整除性质及应用

整除性质及应用

整除有几个性质。其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b和c互质，

那么b和c的积也能整除a。”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则2×3=6也能整除12。

整除的这一性质，应用较为广泛。请看：

例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。（安徽省1997年小学数学竞赛题）

解：逆向思考：因为225=25×9，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。我们来分别考察能被25和9整除的情形。

由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75。

再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得9＋7+0＋4＋5＝25，25

＋2＝27，25＋7=32。

故知，修改后的六位数是970425。

例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）

解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。

由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。

再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。

故知，这个数是3825。

例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），

请你帮忙把这笔账补上。应是____元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。

解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。

故这笔账应是367.92元。

例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

解：因为77=11×7，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。

由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。

由数字1～9的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。我们不妨设差为11，则有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。据此列举、试算，得

再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

故知，中间一段的数是56。

例5.有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛决赛试题）

解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。

要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30。即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。

故知，这三个自然数分别是29、30、31。

练一练：

1.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数至少有_____个。（答：15个）

2.要使四位数□7□2能被24整除，且最小，方框中各应填上什么数字？（答：1、5）

3.修改693205中的一个数字，使修改后的数能被275整除。修改后的数是_____。（答：693275）