平衡点的局部特性

σNL(x(t), w(t)) = δ|x(t)|2 − |w(t)|2 ≥ 0 。 因为 A 是 Hurwitz 矩阵，所以能够找到 P = P 使得
P A + A P = −I
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成立。那么对每一常数 τ ≥ 0 ，
σ(x¯, w¯) = σLT I (x¯, w¯) + τ σNL(x¯, w¯)
ky2 = h(y) + h˙ (y)h(y)y 成立。四阶泰勒级数展开为 h(y) = h2y2 + h3y3 + h4y4 + o(y4) ， h(y) = 2h2y + 3h3y2 + 4h4y4 + o(y3) ， 比较 ODE 两侧 h 的系数可得 h2 = k ，h3 = 0 ，h4 = −2k2 。因此中心流形 ODE 为
如果存在正实数 ，r ，C 使得 |x(0) − x¯0| < 的解 x : [0, T ] → X 满足
|x(t) − x¯0| ≤ Ce−rt|x(0) − x¯0| ∀ t = 0, 1, 2, ....
那么（8.2）的平衡点 x¯0 称为指数稳定的。 定理8.2 假设 a (x¯0) = 0 ，条件（8.3）成立，那么
x˙ 1(t) = −x1(t) + kx2(t)2 x˙ 2(t) = x1(t)x2(t)
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其中 k 是实参数。本例中 n = 2 ， p = q = 1 ， Ac = 0 ， As = −1 ， k 是 任意大的。根据定理8.3，存在 k 次可微函数 h : R → R 使得 x1 = h(x2) 是 ODE 的不变流形（至少在起点的邻域内）。因此对所有足够小的 y 有
σ(x¯, w¯) ≤ −0.5|x¯|2 ，
这就证明了对 |x(t)| < ，不等式
V (x(t)) ≤ −0.5|x(t)|2 ≤ − 2
1 P −1
V (x(t))
成立。因此只要 |x(t)| < 就有
V (x(t)) ≤ e−dtV (x(0)) ∀ t ≥ 0
成立，其中 d = 1/2 p−1 。由于
的平衡点 x¯ = 0 是渐近稳定的（这是根据定理8.1得到的），α = 0 并且 β < 0 时也如此。 α > 0 时平衡点是不稳定的（根据定理8.1得到）， α = 0 并且 β > 0 时也一样。另外， α = β = 0 时平衡点是稳定的，但不是渐近稳定的。
8.1.2 定理8.1的证明
（a）的证明可以看作是前面概括给出的“构造能量函数”的习题。事实 上，为了简便起见， x¯ = 0 时，（8.1）可以写成
P · |x(t)| ≥ V (x(t)) ≥ P −1 −1 · |x(t)| ，
这就证明了（a）。 （b）和（c）的证明更加复杂，是以说明开始于 x¯0 + δv 的解不能快速趋
近 x¯0 （在 x¯0 彼此分开）为基础的，其中 v 是对应 A 的非负（严格正）实部 特征值的特征向量。
为证明（b），找一个实数 d ∈ (0, r/2) 使得 A 的任意两个特征值的和不 到 −2d 。那么 P = P 是李亚普诺夫方程
8.2 高阶条件
当（8.1）中 A = a (x¯0) 的行列式在平衡点 x¯0 没有正实部的特征值，但 是有一些特征值位于虚轴上时，稳定性分析会变得更加复杂。基于定理8.1的 证明，自然我们希望与严格稳定特征值相关的系统状态是某种可预测的稳定 形式，那么与虚轴上的特征值相关的系统状态将决定平衡点是局部稳定还是 不稳定。
A = Ac 0 ， 0 As
其中 As 是 Hurwitz 矩阵， Ac 的全部特征值实部为零。 定理8.3 令 a : Rn → R 在 x¯0 = 0 的邻域内是 k ≥ 2 次连续可微的。假设 a(0) = 0 并且
a (0) = A = Ac 0 0 As
其中 As 是 Hurwitz p × p 矩阵，q × q 矩阵 Ac 的全部特征值实部为零。那么 （a）存在 > 0 和在起点的邻域内 k−1 次连续可微的函数 h : Rq → Rp 使得 h(0) = 0 ， h (0) = 0 ，并且 xs(0) = h(xc(0)) ， |xc(0)| < 时，只要 |xc(t)| < ，（8.1）的每一解 x(t) = [xc(t); xs(t)] 都满足 xs(t) = h(x0(t)) ； （b）当且仅当 ODE
= (τ δ − 1)|x¯|2 + 2τ x¯ P w¯ − τ |w¯|2 ≤ (τ δ − 1)|x¯|2 − 2 P · |x¯| · |w¯| − τ |w¯|2 是能量函数 V = VLT I 的供给率，其中 P 是 P 的最大奇异值，当 τ = 16 P 并且 δ = 0.25/τ 时，我们得到
8.1.1 时间连续情况 如果存在正实数 ，r ，C 使得 |x(0) − x¯0| < 的解 x : [0, T ] → X 满足
|x(t) − x¯0| ≤ Ce−rt|x(0) − x¯0| ∀ t ≥ 0 12003年10月3日版
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那么（8.1）的平衡点 x¯0 称为指数稳定的。 下面的定理可以直接得到李亚普诺夫函数。
lim
t→∞
eγt|x(t)
−
[xc(t);
h(xc(t))]|
=
0
成立。 > 0 足够小时，点集
Mc = {x¯ = [x¯c; h(x¯c)] : |x¯c| < }
称为（8.1）的中心流形。只要能准确计算出定义中心流形的函数 h 或计算到 足够判断（8.4）局部稳定性的程度，定理8.3，通常称为中心流形定理，可以 让我们把待分析系统的维数由 n 降到 q 。 例8.3 这个例子由312页的 Sastry而来。系统
成立。特别地，这意味着如果 x(0) P x(0) ≤ −R < 0 并且 |x(0)| ≤ δ ，那么只 要 |x(t)| ≤ δ ，就有 e2dtx(t) P x(t) ≤ −R 成立，这与速率 r > 2d 的指数稳定 性相矛盾。
（c）的证明和（a）类似。
8.1.3 离散时间情况
针对离散时间情况的结果与定理8.1类似，特征值的实部被它们的绝对值 与 1 的差值替代。
（a）如果 A = a (x¯0) 是舒尔矩阵（也就是 A 的所有特征值的绝对值小 于一），那么 x¯0 是（8.2）的（局部）指数稳定平衡点；
（b）如果 A = a (x¯0) 有一个特征值的绝对值大于 1 ，那么 x¯0 不是（8.2） 的指数稳定平衡点；
（c）如果 A = a (x¯0) 有一个特征值的绝对值严格大于 1 ，那么 x¯0 不是 （8.2）的稳定平衡点。
a
x¯1 x¯2
=
x¯21x¯22 − x¯21 − x¯22)2 x¯21x¯22 + (x¯21 − x¯22)2
x¯1 x¯2
定义，a(0) = 0 时，它关于 x¯1 和 x¯2 在每一点 x¯ ∈ R2 都可微，并且它的行列 式 a (0) = A 为负单位阵。但是，条件（8.3）并不成立（请注意 a (x¯) 在 x¯ = 0 是不连续的）。
(8.3)
成立。
如果 a 中的每个 ak 对 x 中的 xi 求导 dak/dxi 在 x¯0 存在，那么 A 是系 数为 dak/dxi 的矩阵，也就是系统的行列式。但是，在单点 x¯0 的可微并不能 保证（8.3）成立。另一方面，在 x¯0 的邻域内 a 的连续可微却可以得到（8.3）。 例8.1 x¯ = 0 时函数 a : R2 → R2 由
|a(x¯) − Ax¯| ≤ |x¯| for |x¯| ≤ δ
成立。那么只要 x(t) 是（8.1）的解，并且 |x(t)| ≤ δ ，那么
d dt
(e2dtx(t)
P
x(t))
=
e2dt(2dx(t)
P
x(t)+2x(t)
P
Ax(t)+2x(t)
P
(a(x(t))−Ax(t)))
≤ −0.5e2dt|x(t)|2
x¯c(t) = kxc(t)3 + o(xc(t)3) ， 这意味着 k < 0 稳定， k > 0 不稳定。
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dotxc(t) = a([xc(t); h(xc(t))])
(8.4)
的平衡点 x¯c = 0 是局部稳定（渐近稳定）【不稳定】时对（a）中的 每一个函数 h ，（8.1）的平衡点 x¯0 = 0 是局部稳定（渐近稳定）【不 稳定】的；
（c）如果（8.4）的平衡点 x¯c = 0 是稳定的，那么存在常数 r > 0 ，γ > 0 使得 |xc(0)| < r 时对（8.1）的每一解 x = x(t) 有一个（8.4）的解 xc = xc(t) 使得
P (A + dI) + (A + dI)P = −I
的唯一解。请注意 P 是非奇异的：否则，如果对某些 v = 0 有 P v = 0 ，可以 得到
−|v|2 = v (P (A + dI) + (A + dI)P )v = (P v) (A + dI)v + v (A + dI)(P v) = 0 。
x˙ = Ax(t) = Ax(t) + w(t), w(t) = a(x(t)) − Ax(t) 。
这里线性部分有标准能量函数
VLT I (x¯) = x¯ P x¯, P = P ，
对应供给率为
σLT I (x¯, w¯) = 2x¯ P (Ax¯ + w¯) 。
另外，根据（8.3），对每一 δ > 0 存在 > 0 使得只要 |x(t)| < ，非线性部分 w(t) 就满足向量约束