IIR数字滤波器的原理及设计解析

这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计
算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算
机，因而优化设计又叫做 IIR 滤波器的计算机辅助设计
(CAD)。

第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；
第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为
基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用
6.2.1

Butterworth低通滤波特性的逼近
对于Butterworth滤波器有：
| H a ( j)|2 1 2N [1 ( ) ] c

（6.4）
满足此平方幅度特性的滤波器又叫做 B 型滤波器。这里 N 为正整数，为B 型滤波器的阶次，为截止频率。
6.2.1.1
B型滤波特性
根据幅频特性指标来设计系统函数。

图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波
器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ )|2来给出的。

Ω c 是截止频率，当0≤Ω <Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =1，是通带； 当Ω >Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。

IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点 处出现谷值, 因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以
达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要
求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种
方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。
2. 借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器

因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
图6.1
Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响

在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | H ( j)|2 随增大 a
而下降越慢；

在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| H a ( j)| 随增大而下
2
降越快。


模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有 简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起 来方便准确。

而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设
计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用
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M
N

于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
Y ( z) H ( z) X ( z)
i a z i i 0
M
1 bi z i
i 1
N
(6.2)
6.1.2

IIR 数字滤波器的设计方法
对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，
可以得到：
H ( z)
因此， N 越大， B 型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形 形状；而不同的 N所对应的特性曲线都经过 Ω c 处的半功 率点。离Ω c越近，幅频特性与理想特性相差越大。
6.2.1.2

由得到Ha(s),
B型滤波器的极点
* 由于Ha (s)是s的实系数有理函数，故有： H* ( s ) H ( s )， a a
第6章 IIR数字滤波器的原理及设计
6.1 概述 IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数
6.1.1

我们已经知道 IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变 因果系统，其差分方程可以写为：
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i 0 i 1
M
N
（6.1）

进行z变换，可得： Y ( z ) ai z i X ( z ) bi z i Y ( z )
a z
i 0 i N i 1
M
i
1 bi z
i
a0
(1 c z
i
M
1
)
(1 d z
i i 1
i 1 N
1
(6.3)
)

其中ci 为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、 或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有 三种方法。
1. 零极点位置累试法
1. 最平坦函数

B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当Ω =Ω c 时，| H a ( j)|2 = 1 ，而 2

10log10 | H a ( jc ) |2 10log10 1 2 3db
模拟低通滤波特性的逼近
模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近
部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在 已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统 函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。

模拟系统的频率响应 Ha(jΩ )是冲激响应ha(t)的傅里叶变
换， H a (j Ω ) 的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何
令s=jΩ , 则有：H* ， 而 a ( j) H a ( j)
| Ha ( j)|2 Ha ( j)H* a ( j) H a ( j)H a ( j)
得最多的第二种方法。
6.1.3

借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性 能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后 由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数 H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。
6.2

了这种方法。
3. 用优化技术设计

系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采
用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选
择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。

第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参 数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次 计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当 此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数， 设计过程也就到此完成。