高斯小学奥数六年级上册含答案第05讲 进位制问题

第五讲进位制问题

有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．

一、什么是进位制

所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．

二、怎么表示进位制

这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都．默认为．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．

在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：

（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；

（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．

在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．

三、n 进位制化十进制

十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+； 三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+； 四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+； 五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……

例1． （1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）

（2）()1052012=（_______） （3） ()10122012=（_______）

「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．

练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）

()1282012=（_______）

例2．

（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？

（2）()482111011001==（_______）（_______）．

「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？

练习2、()93120011221=（_______）

例3． ()()77754536245+=（_______）

「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．

练习3、

例4．

在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？

练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？

例5．

一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？

「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．

例6．

一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？

「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．

cba abc ()()555123123⨯=（_______）

作业

1. 进制互化：

（1）； （2）； （3）=； （4）=；

（5）； （6）．

2. （1）；（2）．

3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一

个七位数，这个十进制的三位数是多少？

4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，

这个自然数用十进制表示是多少？

5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？

()2

1abcabc ()10

abc

()()()55521322⨯= (

)4 ()()44202323+= ()(

)916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=