绝对值不等式及不等式的证明

考向1 绝对值不等式的解法 绝对值不等式在高考中以解答题形式呈现，属中等难度
题目，分值为10分．主要考查绝对值不等式的解法和性质的运 用． 例1 (2016·课标Ⅲ，24，10分)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范 围．
不等式 |x|＜a |x|>a
a>0 ①_{_x_|－__a_<_x_<__a_} _ ③_{x_|_x_>_a_或__x_<_－__a_}_
a＝0
a<0
②__∅__
∅
{x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：|ax ＋b|≤c⇔④_－__c_≤__a_x_＋__b_≤_c_；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－ c.
2016·课标Ⅰ， 24
不等式)
绝对值不等 式及不等式 的证明
解答题：
3.会用参数配方法讨论柯西不 等式的一般情形：
2017·课标 Ⅰ，23 解答题：
∑n a2i ·∑n b2i ≥(∑n aibi)2.
i＝1
i＝1
i＝1
2017·课标 Ⅱ，23
4.会用向量递归方法讨论排序 不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其 使用范围，会用数学归纳法 证明一些简单问题.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (i)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合 的思想； (ii)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (iii)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与 方程的思想．
2．绝对值的三角不等式 定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤⑤_|_a_|＋__|_b，| 当且仅当 ab≥0时，等号成立． 定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且 仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
方法二：记 h(x)＝f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|.
2a＋1－4x，x≤a2， ①若a2≤12，即 a≤1 时，h(x)＝1，a2<x≤12，
4x－1，x>12，
∴h(x)min＝1.此时 h(x)≥3 在 R 上不恒成立．
2a＋1－4x，x≤12， ②若a2>12，即 a>1 时，h(x)＝2a－1，12<x≤a2，
7.会用上述不等式证明一 解答题：
些简单问题，能够利用平 2017·课标
均值不等式、柯西不等式 Ⅲ，23
求一些特定函数的极值. 解答题：
8.了解证明不等式的基本 2016·课标Ⅰ，
方法：比较法、综合法、 24
分析法、反证法、放缩法.
62 绝对值不等式及不等式的证明
1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
5．一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22
＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋bn2)≥⑧_(_a_1_b_1_＋__a_2b__2＋__…___＋__a_n_b_n)_2，当且仅
当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，…， n)时，等号成立．
【解析】 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)方法一：当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－ a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a. 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. 当a≤1时，上式等价于1－a＋a≥3，无解； 当a>1时，上式等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是[2，＋∞)．
3．三个正数的算术－几何平均不等式：如果 a，b，c∈R＋，那
么a＋3b＋c≥⑥_3__a_b_c_，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
4．基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，…， an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a1＋a2＋n …＋an
≥⑦_n__a_1_·__a_2_·__…__·__a_n___，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时等号成立．
4x－1，x>a2，
∴h(x)min＝2a－1，由2a－1≥3，得a≥2. 综上知a的取值范围是[2，＋∞)．
含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x ＜－a或x＞a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．s (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不 等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等 价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应 的两个函数的图象，利用函数图象求解．
(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
解答题： 2017·课标 Ⅰ，23 解答题： 2017·课标 Ⅱ，23
(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2 解答题：
＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2
2017·课标 Ⅲ，23
≥ （x1－x3）2＋（y1－y3）2. 解答题：
(此不等式通常称为平面三角
解答题： 2017·课标 Ⅲ，23 解答题： 2016·课标Ⅰ，
24
绝对值不等 式及不等式 的证明
6.会用数学归纳法证明伯 解答题：
努利不等式：
2017·课标
(1＋x)n>1＋nx(x>－1， Ⅰ，23
x≠0，n为大于1的正整数 解答题：
)，了解当n为大于1的实数 2017·课标
时伯努利不等式也成立. Ⅱ，23
解答题： 2017·课标 Ⅰ，23 解答题： 2017·课标 Ⅱ，23 解答题： 2017·课标 Ⅲ，23 解答题： 2016·课标Ⅰ，
24
绝对值不等 式及不等式 的证明
2.了解下列柯西不等式的几种
不同形式，理解它们的几何 意义，并会证明. (1)柯西不等式的向量形式：
|α|·|β|≥|α·β|.
第二十三章 不等式选讲
绝对值不几何意 义，并能利用含绝对值不
等式的几何意义证明以下 不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. (3)会利用绝对值的几何 意义求解以下类型的不等 式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x －a|＋|x－b|≥c.