a, b] 上连续 , 且在 (a, b) 使 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ (a, b) , f ′(ξ ) f (a) f (b) g(a) g(b) g′(ξ ) =0 h(a) h(b) h′(ξ )
x→a+
lim f ( x) = lim f ( x)
x→b−
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) =0.
f (a+),
证明提示: 设 F( x) =
x =a
f ( x),
f (b−),
a <x <b
x =b
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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同样, 柯西中值定理要证 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = , g′(ξ ) g(b) −g(a)
ξ ∈(a, b)
f ( b ) − f ( a ) g′(ξ ) =0 即证 f ′(ξ ) − g(b) −g(a) ( ) − ( ) f b f a F′( x) = f ′( x) − g′( x) 设 g(b) −g(a)
使 f ′(ξ ) =0 .
⎧f (a+0) , ⎪ F( x) =⎨f (x) , ⎪ ⎩f (b−0) ,
x =a a <x <b x =b
显然 F( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 由罗尔 定理可知 , 存在一点ξ ∈(a, b) , 使 F′(ξ ) =0 , 即
y
y = f (x)
o
aξ
b x
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) =0. 故在[ a , b ]上取得最大值 证: 因 f ( x) 在[a , b] 上连续，
M 和最小值 m.
若 M = m, 则 f ( x) ≡M,
x∈[a, b] ,
)
f ( x) g( x) h( x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 F ′(ξ ) ,由罗尔定理知至少存在一点 f(a) =F( fb () b)=0 , f因此 g(a) g(b) ′(ξ ) (a) ) F′(g ) 0 , = h(即 f 使 ξg ∈ (a, b)g ,(b ξ′)(ξ = a) h(b) h(a) h(b) h′(ξ ) f (b) f ′(ξ ) f (a) (a )) fg (b ))g′ ξ g′(ξ+ f= (a0 ) f (b) h′(ξ ) (b ) F′(ξ ) = − fg (a ( ) h( a ) h ( b ) g ( a ) g ( b ) ′ h ( b ) h ( ξ ) h(a)
x
y=
f (b) −f ( a) b− a
x+C
方法2. 逆向分析 要证 即证
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a) f (b) − f (a) ′ f (ξ ) − =0 b−a F′(ξ )
f ( b ) − f ( a ) F′( x) = f ′( x) − b−a 原函数法 f (b) − f (a) F(x) = f (x) − x b−a 辅助函数
特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的
技巧.
构造辅助函数的方法
(1)不定积分求积分常数法.
构造辅助函数 的步骤如下:
● 将欲证结论中的 改写为 ； ● 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式.(即易积 分形式)；
● 利用观察法或不定积分法 , 方程两边同时积分； （ 或解微
设 f ( x) , g( x) , h( x)
都在 (a, b) 上连续 , 且在[a, b] 使
内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈ (a, b) ,
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
f ′(ξ ) g′(ξ ) =0 h′(ξ )
说明 若取 h( x) ≡1, g( x) =x, f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h( x) ≡1, g( x) =x, 若取 h( x) ≡1, g′( x) ≠0 , ( 自己验证 ) 即为拉格朗日中值定理; 即为柯西中值定理;
微分中值定理的应用与技巧
基本概念、内容、定理、公式
罗尔中值定理 拉
中值定理
推广
格朗日中值定理 柯西中值定理
泰勒公式
应用 研究函数性质及曲线性Baidu Nhomakorabea 利用导数解决实际问题
中值定理
一、罗尔( Ro le )定理 二、
拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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一、罗尔( Rolle )定理 y = f ( x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
因此 ∀ ξ ∈(a, b), f ′(ξ ) =0 .
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若 M > m, 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M ≠ f (a) , 则至少存在一点 ξ ∈(a, b), 使
f (ξ ) =M, 则由费马引理得 f ′(ξ ) =0.
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a), ξ ∈(a, b) F(b) −F(a) =F′(ξ )(b−a), ξ ∈(a, b)
两个 ξ 不 一定相同
上面两式相比即得结论.
错!
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几个中值定理的关系
罗尔定理 f ′(ξ ) =0 y y= F( x) = x f (x) f (a) = f (b)
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 F′( x) ≠0
f (b) − f (a) = f ′(ξ ) . 至少存在一点 ξ ∈(a, b) , 使 F′(ξ ) F(b) −F(a) 分析: F(b) −F(a) =F′(η)(b−a) ≠0 a <η <b f (b) − f (a) F′(ξ ) − f ′(ξ ) F(b) =0 要证 ϕ′(ξ ) −F(a) ϕ( x) = f (b) − f (a) F( x) − f ( x) F(b) −F(a)
中值定理的主要应用与解题方法
原函数的性质 中值定理
反映 反映
导函数的性质
中值定理的主要应用
(1) 利用中值定理求极限 (2) 研究函数或导数的性质 (3) 证明恒等式 (4) 判定方程根的存在性和唯一性
(5) 证明有关中值问题的结论
(6) 证明不等式
注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）
o
f (a) = f (b)
拉格朗日中值定理
f ( b ) − f ( a ) f ′(ξ ) = b−a ) y n =0y=f(x F( x) =x
o 泰勒中值定理 aξ bx f (x) = f (x0 ) + f ′( x0 )(x−x0 )
1 f (n) ( x )( x−x ) n +⋯ +n 0 0 ! +(n+ f 1 1) ( ξ )( x−x )n+ 1 1)! (n+ 0
原函数法
f (b) − f (a) F( x) = f ( x) − g( x) g(b) −g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱. 例如, 设 f ( x) 在 (a, b) 内可导,且 f (a+0) = f (b−0),
则至少存在一点 ξ ∈(a, b) ,
证: 设辅助函数
解题方法:
从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.
(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,
可考虑用柯西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 . (4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用
柯西中值定理 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F′(ξ ) F(b) −F(a)
aξ
b x
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b−a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f ( x) 方法1. 直观分析 由 y 图可知 , 设辅助函数 f (b) − f (a) F( x) = f ( x) − x−C b−a o a ξ b (C 为任意常数 )
二、拉格朗日中值定理
y = f ( x)
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y = f (x)
=0 b−a ������ () ξ )− f (b) − f (a) x ϕ( x) = fϕ (′x 作辅助函数 � b−a 显然 , ϕ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 ϕ(a) =bf (a) −af (b) =ϕ(b), 由罗尔定理知至少存在一点 思路思路思路 b−a思路: 利用逆向思维逆向思维逆向思维逆 证毕 ξ向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 ∈(a, b), 使ϕ′(ξ ) =0, 即定理结论成立 .