高一必修二直线与圆大题练习

20. 已知圆M ：x 2+(y −2)2=1，Q 是x 轴上的动点，QA,QB 分别切圆M 于A,B 两点.

（1）若|AB|=4√23

，求|MQ|及直线MQ 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点.

【答案】（Ⅰ）|MQ|=3,直线MQ 的方程为：2x +√5y −2√5=0或2x -√5y +2√5=0;

（Ⅱ）证明过程见解析.

【解析】（Ⅰ）设直线MQ ∩AB =P ，则|AP|=

2√23

, 又|AM|=1，AP ⊥MQ,AM ⊥AQ ，...

∴|MP|=1-(2√23)=13， |AM|2=|MQ ||MP |，∴|MQ|=3，

设Q(x,0)，而点M (0,2)，由√x 2+22=3得x =±√5，

则Q(√5,0)或(-√5,0)， 从而直线MQ 的方程为：2x +√5y −2√5=0或2x -√5y +2√5=0.

（Ⅱ）证明：设点Q(q,0)，由几何性质可以知道，A,B 在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x 2+y 2−qx −2y =0，AB 为两圆的公共弦，两圆方程相减得qx −2y +3=0即AB:y =q 2x +32过定点(0，3

2). 考点：直线与圆；直线方程

18. 已知点P(2,−1).

（1）求过点P 且与原点距离为2的直线方程；

（2）求过点P 且与原点距离最大的直线方程.

【答案】（Ⅰ）直线方程为x =2或3x −4y −10=0;（Ⅱ）直线方程为2x −y −5=0.

【解析】（Ⅰ）当直线斜率不存在时，方程x =2适合题意．

当直线斜率存在时，设直线方程为y +1=k(x −2)，即kx −y −2k −1=0， 则√k 2+1=2，解得k =3

4．

∴直线方程为3x −4y −10=0．

∴所求直线方程为x =2或3x −4y −10=0．

（Ⅱ）过点P 且与原点距离最大的直线方程应为过点P 且与OP 垂直的直线，

k OP=−1

，则所求直线的斜率为2，...

2

∴直线方程为2x−y−5=0．

考点：直线方程；点到直线的距离；两直线垂直

17．如图，在平行四边形OABC中，过点C（1，3）做CD⊥AB，垂足为点D，试求CD所在直线的一般式方程．

【考点】待定系数法求直线方程．

【分析】根据原点坐标和已知的C点坐标，求出直线OC的斜率；根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：因为点O（0，0），点C（1，3），

所以OC所在直线的斜率为．，

在平行四边形OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以CD⊥OC．

所以CD所在直线的斜率为．

所以CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．

17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）

（△）求BC边的中线AD所在的直线方程；

（△）求AC边的高BH所在的直线方程．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．

【专题】直线与圆．

【分析】（△）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；

（△）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．

【解答】解：（△）BC中点D的坐标为（2，0），

△直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；

（△）△，BH△AC，

△，

△直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．

【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．