化二次型为标准型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 4 5 0 1 1 0 0 1
1 9 2 8 1 2 10 =0
得A的特征值： 1 2 1, 3 10
将1 1代入方程A EX O 得A EX O,即
1 2 2
2 4 4
2 4 4
x1 x2 x3
0 0 0
得同解方程组：
A
2 2 2
2 5 4
2 4 5
1 3
122
2 5
2
2 15
1 3
取正交阵 T P1*
P2*
P3*
1 5
0
4
2 15
2 3
2 3
2 3
2
5
2
2 15
1 3
正交阵
T
1 5
0
4
2 15
2 3
2 3 2 3
取对角阵 diag 1, 2 , 3
1 0 0
0 1 0
0 0 10
做正交变换 X=TY，即
【例1】化二次型
f (x1, x2 , x3) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
为标准型，并写出所做的正交变换
解：二次型矩阵为：
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2
2 5 4
542
A的特征方程为：
2 2 2 2 2 2 2 4 2 A E 2 5 4 2 5 4 2 9 4
后单位化（若ki=1直接单位化)，
对角 阵
得
Pi1*
,
Pi
* 2
,
, Piki *
(i 1,2, , m)
正交 阵
（4）取T=（P11*P12*
P* 1k1
P21*P22*
P* 2k2
Pm1*Pm2*
) P * mkm
diag1 , 1 , 2 , 2 , , m, m
k1
k2
km
1 0
, P2
2 5
4 5
1
属于3 10的线性无关的特征向量 ：P3 1,2,2
由于P3与P1, P2是正交的, 所以P1, P2 , P3两两正交
将P1, P2 , P3单位化：
P1*
1 P1
P1
1 5
102
, P2*
1 P2
P2
1 3
2
2 4
5 5
1
, P3*
1 P3
P3
2 4 5
000
0 2 0
18 5 9
18 4 9
000 002
0 0 1
0 1 1
0 0 0
得同解方程组：
2x1 x2
x3 0 x3 0
x1
1 2
x3
x2 x3
取 x3 2 ,得属于3 10的线性无关的特征向量 ：
P3 1,2,2
属于1 1的正交的特征向量：
2
P1
1 2 1, 3 10
x1 2x2 2x3 0
x1 2x2 2x3
令
x2 x3
分别取：
1 0
,
0 1
2 2
,得基础解系V1
1 0
,V2
10
于是A的属于1 1的线性无关的特征向量 为：V1,V2
将V1 ,V2正交化： 取P1 V1 , P2
V2
V2 P1
, ,
P1 P1
异
正交变换 X=TY
T为正交阵
即正交变换 X=TY必为非奇异变换
定理5.2成立
用正交变换化二次型为标准型的步骤：
步骤一：写出二次型矩阵A
重 点
步骤二：求正交阵T及对角阵Λ，使
掌
T -1AT= Λ
握
（方法：实对称矩阵的对角化）
步骤三：做正交变换 X=TY
步骤四：原二次型的标准型为：Y Y
即：1 y12 2 y22 n yn2
（λi为A的特征值)
用正交阵把实对称矩阵A对角化的步骤：得
（1）求出A的特征值 1, 2 , , m
T-1AT= Λ
( i各不相同)
即
（2）求属于i 的线性无关的特征向量： A～ Λ
设 i 是A的ki重特征值，则一定有ki
个线性无关的特征向量 Pi1, Pi2 , , Piki （3）将 Pi1 , Pi2 , , Piki 先正交化 施密特正交法
定理5.2 任一个二次型都可以通过非奇 异线性变换化为标准型。
即对于任一个二次型
暂不
f (x1, x2 , , xn ) X AX
证
都存在一个非奇异线性变换 X=CY
将之化为标准型Y Y
即对任意一个实对称矩阵A，都存在一个 非奇异矩阵C，使得
CAC
定理5.3 任何一个实对称矩阵A都与一个 对角阵Λ合同。
和对角阵 , 使得
T 1AT
T 1 T
做正交变换 X=TY, 则有
X AX (TY )A(TY ) Y T ATY
Y T 1 ATY Y Y
标准 形
定理5.4 对任一个二次型
f (x1, x2 , , xn ) X AX
总存在一个正交变换X=TY，把
非奇 f (x1, x2 , , xn ) 化为标准型
P1
则P1, P2是正交的
2 0 1
4 5
102
2 4
5 5
1
将3 10代入方程 A EX O 得A 10E X O,即
8 2 2
2 5 4
2 4 5
x1 x2 x3
0 0 0
A
2 2 2
2 5 4
2 4 5
1 2 1, 3 10
A
8 2 2
2 5 4
化二次型为标准型的方法:
一：用配方法化二次型为标准型
中学已学 过
★二：用正交变换化二次型为标准型
实对称矩阵对角化
定理5.4 对任一个二次型
f (x1, x2 , , xn ) X AX
总存在一个正交变换X=TY，把
f (x1, x2 , , xn ) 化为标准型
证明：因为A为实对称矩阵，一定存在正交阵T，
0 2 1
x1 x2 x3
0 0 0
1 1,,2 4 3 2
A 102
2 0 2
0 2 1
000 100
2 4 2
0 2 1
000 100
2 0 2
0 0 1
000
得同解方程组：
x1 2x2 0 2x2 x3 0
x1 x3
2x2 2x2
x1 x2 x3
2 1
5 5 0
2 4
2 15
2 15
2 3
1 3 2 3 2 3
y1 y2
y3
则该正交变换把原二次型化为标准型：
g( y1, y2 , y3 ) y12 y22 10y32
【例2】化二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 为标准型，并写出所做的正交变换
解：二次型矩阵为
A
2 2 0
2 1 2
002
A的特征方程为
直接 展开
2 2 0 A E 2 1 2
0 2
1 4 2
=0
解得A的特征值为：1 1,, 2 4 , 3 2
将1 1代入方程A EX O 得A EX O,即
A
2 2 0
2 1 2
002
1 2 0
2 0 2
1 9 2 8 1 2 10 =0
得A的特征值： 1 2 1, 3 10
将1 1代入方程A EX O 得A EX O,即
1 2 2
2 4 4
2 4 4
x1 x2 x3
0 0 0
得同解方程组：
A
2 2 2
2 5 4
2 4 5
1 3
122
2 5
2
2 15
1 3
取正交阵 T P1*
P2*
P3*
1 5
0
4
2 15
2 3
2 3
2 3
2
5
2
2 15
1 3
正交阵
T
1 5
0
4
2 15
2 3
2 3 2 3
取对角阵 diag 1, 2 , 3
1 0 0
0 1 0
0 0 10
做正交变换 X=TY，即
【例1】化二次型
f (x1, x2 , x3) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
为标准型，并写出所做的正交变换
解：二次型矩阵为：
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2
2 5 4
542
A的特征方程为：
2 2 2 2 2 2 2 4 2 A E 2 5 4 2 5 4 2 9 4
后单位化（若ki=1直接单位化)，
对角 阵
得
Pi1*
,
Pi
* 2
,
, Piki *
(i 1,2, , m)
正交 阵
（4）取T=（P11*P12*
P* 1k1
P21*P22*
P* 2k2
Pm1*Pm2*
) P * mkm
diag1 , 1 , 2 , 2 , , m, m
k1
k2
km
1 0
, P2
2 5
4 5
1
属于3 10的线性无关的特征向量 ：P3 1,2,2
由于P3与P1, P2是正交的, 所以P1, P2 , P3两两正交
将P1, P2 , P3单位化：
P1*
1 P1
P1
1 5
102
, P2*
1 P2
P2
1 3
2
2 4
5 5
1
, P3*
1 P3
P3
2 4 5
000
0 2 0
18 5 9
18 4 9
000 002
0 0 1
0 1 1
0 0 0
得同解方程组：
2x1 x2
x3 0 x3 0
x1
1 2
x3
x2 x3
取 x3 2 ,得属于3 10的线性无关的特征向量 ：
P3 1,2,2
属于1 1的正交的特征向量：
2
P1
1 2 1, 3 10
x1 2x2 2x3 0
x1 2x2 2x3
令
x2 x3
分别取：
1 0
,
0 1
2 2
,得基础解系V1
1 0
,V2
10
于是A的属于1 1的线性无关的特征向量 为：V1,V2
将V1 ,V2正交化： 取P1 V1 , P2
V2
V2 P1
, ,
P1 P1
异
正交变换 X=TY
T为正交阵
即正交变换 X=TY必为非奇异变换
定理5.2成立
用正交变换化二次型为标准型的步骤：
步骤一：写出二次型矩阵A
重 点
步骤二：求正交阵T及对角阵Λ，使
掌
T -1AT= Λ
握
（方法：实对称矩阵的对角化）
步骤三：做正交变换 X=TY
步骤四：原二次型的标准型为：Y Y
即：1 y12 2 y22 n yn2
（λi为A的特征值)
用正交阵把实对称矩阵A对角化的步骤：得
（1）求出A的特征值 1, 2 , , m
T-1AT= Λ
( i各不相同)
即
（2）求属于i 的线性无关的特征向量： A～ Λ
设 i 是A的ki重特征值，则一定有ki
个线性无关的特征向量 Pi1, Pi2 , , Piki （3）将 Pi1 , Pi2 , , Piki 先正交化 施密特正交法
定理5.2 任一个二次型都可以通过非奇 异线性变换化为标准型。
即对于任一个二次型
暂不
f (x1, x2 , , xn ) X AX
证
都存在一个非奇异线性变换 X=CY
将之化为标准型Y Y
即对任意一个实对称矩阵A，都存在一个 非奇异矩阵C，使得
CAC
定理5.3 任何一个实对称矩阵A都与一个 对角阵Λ合同。
和对角阵 , 使得
T 1AT
T 1 T
做正交变换 X=TY, 则有
X AX (TY )A(TY ) Y T ATY
Y T 1 ATY Y Y
标准 形
定理5.4 对任一个二次型
f (x1, x2 , , xn ) X AX
总存在一个正交变换X=TY，把
非奇 f (x1, x2 , , xn ) 化为标准型
P1
则P1, P2是正交的
2 0 1
4 5
102
2 4
5 5
1
将3 10代入方程 A EX O 得A 10E X O,即
8 2 2
2 5 4
2 4 5
x1 x2 x3
0 0 0
A
2 2 2
2 5 4
2 4 5
1 2 1, 3 10
A
8 2 2
2 5 4
化二次型为标准型的方法:
一：用配方法化二次型为标准型
中学已学 过
★二：用正交变换化二次型为标准型
实对称矩阵对角化
定理5.4 对任一个二次型
f (x1, x2 , , xn ) X AX
总存在一个正交变换X=TY，把
f (x1, x2 , , xn ) 化为标准型
证明：因为A为实对称矩阵，一定存在正交阵T，
0 2 1
x1 x2 x3
0 0 0
1 1,,2 4 3 2
A 102
2 0 2
0 2 1
000 100
2 4 2
0 2 1
000 100
2 0 2
0 0 1
000
得同解方程组：
x1 2x2 0 2x2 x3 0
x1 x3
2x2 2x2
x1 x2 x3
2 1
5 5 0
2 4
2 15
2 15
2 3
1 3 2 3 2 3
y1 y2
y3
则该正交变换把原二次型化为标准型：
g( y1, y2 , y3 ) y12 y22 10y32
【例2】化二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 为标准型，并写出所做的正交变换
解：二次型矩阵为
A
2 2 0
2 1 2
002
A的特征方程为
直接 展开
2 2 0 A E 2 1 2
0 2
1 4 2
=0
解得A的特征值为：1 1,, 2 4 , 3 2
将1 1代入方程A EX O 得A EX O,即
A
2 2 0
2 1 2
002
1 2 0
2 0 2