常用小波的分类
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2016/3/2 10
2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr小波。
2
t 2 / 2
2 1/ 4 ，其傅里叶变换为 式中 c 3 2 2 / 2 () 2 c e
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形 和其频谱如图所示。
db小波的特点外，主要是 (t ) 是接近对称的，因此，
所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N＝4时
的对称小波。
2016/3/2
21
3.正交小波
Sym4: Phi 1.2 1.5 Sym4: Psi 1 1 0.8 0.5 0.6 0 0.4 -0.5 0.2 -1
0
-0.2
0
2
4
6
8
-1.5
1 0 －1 0 1 2 1 0 －1 3 0 1 0 2 4 －1 0 2 4 1 0 1 0 5 10
d b2
1 0 －1 0 5 10
－1 －1 6 0 2 4 6 8 0
d b3
1 0 －1 0 5 10 15
d b4
1 0 －1 0 5
d b5
1 0 －1 0 10 15 5
d b6
10 15
2016/3/2 14
2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -10 0 5 15 The FT of Psi 10
-5
0
5
10
0
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
2016/3/2 15
Dec. scalling function:Phi 4 2 0 -2 -4
Dec. wavelet function:Psi
15
0
5
10
15
Rec. scalling function:Phi 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 -0.5 -1
Rec. wavelet function:Psi
的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是
对称的，且有着非常好的规则性。
2016/3/2 25
3.正交小波
1.2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.5 -0.2 -0.4 -10 -1 -10 0 1.5
0.5
-5
0
5
10
-5
0
5
10
Meyer小波，(a) (t ) ，(b) (t )
常用小波的分类
基本内容
1.小波的分类 2.常用的基本小波
3.正交小波 4.双正交小波
2016/3/2
2
1.小波的分类
第一类:是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正交 小波 第三类：是由Cohen，Daubechies构 造的双正交小波
4 2 () j sin ( )e j / 2 a
2016/3/2 4
2.常用的基本小波
(t )
1
1/ 2
1
0
1
t
(t 1)
1
2
0
t
(t / 2)
1
2
0
t
Harr小波 (a) (t ) ，(b) (t 1)，(c) (t / 2)
2016/3/2 5
3
2016/3/2
2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1 (t ) 1 0
0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
(t ) 的傅里叶变换是： 其波形如图所示。
0
5
10
15
0
5
10
15
2016/3/2
双正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函数 (t ) ，(b) 分解小波 (t ) ， (c) 重建尺度函数 (t ) ，(d) 重建小波 (t )
30
谢谢！
2016/3/2
31
利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限
支撑的正交小波；
•
2016/3/2
Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
6
2.常用的基本小波
Haar小波缺点
Haar小波是不连续小波，由
于 点
( )
t (t )dt 0
，因此处
0 只有一阶零
，这就使得Haar小波在实际的信
coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围
(t ) 的消失矩是2N， 为 6 N 1 ，也是接近对称的。
(t ) 的消失矩是2N－1。
2016/3/2 23
3.正交小波
Coif4: Phi 1.2 1.5 Coif4: Psi 1 1 0.8 0.5
0.6
0.4
0
0.2 -0.5 0
2016/3/2 8
2.常用的基本小波
MATLAB中将Morlet小波定义改造为： (t ) et / 2 cos0t 并取 0 5 该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 ~ () 和 (t ) 在时域和 但是当 0 5 ，或再取更大的值时， 频域都具有很好的集中，如图所示。
2.常用的基本小波
Haar小波的优点
•
•
Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）
Haar小波属正交小波。若取 a 2 j , j Z , b Z ，那么
(t ), (2 j t ) 0 Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
•
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有
-0.2
0
10
20
30
-1
0
10
20
30
Coiflets小波，(a) (t )，(b) (t )
2016/3/2 24
3.正交小波
Meyer小波
Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提
出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜
像滤波器组的频谱来定义的。
Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑
0
2
4
6
8
N＝4时的对称小波，(a) (t ) ，(b) (t )
2016/3/2 22
3.正交小波
Coiflets小波
该小波简记为coifN，N=1,2,…,5。在db小波中，
Daubechies小波仅考虑了使小波函数 (t ) 具有消失
矩（N阶），而没考虑尺度函数 (t )。
2
2016/3/2
9
2.常用的基本小波
Morlet wavelet: Psi 1 0.8 0.6 12 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 4 -0.6 -0.8 -1 -4 2 0 10 8 6 16 14 The FT of Psi
-2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
3.正交小波
目前提出的正交小波大致可分为四种， 即Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小 波和前面所讨论的“经典小波”不同， (t ) 它们一般不能由一个简洁的表达式给出 ， 而是通过一个叫做“尺度函数”的 (t ) 的 加权组合来产生的。
2016/3/2
16
3.正交小波
Daubechies小波
Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者
Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。
Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，
特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交 小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作 《Ten Lectures on Wavelet （小波十讲）》
号分析与处理中受到了限制。
2016/3/2
7
2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为 (t ) et / 2e jt
2
其傅里叶变换
() 2 e
( 0 ) 2 / 2
它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到 待分析的信号一般是实信号。 Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用 于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广 泛的一种小波。
2016/3/2 26
3双正交小波
由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。
(t )和 h0 , h1, g0 与 g1 因此，正交小波条件下的 (t ) ，
都不具有线性相位（Haar小波除外）。
Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波，
其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位 的小波及相应的滤波器组。
2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 0 处有二阶零点，因此它满足容 许条件，且该小波比较接近人眼视觉的 空间响应特征
2016/3/2
13
2.常用的基本小波
Gaussian小波
高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到 的，定义为： d k t 2 / 2 (t ) c k e k 1,2, ,8 dt ， 式中定标常数是保证 (t ) 2 1。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧 (t ) 支撑的。当k取偶数时 (t ) 正对称，当k取奇数时， 反对称。下图中给出了k=4时的 (t ) 的时域波形及对 应的频谱。
2016/3/2 11
2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1 20 18 0.8 16 0.6 14 12 10 0.2 8 6 4 -0.2 2 -0.4 -4 0 The FT of Psi
0.4
0
-2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
2016/3/2 12
2016/3/2
17
3.正交小波
N 2 ~ 10 N 1。当时，db1即 dbN中的表示db小波的阶次， ，
是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小 N 2 ~ 10 时的 (t ),h0 , h1, g0 波”类。Daubechies计算出了 及 g1 。
db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。
(t ) 的支撑范围在 t 0 ~ (2 N 1) ， (t ) 的支撑范围
在 (1 N ) ~ N。小波 (t )具有N阶消失矩， ( ) 在 0
处具有N阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤
波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。
2016/3/2 18
3.正交小波
2016/3/2
27
3双正交小波
双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通
重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在
MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是：
Nr=1,
Nr=2, Nr=3, Nr=4, Nr=5,
Nd=1,3,5
Nd=2,4,6,8 Nd=1,3,5,7,9 Nd=4 Nd=5
d b7
d b8
d b9
d b1 0
dbN小波
2016/3/2
19
3.正交小波
表 7-1 Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）
h
k
2
2016/3/2
20
3.正交小波
对称小波
对称小波简记为symN，N=2,3,…,8，它是db小波的
改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有
Nr=6,
2016/3/2
Nd=8
28
3双正交小波
这一类小波不是正交的，但它们是双正
交的，是紧支撑的，更主要的是它们是 对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消失矩为Nr-1。下图给出的bior3.7 的分解小波、尺度函数及重建小波和尺 度函数。
2016/3/2
29
3双正交小波
2 1 0 -1 0 5 10
2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr小波。
2
t 2 / 2
2 1/ 4 ，其傅里叶变换为 式中 c 3 2 2 / 2 () 2 c e
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形 和其频谱如图所示。
db小波的特点外，主要是 (t ) 是接近对称的，因此，
所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N＝4时
的对称小波。
2016/3/2
21
3.正交小波
Sym4: Phi 1.2 1.5 Sym4: Psi 1 1 0.8 0.5 0.6 0 0.4 -0.5 0.2 -1
0
-0.2
0
2
4
6
8
-1.5
1 0 －1 0 1 2 1 0 －1 3 0 1 0 2 4 －1 0 2 4 1 0 1 0 5 10
d b2
1 0 －1 0 5 10
－1 －1 6 0 2 4 6 8 0
d b3
1 0 －1 0 5 10 15
d b4
1 0 －1 0 5
d b5
1 0 －1 0 10 15 5
d b6
10 15
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2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -10 0 5 15 The FT of Psi 10
-5
0
5
10
0
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
2016/3/2 15
Dec. scalling function:Phi 4 2 0 -2 -4
Dec. wavelet function:Psi
15
0
5
10
15
Rec. scalling function:Phi 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 -0.5 -1
Rec. wavelet function:Psi
的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是
对称的，且有着非常好的规则性。
2016/3/2 25
3.正交小波
1.2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.5 -0.2 -0.4 -10 -1 -10 0 1.5
0.5
-5
0
5
10
-5
0
5
10
Meyer小波，(a) (t ) ，(b) (t )
常用小波的分类
基本内容
1.小波的分类 2.常用的基本小波
3.正交小波 4.双正交小波
2016/3/2
2
1.小波的分类
第一类:是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正交 小波 第三类：是由Cohen，Daubechies构 造的双正交小波
4 2 () j sin ( )e j / 2 a
2016/3/2 4
2.常用的基本小波
(t )
1
1/ 2
1
0
1
t
(t 1)
1
2
0
t
(t / 2)
1
2
0
t
Harr小波 (a) (t ) ，(b) (t 1)，(c) (t / 2)
2016/3/2 5
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2016/3/2
2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1 (t ) 1 0
0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
(t ) 的傅里叶变换是： 其波形如图所示。
0
5
10
15
0
5
10
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2016/3/2
双正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函数 (t ) ，(b) 分解小波 (t ) ， (c) 重建尺度函数 (t ) ，(d) 重建小波 (t )
30
谢谢！
2016/3/2
31
利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限
支撑的正交小波；
•
2016/3/2
Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
6
2.常用的基本小波
Haar小波缺点
Haar小波是不连续小波，由
于 点
( )
t (t )dt 0
，因此处
0 只有一阶零
，这就使得Haar小波在实际的信
coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围
(t ) 的消失矩是2N， 为 6 N 1 ，也是接近对称的。
(t ) 的消失矩是2N－1。
2016/3/2 23
3.正交小波
Coif4: Phi 1.2 1.5 Coif4: Psi 1 1 0.8 0.5
0.6
0.4
0
0.2 -0.5 0
2016/3/2 8
2.常用的基本小波
MATLAB中将Morlet小波定义改造为： (t ) et / 2 cos0t 并取 0 5 该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 ~ () 和 (t ) 在时域和 但是当 0 5 ，或再取更大的值时， 频域都具有很好的集中，如图所示。
2.常用的基本小波
Haar小波的优点
•
•
Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）
Haar小波属正交小波。若取 a 2 j , j Z , b Z ，那么
(t ), (2 j t ) 0 Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
•
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有
-0.2
0
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-1
0
10
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Coiflets小波，(a) (t )，(b) (t )
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3.正交小波
Meyer小波
Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提
出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜
像滤波器组的频谱来定义的。
Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑
0
2
4
6
8
N＝4时的对称小波，(a) (t ) ，(b) (t )
2016/3/2 22
3.正交小波
Coiflets小波
该小波简记为coifN，N=1,2,…,5。在db小波中，
Daubechies小波仅考虑了使小波函数 (t ) 具有消失
矩（N阶），而没考虑尺度函数 (t )。
2
2016/3/2
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2.常用的基本小波
Morlet wavelet: Psi 1 0.8 0.6 12 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 4 -0.6 -0.8 -1 -4 2 0 10 8 6 16 14 The FT of Psi
-2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
3.正交小波
目前提出的正交小波大致可分为四种， 即Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小 波和前面所讨论的“经典小波”不同， (t ) 它们一般不能由一个简洁的表达式给出 ， 而是通过一个叫做“尺度函数”的 (t ) 的 加权组合来产生的。
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3.正交小波
Daubechies小波
Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者
Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。
Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，
特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交 小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作 《Ten Lectures on Wavelet （小波十讲）》
号分析与处理中受到了限制。
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2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为 (t ) et / 2e jt
2
其傅里叶变换
() 2 e
( 0 ) 2 / 2
它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到 待分析的信号一般是实信号。 Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用 于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广 泛的一种小波。
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3双正交小波
由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。
(t )和 h0 , h1, g0 与 g1 因此，正交小波条件下的 (t ) ，
都不具有线性相位（Haar小波除外）。
Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波，
其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位 的小波及相应的滤波器组。
2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 0 处有二阶零点，因此它满足容 许条件，且该小波比较接近人眼视觉的 空间响应特征
2016/3/2
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2.常用的基本小波
Gaussian小波
高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到 的，定义为： d k t 2 / 2 (t ) c k e k 1,2, ,8 dt ， 式中定标常数是保证 (t ) 2 1。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧 (t ) 支撑的。当k取偶数时 (t ) 正对称，当k取奇数时， 反对称。下图中给出了k=4时的 (t ) 的时域波形及对 应的频谱。
2016/3/2 11
2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1 20 18 0.8 16 0.6 14 12 10 0.2 8 6 4 -0.2 2 -0.4 -4 0 The FT of Psi
0.4
0
-2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
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3.正交小波
N 2 ~ 10 N 1。当时，db1即 dbN中的表示db小波的阶次， ，
是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小 N 2 ~ 10 时的 (t ),h0 , h1, g0 波”类。Daubechies计算出了 及 g1 。
db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。
(t ) 的支撑范围在 t 0 ~ (2 N 1) ， (t ) 的支撑范围
在 (1 N ) ~ N。小波 (t )具有N阶消失矩， ( ) 在 0
处具有N阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤
波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。
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3.正交小波
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3双正交小波
双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通
重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在
MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是：
Nr=1,
Nr=2, Nr=3, Nr=4, Nr=5,
Nd=1,3,5
Nd=2,4,6,8 Nd=1,3,5,7,9 Nd=4 Nd=5
d b7
d b8
d b9
d b1 0
dbN小波
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3.正交小波
表 7-1 Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）
h
k
2
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3.正交小波
对称小波
对称小波简记为symN，N=2,3,…,8，它是db小波的
改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有
Nr=6,
2016/3/2
Nd=8
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3双正交小波
这一类小波不是正交的，但它们是双正
交的，是紧支撑的，更主要的是它们是 对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消失矩为Nr-1。下图给出的bior3.7 的分解小波、尺度函数及重建小波和尺 度函数。
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3双正交小波
2 1 0 -1 0 5 10