第03章4自动控制理论

1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根在 s 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。
2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次 数等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数， 相应的系统是不稳定的。
例2-1 已知一调速系统的特征方程式为
s3 41.5s2 517s 2.3104 0
为零，这表示有共轭虚根。这些根可由辅助方程式求出
。本例的辅助方程式是 p(s) 2s4 12s2 16
由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为
p1,2 j 2 , p3,4 j2 , p5,6 1 j2
应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程
a0s a1 0 a0s 2 a1s a2 0 a0s3 a1s 2 a2s a3 0
s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1 s3 2 2
s2 0 1
s1 2 2
s0 1
现在观察劳斯表第1列的各元。当趋近于零时的值是一 个很大的负值，因此可以认为第1列中的各元的符号改变 了两次。由此得出结论，该系统特征方程式有两个根具 有正实部，系统是不稳定的。如果上面一行的首列和下 面一行的首列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。例 如对下列方程式
劳斯稳定判据就是这样一种勿须求解特征方程，而通过特征 方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。
设系统的特征方程式为 a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn sn1 sn2 sn3
s2 s1 s0
a0 a2 a1 a3 b1 b2 c1 c 2
是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线S=-1的右边。
劳斯表为
s3 2 13
s2 10 4
s1 12.2
s0
第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。 再令S=Z-1，代入特征方程式，得
2(z 1)3 10(z 1)2 13(z 1) 4 0
2z3 4z2 z 1 0
劳斯稳定判据
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GB
(s)
a1
a1
a1
c1 b1a3 a1b2 , c2 b1a5 a1b3 , c3 b1a7 a1b4 ,
b1
b1
b1
用同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到第 n+1 行排完为止。
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换， 去判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：
第一列全大于零,所以系统稳定
错啦!!!
③ 求解辅助方程得: s1,2=±j
由综合除法可得另两个根 为s3,4= -2,-3
劳斯稳定判据
应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，即系统的绝对稳定 性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定 性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和 监别延滞系统的稳定性。
s3 2s2 s 2 0
的劳斯表为
s3 1 1 s2 2 2
s1
s0 2
s3 1 1 s2 2 2
s1
s0 2
可以看出，第1列各元中 的上面和下面的系数符号不
变，故有一对虚根。将特征方程式分解，有
解得根为
s2 1s 2 0
p1,2 j1 , p3 2
2．劳斯表的某一行中，所有元都等于零
如果在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明方 程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下， 可利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为 辅助方程）。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表 的这个全0行，然后继续计算下去。这些大小相等而关 于原点对称的根也可以通过求解这个辅助方程得出。
系统特征方程式为
令 s z 1
把虚轴左移 1 。将上式代入系统的特
征方程式，得以z为变量的新特征方程 式，然后再检验新特征方程式有几个根
位于新虚轴（垂直线s= 1 ）的右边。
如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯 阵列式第一列均为正数），则说系统具
有稳定裕量 1 。
劳斯稳定判据
检验特征方程式
2s3 10s2 13s 4 0
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
劳斯表中得 s6 ~ s3 各元为
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 2 12 16 s3 0 0 0
由上表可以看出，行的各项全部为零。为了求 s3 ~ s0出各
试用劳斯判据判别该系统的稳定性。
解 列劳斯表
s3
1
s2
41.7
517
0
2.3 104
0
s1
34.6
s0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
在应用劳斯判据时，可能遇到如下的特殊情况：
1．劳斯表中第1列出现零 如果劳斯表第1列中出现0，那 么可以用一个小的正数代替它，而继续计算其余各元。 例如，方程
d1 d 2 e1 e 2 f1
a4 a6 a5 a7 b3 b4 c3
d3
sn
a0 a2 a4 a6
sn1 sn2
a1 a3 b1 b2
a5 a7 b3 b4
sn3
c1 c 2
c3
s2
d1 d 2 d3
s1
e1 e 2
s0
f1
表中
b1 a1a2 a0a3 , b2 a1a4 a0a5 , b3 a1a6 a0a7 ,
容易得到以下的简单结论：
（1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是： 特征方程所有系数均为正。
（2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方 程所有系数均为正，
且 a1a2 a0a3
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换， 去判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：
劳斯稳定判据
控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部。因此判 别系统稳定与否，就变成求解特征方程的根并校验其特征 根是否都具有负实部的问题。
但是当系统阶次高于4时，在一般情况下，求解其特征方程 将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并按 求得的特征根分析系统稳定性的方法是极不方便的。
于是便提出这样一个问题，能否不用直接求特征根的方法，而 根据特征方程式(即高次代数方程)根与系数的关系去判别系统 的特征根是否全部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳 定性。
特征方程式：
s5 3s4 2s3 s2 5s 6 0
试用劳斯判据判定系统的稳定性
s5 1 2 5 s4 3 1 6 s3 5 9 s2 11 3 s1 114 s0 3
结论
1、劳斯表的行同乘某一正 数不影响系统的稳定性
2、不稳定 3、有两个正根
劳斯稳定判据
设系统特征方程为：
① 有大小相等符号相反的
1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式 的根在 s 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。
2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数 等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数，相 应的系统是不稳定的。
劳斯稳定判据
-s2-5s-6=0稳定吗？
16 5 6
劳斯稳定判据
s4+5s3+7s2+5s+6=0
劳 s4 1 7 6
斯 s3 51 15
表
s2 61 s1 02
61
s0 1
1 劳劳斯表斯何表时出会出现现零零行行?系 2 出统现一零行定怎不么稳办?定
3 如何求对称的根?
特征根时会出现零行
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
继续计算劳斯表
C(s) R(s)
1
Gk Gk
D(s) 1 Gk (s)
D(s) 1 1 K s (s 1)(s 5)
s3
1
5
s2 6 K
s1 30 K 6
s0 K
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯表的第一列均为正数。
K 0,30 K 0
0 K 30
项，将 s 4 行的各元构成辅助方程式,它的导函数为
dps 8s3 24s
ds
用导函数的系数4和12代替 s3行相应的元继续算下去，
得劳斯表为
s6
1
8 20 16
s5
2
12 16 0
s4
2
12 16
s3
8
24
s2
3
16
s1 56
3
s0
16
可以看出，在新得到的劳斯表的第1列有变号，因此可
以确定在右半平面有2特征根。另外，由于s3 行的各元均