平行四边形综合证明一
平行四边形的判定(两组对边相等)
（4）两条对角线互相平分的四边形是平 行四边形。
开心一练:
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行
四边形的是(C )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
练习1：已知：E、F是平行四边形ABCD
B
C （两组对边分别平行的四边形是
平行四边形）
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC、OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中
∴ △ A∠OOOABBA==OOO≌BCD=∠△CCOODD
(SAS)
A O
D
∴AB=CD
B
C
同理 ： AD=CB
∴四 边形ABCD是平行四边形（两组对 边分别相等的四 边形是平行四边形。）
平行四边形的定义： P50（10）
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形.
A B
D
几何语言： ∵AB∥DC, AD∥BC
C ∴四边形ABCD是平行四边形
填空：在△ABC中，AB=BC,AB=12cm，F 是AB上一点，过点F作FE∥BC交AC于E， 过点E作ED ∥AB交BC于点D，则四边形 BDEF的周长2是4c_m________.
A
F
E
B
D
C
筋开 动 脑
有一天,李老师的儿子从幼儿园放学来到办公室, 看到郑老师办公桌上一块平行四边形纸片,于是就拿 起笔来画画,画了一会儿,对自已的作品不满意撕去了 一些,巧的是刚好从A、C两个顶点撕开。你只有尺 规，你能帮它补好吗？
通过以上活动你
A
D
平行四边形的性质和判定1
独立作业 2
作 业 分 析
2.已知:如图, AC,BD是□ABCD的两条对角 线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是E,F.
求证:AE=CF. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. ∵∠AED=∠CFB=900, ∴△AED≌△CFB(AAS). ∴AE=CF.
证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E.
∵四边形ABCD是平行四边形, ′ ∴AB∥CD,AD∥BC. ∴PE∥CD∥AB, ∴ ∠1＝∠3, 四边形PDCE是平行四边形. ∴ PD=EC,PE=CD. ∵ ∠1＝∠2.
A
1
我是金子
B
2
P D
3
E C
∴PE=BE.
∴∠3＝∠2.
∴PD+CD=BE+EC=BC.
C
∴AB=DE.
∵AB=DC, ∴DE=DC.
∵∠A+∠B=1800,
∠ADC+∠C=1800. ∴∠A=∠ADC.
学海无涯
等腰梯形的判定P76
定理: 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 . 知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=∠C. 已
A 求证:AB=DC. 分析:可有以下思路:
O
D
A ┎ B E
D ┒ F C
思路1:平移一腰至DE 思路2:作梯形的高
A D
B
E
C
A
D
M
B
思路3:延长两腰相交
C
B
C
思路4:平移一腰至CM
学海无涯
等腰梯形的判定P76
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=∠C.
平行四边形的判定一汇总
平行四边形判定
两组对边分别相等的四边形是平行四
A B
边形。
D C
∵ AD=BC, AB=CD（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（两 组对边分别相等的四边形是平行四 边形。）
如图，AB =DC=EF, AD=BC，DE=CF,则 图中有哪些互相平行的线段？
A D E B C F
F
E
D
C
学习了平行四边形后，小明回家用细木 棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手 做的平行四边形向同学们展示。 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是 平行四边形呢？ 大家都困惑了……
小锋提议：我们可以度量它的角，如果它的两组对 角分别相等，那么它就是一个平行四边形。 已知：四边形ABCD,
A D
AB ∥ DC∥ EF AD ∥ BC DE ∥ CF
A
D
B
C
A
B
猜想， 对吗？
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AB ∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形
﹦
平行四边形判定
一组对边平行且相等的四边形是平行
A B
四边形。
D
∵ AD=BC, AD∥BC（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（一 组对边平行且相等的四边形是平行 四边形。）
六、说一说：
1.本节课你学会了几种平行四边形的判定方法
2.本节课所学的解决问题的思路是:
(1)解决一个数学问题,常要通过”动手实践”-----”
猜想”-----”验证猜想(证明)”-----”得出结论” (2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
平行四边形判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形(一)
做一做
证明：如图中的四边形MNOP是平行四边形。
学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。
三、随堂练习
课本随堂练习1、2、3
学生独立练习。
四、课堂总结
涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方法。从边看：有三种判定方法：两组对边分别相等；两组对边分别平行；一组对边平行且相等。从角看：两组对角分别相等。从对角线看：对角线互相平分。
两个角相等。
拓展：这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。
学生证明。
定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、随堂练习
课本随堂练习1、2
学生独立练习。
四、课堂总结
平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等，对边平行，对角线互相平分。
五、布置作业
课本习题3.1 1、2
课题
3.1平行四边形（二）
教学方法
讲练结合法
教学后记
教学内容及过程
备注
一、回顾交流
问题提出：1.平行四边形有哪些性质？
2.平行四边形有哪些判定条件？
3.如何运用公理和已有的定理证明它们？
定理：平行四边形的对边相等。
学生证明。
拓展：由上面的证明过程，你还能得到什么结论？
定理：平行四边形对角相等。
二、范例讲解
例证明：等腰梯形在同一底上的
课题
3.1平行四边形（一）
课型
新授课
教学目标
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，
3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
平行四边形的判定方法综合课件
B
C
新知探究3： 小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面 的方法： 将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再 用两根木条AD，BC加固，得到的这个四边 形ABCD是什么样的图形？ A D
四边形ABCD是平行四边形
B 猜测：一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形
C
已知：四边形ABCD中 AB∥CD， AB＝CD 求证：四边形ABCD是平行四边形 A 证明：连接BD
证明： ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
B
A
D
C
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
即∠A+ ∠B=180
°
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 同理可证AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四 边形是平行四边形)
平行四边形的判定定理
A
B
猜想， 对吗？
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形？
∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB﹦
从实验结果得 出什么结论？
D
C
A
B
判定定理：
2、
1 3 4 2
猜想：两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连结AC 数学语言表示为： ∵ AD=CB，AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四 边形 ∴ABC ≌△ CDA (SSS) ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ AB∥CD， AD∥CB
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，并且 AO=CO，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：在△AOB和△COD中
证平行四边形全等方法
证平行四边形全等方法作为数学教授，我将为大家讲解证明平行四边形全等的方法。
平行四边形全等是指两个平行四边形的每一对对应边相等，并且对应角相等。
这里我们将介绍三种证明平行四边形全等的方法：SAS、SSS和ASA。
我们来讲解SAS方法。
SAS方法即知两边及夹角相等时，证明两个三角形全等。
首先我们假设有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
我们要证明这两个平行四边形全等。
我们可以画出对角线AC和EG，这样我们就得到了两个三角形ABC和EFG。
根据题意，我们可以得出三个已知条件：AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
这样，我们就可以使用SAS方法证明它们全等。
因为∠A=∠E，所以这两个三角形的第二个已知条件是AC=EG。
根据SAS法则，当三角形的两边及夹角分别相等时，两个三角形就全等。
1.画图要准确在证明平行四边形全等的过程中，我们通常会用到画图来辅助证明。
画图的质量会直接影响证明的正确性和清晰度。
我们要尽可能地画得准确，并将图形大小和比例控制好。
2.理解证明方法的原理虽然SAS、SSS和ASA法则看起来很简单，但理解证明方法的原理是非常重要的。
只有当我们理解了证明方法的原理，才能正确地运用它们。
我们要仔细研读课本材料和老师的讲解，保证自己对证明方法有深入的理解。
3.掌握其他定理的使用在证明平行四边形全等的过程中，我们还会用到其他的定理和公式。
我们可能会用到勾股定理、余弦定理、正弦定理和中线定理等。
我们还需要掌握这些定理的应用，才能在证明过程中灵活运用。
4.注意证明的逻辑性在证明平行四边形全等的过程中，我们需要注意证明的逻辑性。
尽管证明过程看似简单，但我们需要确保每一个步骤都是正确的，并按照合理的顺序进行。
否则，证明过程会缺乏逻辑性，失去信服力。
5.多多练习证明平行四边形全等虽然看起来简单，但它涉及到的知识点较多，需要我们综合运用多种数学知识和技巧。
我们需要多练习，增强自己的证明能力。
平行四边形的判定(2)
平行四边形的判定（2）
九年级数学(上)第三章证明(三)
1.平行四边形(3)
平行四边形的判定
定理:平行四边形的对边相等.′∵四边形ABCD 是平行四边形,∴
AB=CD,BC=DA.
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
平行四边形的性质(三种语言)
平行四边形的性质(三种语言)′定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO=AO,BO=DO.
定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.等腰梯形的性质(三种语言)
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
定理:等腰梯形的两条对角线相等.
在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..
在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
等腰梯形的判定(三种语言)
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD 中,AD∥BC,
∵∠A=∠D 或∠B=∠C,∴AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.
平行四边形的判定P77。
3.1 平行四边形(1)证明(一),(二) 回顾与思考
16 回顾与思考
等边三角形的判定
A
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边
三角形.
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三 角形是等边三角形).
B
600
C
17 回顾与思考
等边三角形的判定
定理:三个角都相等的三角形是等边三角 形. A
•
切记!!!
25 回顾与思考
线段垂直平分线 性质
M
P
定理 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等.
A
C
B
如图, N ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等).
26 回顾与思考
A
300
C
20 回顾与思考
勾股定理
定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边 为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
a b
c
勾
弦 股
在△ABC中 ∵∠ACB=900(已知), ∴ a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方).
这里的结论,以后可以直接运用.
8 回顾与思考
三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. 这个结论以后可以直接运用.
平行四边形的判定(1)课件
O
Ｄ Ａ
Ｃ∵∠A=∠C,
∠B=∠D
(1)判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理 由.
A
⑴ 110° 110° C
D 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B 70°
请你谈一谈
学习了本节课你有哪 些收获？
判 定
文字语言
图形语言 Ｄ
符号语言
定 两组对边分别平行的 义 四边形是平行四边形
Ｃ ∵AB∥CD,
AD∥BC Ｂ ∴…是平行四边形 Ｃ ∵AB=CD, AD= BC Ｂ ∴…是平行四边形 Ｃ ∵OA=OC, OB=OD Ｂ ∴…是平行四边形
Ａ 定 两组对边分别相等的 Ｄ
由上面的证明你得到了 什么结论？ 平行四边形判定定理： B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
你也试一试
如图，将两根细木条AC、BD的中 心重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连 接木条的顶点，做成一个四边形ABCD， 转动两根木条，它一直是一个平行四边形 吗？你能证明吗？你又能得到什么结论？
大显身手
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形
A
E O F
D
证明：连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO
B
14
C
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO
又∵ BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形
平行四边形的判定(1)
平行四边形的判定（1）
九年级数学(上)第三章证明(三)
1.平行四边形(2)
平行四边形的判定
学好几何标志是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
定理:平行四边形的对边相等.′证明后的结论,以后可以直接运用. ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,BC=DA.
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
平行四边形的性质(三种语言)
平行四边形的性质(三种语言)′证明后的结论,以后可以直接运用. 定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO=AO,BO=DO.
定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.等腰梯形的性质(三种语言)
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.。
平行四边形常用的证明方法
平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF, ∴△BAE≌△DCF, ∴AE=CF,BE=DF, ∵AD=BC, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在□ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∵∠ADC=∠ABC，∴∠EAD=∠BCF，∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB，即∠EAF=∠ECF，∵∠EAD=∠BCF，∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB，∴∠E=∠F，∴四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，□AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∠FCA=∠CAE，∵∠DOC=∠AOB，∴△AOB≌△COD，∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD．求证：四边形AMCN是平行四形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD，∴AM∥CN，AM ＝CN，∴四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵A、D、C在一条直线上，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=900，∴四边形ADCE是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形证明：∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，∴∠PBE=∠ABE=0.5∠ABP，∠ABD=∠DBC= 0.5∠ABC，∵∠ABP+∠ABC=900，∴∠ABE+∠ABD=∠PBE+∠DBC=0.5×1800，∴∠EBD=900，∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=900，∠ADB=900，∴∠EBD=∠AEB=∠ADB=900，∴四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AO=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。
平行四边形证明方法
平行四边形证明方法平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在学习平行四边形的过程中，我们需要掌握它的性质和证明方法。
本文将介绍平行四边形的证明方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的性质，对边相等、对角相等、对角线互相平分等等。
接下来，我们将介绍平行四边形的证明方法。
证明一，对边相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对边AB与CD相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据等腰三角形的性质，我们可以得出AB = BC，CD = DA。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对边AB与CD相等。
证明二，对角相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角∠A与∠C相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据三角形内角和定理，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D + ∠A = 180°。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对角∠A与∠C相等。
证明三，对角线互相平分。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角线AC和BD互相平分。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到四个三角形ABC、ACD、BCD和ABD。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
平行四边形的判定
A EDBFC18.1.2平行四边形的判定(一)阜康市第三中学学习目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 重点、难点重点：平行四边形的判定方法及应用．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 预习检测案 平行四边形的概念： 平行四边形的性质： 边： 角： 线：3、思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 合作探究案判定1： 已知：AB=CD, AD=BC求证：四边形ABCD 是平行四边形（提示：利用三角形的全等，根据平行四边形的定义证明） 证明：判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知：∠A= （ ） , ∠B= （ ） 求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：判定3： 已知：OA=OC, OB=OD 求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：概括：判定1 （ ）表达式 （ ） 判定2 （ ）表达式 （ ） 判定3 （ ） 表达式（ ） 例1如图，,,AB DC EF AD BC DE CF ====，图中有哪些互相平行的线段例2已知：如图平行四边形 ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ． 求证：四边形BFDE 是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE 是平行四边形可以根据判定方法3来证明． 证明：例3变式1：若E 、F 移至OA 、OC 的延长线上，且AE=CF ，结论有改变吗？为什么？当堂检测案1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A ）对角线互相垂直 （B ）对角线相等 （C ）对角线互相垂直且相等 （D ）对角线互相平分2四边形ABCD 中，∠A =50°，能使此四边形为平行四边形的条件是（ ）(A)∠D=50° (B)∠C=130° (C) ∠B=130° ∠C=50° (D) ∠B=50° ∠C=130 ° 3、如上图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，（1）若AD=8cm ，AB=4cm ，那么当BC=___ _cm ，CD=___ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AC=10cm ，BD=8cm ，那么当AO=__ _cm ，DO=__ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形．BCDBCDOAB CDFEBCD。
平行四边形知识点及证明题
平行四边形知识点及证明题平行四边形是一种常见的几何图形，具有独特的特点和性质。
在解决数学问题时，掌握平行四边形的知识点和证明方法是非常重要的。
首先，平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
这意味着平行四边形的两组对边在长度和角度方面都相等。
这种特点使得平行四边形在几何学中具有许多应用。
其次，平行四边形的对角线相互平分，并且相互垂直。
这意味着在平行四边形中，相对角的度数相等，对角线相互垂直平分。
这个性质在解决平行四边形的证明题时非常有用。
此外，平行四边形的面积计算公式为底边长度乘以高。
通过这个公式，我们可以轻松地计算出平行四边形的面积，并且可以进一步推导出其他重要的几何结论。
在解决平行四边形的证明题时，我们需要运用上述性质和特点。
例如，我们可以利用平行四边形的对角线相互平分和垂直的性质，通过全等三角形证明两个角相等。
此外，我们还可以利用平行四边形的面积计算公式，推导出平行四边形的周长公式，从而解决周长计算问题。
总之，掌握平行四边形的知识点和证明方法是解决相关数学问题的关键。
在实际应用中，平行四边形具有广泛的应用，例如在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
未来，随着科学技术的发展，平行四边形的应用前景将更加广阔。
平行四边形知识点总结平行四边形知识点总结一、定义平行四边形是一种几何图形，具有两条相互平行的对边和两条对角线。
它是人类生活中常见的形状，具有广泛的应用价值。
二、性质1、平行四边形的对边平行且相等。
2、平行四边形的对角相等。
3、平行四边形的内角和为360度。
4、平行四边形的对角线互相平分。
5、平行四边形具有稳定性。
三、应用平行四边形在日常生活中有广泛的应用，如折叠扇子、百叶窗、篱笆、平行滑梯等。
在数学领域，它也是许多其他图形的基础，如矩形、菱形、梯形等。
四、与其他图形的区别1、与三角形的区别：三角形有三条边，而平行四边形只有两条对边。
2、与矩形的区别：矩形是特殊的平行四边形，具有四个直角和相等的高。
2020-2021备战中考数学压轴题专题复习—平行四边形的综合附答案解析
2020-2021备战中考数学压轴题专题复习—平行四边形的综合附答案解析一、平行四边形1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'2AP；（3）如图，过C '作C 'G ⊥AC 于G ，则S △AC 'C ＝12AC •C 'G ，Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝22(2)(2)2+=，即AC 为定值，当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2413 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x= 133， ∵BD=22AD AB + =213， ∴OB=12BD=13， ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=213， ∴EF=2EO=4133． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.【答案】（1）()03y x =<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或12. 【解析】试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-，则()03y x =<<（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又AC =则AD CA x AC CB =⇒=⇒=（舍负）易知∠ACE <90°，所以边BC 的长为12+．综上所述：边BC 的长为2．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．5．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD ⊥BD ，∴∠CBD ＝90°，∴四边形BCGD 是矩形；（2）由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BD ⊥EF ，DP ＝BP ，∵AD ⊥BD ，∴EF ∥AD ∥BC ， ∴AE PD 1BE BP== ∴AE ＝BE ， ∴DE 是Rt △ADB 斜边上的中线，∴DE ＝AE ＝BE ，∵AE ＝BD ，∴DE ＝BD ＝BE ，∴△DBE 是等边三角形，∴∠EDB ＝∠DBE ＝60°，∵AB ∥DC ，∴∠DBC ＝∠DBE ＝60°，∴∠EDF ＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度6．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝54或52-或32． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．【详解】（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4， 代入得：24k b b +=⎧⎨=⎩，得24k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2﹣x ， ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2， x＝54； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ， ∴HG ＝DH ＝2﹣x ，∴AG ＝2x ﹣2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ，∴EH HG AF AG =， ∴124222x x x -=--， ∴125555x x -+==（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ， ∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ，∴CE DE CD DF =，∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32， 综上，x ＝54或5-5或32． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．7．如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC ．(1)试猜想AE 与GC 有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和CG ．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E 是BC 的中点，且BC ＝2，则C ，F 两点间的距离为 ．【答案】(1) AE ＝CG ，AE ⊥GC ；(2)成立，证明见解析；2 ．【解析】【分析】（1）观察图形，AE 、CG 的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，易证得△ADE ≌△CDG ，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE ⊥GC ．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE ≌△CDG ，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB ＝∠CEH ＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH ＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM ⊥DG 于G ，GN ⊥CD 于N ，CH ⊥FG 于H ，则四边形CMGH 是矩形，可得CM ＝GH ，CH ＝GM ．想办法求出CH ，HF ，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE ＝CG ，AE ⊥GC ；证明：延长GC 交AE 于点H ，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•C M ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -355， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B ′，过E 作EF 垂直B ′C ，交B ′C 于F ．（1）求AE 、EF 的位置关系；（2）求线段B ′C 的长，并求△B ′EC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C＝90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝165cm，∴BO22AB AO125cm，∴BB′＝2BO＝245cm，∴在Rt △BB 'C 中，B ′C ＝22BC BB '-＝518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形， ∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．9．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出A'F=22AQ QF '-=6，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P 在BC 边上，A'落在BC 边上时，由折叠的性质得：A'P=AP ，证出∠APQ=∠AQP ，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt △ABP 中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P 在BC 边上，A'落在CD 边上时，由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P 从AB 边的中点E 出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE ，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=12×10×4=20； 故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ 为直径的圆不与BC 边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP +=+=，设以PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，如图1所示：则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，∵O'为PQ 的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=5＜34，∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P 在BC 边上，A'落在CD 边上时，连接AP 、A'P ，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2，在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173； 综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上． 【点睛】 四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.10．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【解析】【分析】（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．11．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．12．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣32）两点，与x轴交于另一点B．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。
平行四边形判定(一)课件
A
E
O F
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF ∴EO=FO
B
C
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形 证明： 四边形ABCD是平行四边形 AD ∥ BC且AD =BC EAD=FCB A D 在AED和 CFB中 AE=CF E EAD=FCB F AD=BC AED ≌ CFB(SAS) C DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC、OB=OD. 求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD ∴ △AOB ≌ △COD (SAS) ∴AB=CD
A O B
D
C
同理 ： AD=CB ∴四 边形ABCD是平行四边形（两组对 边分别相等的四 边形是平行四边形。）
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)两组对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (4)两条对角分别相等的四边形是平行四边形
开心一练:
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行 四边形的是( C ) (A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
平行四边形的判定
平昌县得胜中学 任 璟
一、平行四边形的定义：
A B O C
D
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。 边
二、平行 四边形的 性质： 角
平行四边形ppt课件
高难度练习题及解析
总结词：综合拓展
具体题目示例及解析：在平行四边形ABCD中，E 、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF。求证：四 边形AFCE是平行四边形。
详细描述：高难度练习题不仅要求学员掌握平行 四边形的性质和判定方法，还要求学员能够综合 运用知识，进行深度思考和分析。这类题目旨在 培养学员的思维能力和解决问题的能力。
家居用品中的平行四边形
总结词
实用、常见
详细描述
在家居用品中，平行四边形是一种非常实用的形状，常见于各种物品设计。例如，家具的桌面或床垫 的床框，通常采用平行四边形形状，因为这种形状可以方便地拼接或组合，同时也能节省空间。
平行四边形在机械中的应用
总结词
精密、高效
详细描述
在机械领域，平行四边形具有精密和高效的特点。例如，某些机器的传动系统或支撑结构，以及一些精密仪器的 框架或底座，都采用平行四边形设计。这种设计能够提高机器的精度和稳定性，同时也能使机器更加高效地运转 。
定义
有一组邻边相等且有一个 角是直角的平行四边形是 正方形。
性质
正方形的四个角都是直角 ，四条边都相等，对角线 相等且互相垂直平分。
判定
有一个角是直角的菱形是 正方形；对角线相等的菱 形是正方形。
03
平行四边形与生活中的应用
建筑中的平行四边形
总结词
引人注目、富有创意
详细描述
在建筑设计中，平行四边形具有独特的美学特质，常常被用来创造引人注目的 视觉效果。例如，某些建筑物的斜撑或屋顶结构，以及一些装饰性元素，如百 叶窗或格子窗，都采用平行四边形设计。
VS
详细描述
在平行四边形ABCD中，AB和CD是一组 对边，它们不仅平行而且相等。根据平行 四边形的定义，两组对边分别平行，即 AB // CD。此外，两组对边分别相等， 即AB = CD。这是平行四边形的一个核心 特性。
平行四边形的判定1
第六章平行四边形6.2平行四边形的判定（1）【课程标准要求】探索并证明平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
【教材分析】平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．【学情分析】学生在前面学段已经接触过四边形，在七年级下册“三角形”中也研究了一般多边形及其内角和等内容，因此本章没有从一般的四边形讲起，而是在引言后直接进入特殊四边形的学习。
对于特殊的四边形，教科书按对边之间的平行关系把它们分成了两类:一类是两组对边分别平行的四边形——平行四边形，同时学生已经学习了三角形全等的判定，这也为平行四边形的判定打下基础。
【学习目标：】知识与技能：经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的能力。
过程与方法：探索并证明平行四边形的判定定理及其它相关结论，发展演绎推的能力。
情感与态度：体会归纳、类比、转化等数学思想。
【教学重点：】平行四边形的判定定理1和2；【教学难点：】掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。
一、课前预习1、预习141-142页课本内容。
2、记住平行四边形的两个判定定理。
3、看会141页的例题1。
4、完成142页的随堂练习。
二、课内检查1、不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等2、四边形ABCD中，已知AB＝CD，若再增加一个条件，可得四边形ABCD是平行四边形．3、四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，则四边形ABCD是四边形．4、如图，AC//DE，点B在AC上，且AB＝DE＝BC．找出图中的平行四边形，并说明理由．A BDCE三、合作探究探究一、证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4.4 平行四边形的判定(1)
-4 -3 -2 -1 -1 O 1 2 C D -2
∵四边形ABCD是平行四边形 证明： ∴AB∥CD且AB=CD
∵点E、F分别是边AB、CD的中点
∴AE∥DF 且AE=DF ∴ 四边形AEFD是平行四边形 ∴ AD∥EF （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴EF//AD 提示：平行四边形对边平行也是证明两线平行的一种方法
练一练
1、已知，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形
是平行四边形吗？
A
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ∵ AB=CD且AD=BC A
B
C
D
D
∴四边形ABCD是平行四边形
B
知识整理
平行四边形的三个判定方法
两组对边分别平行
从边看:
两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是 平行四边形
满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若 是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。 1.AB=CD，AB∥CD 2.AB=CD，AD=BC （√ ） （√ ）
证明：∵在△ABC中AB=5，AC=4，BC=3 o ∴∠ACB=90 ∵ AD∥BC B o ∴∠DAC=∠ACB=90 ∵CD=5， AC=4，∴AD=3 ∴AD∥BC 且AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD.
D
C
3 、在
ABCD中，已知 AE＝CF， BG＝DH．EB与AH、
∥ ∴ED=BF,即ED ﹦ BF. ∴四边形EBFD是平行四边形
A
E
D
B
F
C
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BE=DF (平行四边形的对边相等) 提示：平行四边形对边相等也是证明线段相等的一种方法
判定平行四边形的五种方法(最新整理)
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别图1图2AB C DEF图3例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=∠DAB ，∠2=∠BCD ，2121所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
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«平行四边形»证明与计算专题训练卷(一)
一般平行四边形及三角形中位线
班级:㊀姓名:
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
１.(１８ 重庆八中九下入学)
已知:如图ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＤʅＢＤꎬ点Ｅ㊁
点Ｆ分别在ＡＢ㊁ＢＤ上ꎬ且
满足ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＦꎬ连接ＤＥ㊁ＡＦ㊁ＥＦ.
㊀(１)若øＣＤＢ＝３０ʎꎬ求øＥＡＦ的度数ꎻ㊀(２)若ＤＥʅＥＦꎬ求证
:ＤＥ＝２ＥＦ.
２.(１８ 重庆八中九下月考)已知在▱ＡＢＣＤ中ꎬＡＥʅＣＤꎬ且ＡＢ＝ＡＥꎬＦ为ＡＥ上一点ꎬ且
ＢＦ平分øＡＢＣ.
㊀(１)若øＡＢＣ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬ求ＥＦ的长ꎻ
㊀(２)求证:ＡＦ＋ＤＥ＝ＢＣ.㊀
３.如图ꎬ已知平行四边形ＡＢＣＤꎬＡＥ平分øＢＡＤꎬ交ＤＣ于ＥꎬＤＦʅＢＣ于Ｆꎬ交ＡＥ于Ｇꎬ且ＤＦ＝ＡＤ.
㊀(１)若øＣ＝６０ʎꎬＡＢ＝２ꎬ求ＥＣ的长ꎻ
㊀(２)求证:ＡＢ＝ＤＧ＋ＦＣ.
４.(１８ 南开中学九下半期)已知点Ｐ是▱ＡＢＣＤ对角线ＢＤ上的一点ꎬ分别过Ｂ㊁Ｄ作ＡＰ的垂线ꎬ垂足分别为点Ｅ㊁Ｆ.
㊀(１)如图１ꎬ若点Ｐ为ＢＤ中点ꎬøＢＡＰ＝３０ʎꎬＡＤ＝５ꎬＣＤ＝８ꎬ求ＡＦ的长ꎻ
㊀(２)如图２ꎬ若点Ｅ在ＣＤ上ꎬＢＥ＝ＤＥꎬ延长ＤＦ至Ｇꎬ使ＤＧ＝ＡＢꎬ点Ｈ在ＢＤ上ꎬ连接ＡＨ㊁ＧＨ㊁ＥＨ㊁ＦＨꎬ若øＧ＝øＢＡＨꎬ求证:ＨＥ＝
ＨＦ.
㊀
５.如图１ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣ㊁ＢＤ交于点ＯꎬＡＢ＝ＡＣꎬＡＢʅＡＣꎬ过点Ａ作ＡＥʅＢＤ于Ｅ.
㊀(１)若ＢＣ＝６２ꎬ求ＡＥ的长ꎻ
㊀(２)如图２ꎬ点Ｆ是ＢＤ上一点ꎬ连接ＡＦꎬ过点Ａ作ＡＧʅＡＦꎬ且ＡＧ＝ＡＦ.连接ＧＣ
６.(１８ 沙区适应性考试)在▱ＡＢＣＤꎬ以线段ＣＤ为边在平行四边形内作等边әＣＤＥꎬ连结ＡＥ.
㊀(１)如图１ꎬ若点Ｅ在对角线ＡＣ上ꎬ且øＡＢＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝６ꎬ求ＡＥ的长ꎻ
㊀(２)如图２ꎬ若点Ｆ是ＡＥ的中点ꎬ且ＢＦʅＡＥꎬ过点Ｅ作ＭＮʊＢＦꎬ分别交ＢＣ㊁ＡＤ于点Ｍ㊁
Ｎꎬ
求证:ＢＭ＋ＭＥ＝ＣＭ.
７.在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ是对
角线ꎬøＡＣＤ＝９０ʎ.点Ｅ是ＢＣ的
中点ꎬＡＦ平分øＢＡＣꎬＣＦʅＡＦ于
点Ｆ.连接ＥＦ.
(１)求证:øＡＦＥ＝øＣＦＥꎻ
(２)过点Ｂ作ＢＧʅＡＦ分别交ＡＦ㊁ＡＣ于点Ｈ㊁Ｇ.求证:ＥＦ＝１２
ＣＧ.８.已知ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＥʅＢＣꎬ且Ｅ为ＢＣ的中点ꎬＡＥ＝ＢＣꎬＰ为ＢＣ上一点ꎬ连接ＤＰꎬ作ＥＦʅＤＰ于点Ｆꎬ连接ＡＦ.
㊀(１)若ＡＤ＝４ꎬ求ＡＢ的长ꎻ㊀(２)求证:２ＡＦ＋ＥＦ＝ＤＦ.。