高斯小学奥数六年级上册含答案第05讲 进位制问题

第五讲进位制问题
有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．
一、什么是进位制
所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．
二、怎么表示进位制
这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都．默认为．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．
在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：
（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；
（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．
在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．
三、n 进位制化十进制
十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+； 三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+； 四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+； 五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……
例1． （1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）
（2）()1052012=（_______） （3） ()10122012=（_______）
「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．
练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）
()1282012=（_______）
例2．
（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？
（2）()482111011001==（_______）（_______）．
「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？
练习2、()93120011221=（_______）
例3． ()()77754536245+=（_______）
「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．
练习3、
例4．
在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？
练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？
例5．
一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？
「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．
例6．
一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？
「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．
cba abc ()()555123123⨯=（_______）
作业
1. 进制互化：
（1）； （2）； （3）=； （4）=；
（5）； （6）．
2. （1）；（2）．
3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一
个七位数，这个十进制的三位数是多少？
4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，
这个自然数用十进制表示是多少？
5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？
()2
1abcabc ()10
abc
()()()55521322⨯= (
)4 ()()44202323+= ()(
)916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=
第三讲 递推计数
例题 例1． 答案：927
详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：
下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4
篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为1247++=，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于24713++=……以此类推便可填满整张表格．
例2． 答案：28
详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：
下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的
方格表，可得其覆盖方法数等于43⨯的方法数加上23⨯的方法数，因此等于314+=．接着以此类推即可． 例3． 答案：5051
余下部分是33⨯的方格表，覆盖方法有2种．
阴影方格下方的格子只能用横放的纸片盖住，因此只剩下13⨯
的方格表需要覆盖
详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：
下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I 、II 、III 、IV 的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有的某个区域一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻辑关系在下方右侧有明确的表示．由此可得，增加到第n 条直线就会增加n 个新区域，因此答案是()22341005051++++
+=．
例4． 答案：1641
详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一
行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A 下
方的0，就是通过第“0”行B 、C 、D 的数量相加得到的；
第“3”行B 下方的7，就是通过第“2”行A 、C 、D 的数量相加得到的；第“4”行C 下方的20，就是通过第“5”行A 、B 、D 的数量相加得到的；第“6”行D 下方的182，
就是通过第“5”行A 、B 、C 的数量相加得到的．之所以有这样的累加规则，就是因为A 想拿球，必须由B 、C 、D 传球给他，所以他下方的数也必须由B 、C 、D 累加给他
我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．这一行的四个数分别为1641、1640、
1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A 、B 、C 、D
目要求最后球回到A 手中，因此答案为1641种．
第4条
I
II III
IV
增加第n 条直线
产生1n -个交点
第n 条直线被分成n 部分
直线的每一部分
都分出一个新区域
增加n 个新区域
2+
3+
5+
100+
4+
…
例5． 答案：1224
详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、3，但不能给自己；2、3都能传球给1、2、3．依据“传球规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推表格．表格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行写的都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三个数分别表示第六次传球后，球在1、2、3手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把它们全加起来，等于328+448+448=1224．
例6． 答案：42
详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种连法．（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6（如下左图），那么与A 1相连的点只能是A 2、A 4或A 6．依次分三类情况讨论：第一，A 1连A 2，剩下4个点连法数为2；第二，A 1连A 4，剩下4个点连法数为1；第三，A 1连A 4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8（如下右图），那么与A 1相连的点有四种可能，分别是A 2、A 4、A 6或A 8．以此分四类讨论，共14种方法．
（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A 1相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．
A
还剩4个点，
2种方法．
1种方法．
还剩4个点， 2种方法．
剩余42+个
点，方法数为21⨯．
42+个
点，方法数为21⨯．
还剩6个点，共5种方法．
评析：本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由小求大的递推过程：在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；而在求解10个点的方法数时，则会用到2个、4个、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要有能力将数目较大的情形通过变形，化归为数目较小的情形来解决．
另外，请大家观察右图．从A 处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从A 到B 、C 、D 、E 、F 的最短路径分别有多少？大家不妨用标数法（参考四年级上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结果与本题的结果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？
3 4
A 6
A 3 4
A 6
A 3 4
A 6
A 3 4
A 6
A 3 4
A 6
A 剩余8个点 共14种方法 剩余26+个点 共15⨯种方法
剩余44+个点 共22⨯种方法
剩余26+个点 共15⨯种方法
剩余8个点 共14种方法
A
B
C
D
E
F
练习1、 答案：12
简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．
练习2、
答案：21
简答：仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即
可得递推规则．
练习3、 答案：1276
简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示
练习4、 答案：43
4
后的拿球人不是发球人这一点要注意！
2+
3+
5+
50+
4+
1. 答案：89 简答：
简答：
简答：略．
4. 答案：3277
简答：如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：0不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能传给别人；总共传球传6次． 5. 答案：29
简答：如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，
依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．
就是的覆盖方法，利用练习2的分析方法和相关结论，可得答案为21．情况二，竖着覆盖：在这类情况下，有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩下需要覆盖的是一个的方格表，其方法数量也可参考练习2的分析方法和相关结论来取得，答案为8．上述两种情况相加，可得答案为．
21829+= 52⨯ 72⨯。