常用数值分析方法(精品课件)
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数值分析学习课件
对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。 则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然， 若不然，则 存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。 为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！ 阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }， ， 两两（ 使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交， 和 两两 带权）正交， 改进： 改进： 对角阵！ 就化为对角阵 则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造： 正交多项式的构造： 多项式的构造 取为k 多项式，为简单起见， 将正交函数族中的ϕk 取为 阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小 尽可能小。 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。 常见做法： 常见做法：
m
不可导， 不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小 使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义 最佳平方逼近：即连续型 逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近 平方逼近 逼近，
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数值分析ppt
由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项为 基本插值公式的余项 由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项为
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − N n ( x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
若将x ≠ xi , (i = 0 ,1,L , n)视为一个节点, 则
因此， 因此，可以作为插值基函数 线性无关， 线性无关，
设插值节点为 xi ,
函数值为 f i , i = 0 ,1,L , n
hi = xi + 1 − xi , i = 0 ,1,2 ,L , n − 1
插值条件为 P( xi ) = f i , i = 0 ,1,L , n
设插值多项式 P ( x )具有如下形式
一、均差 二、Newton插值公式 三、等距节点的Newton插值公式 四、Newton插值算法
均差) 引入差商 (均差) 的目的 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 ,Lagrange
( x − xi ) l j (x ) = ∏ i = 0 ( x j − xi )
0.28000 0.35893 0.43348 0.52493 0.19733 0.21300 0.22863 0.03134 0.03126 −0.00012
15
从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 N4(x)做近似即可. 按牛顿插值公式，将数据代入
N4(x) = 0.41075+1.116(x −0.4) +0.28(x −0.4)(x −0.55)
数值分析QR方法PPT课件
（3）如取位移 为
，则
最后一行非对角元二
阶收敛于零（特别对于对称矩阵，能达到三阶收敛），其
第39页/共50页
加速技术下的算法：
（ （
1 2
） ）
确 对
定 矩
计算精
阵Ak
度取1加0速E-因m子an(nk
)
进行加速
（3）判断矩阵 Ak 的最后一行非对角元素是否小于要求
的精度，如果不小于，继续加速迭代，如已经小于精度，
,n ,n
a
(1) pq
a(1) qp
1 2
(aqq
app )sin 2
a pp
cos 2
ai(j1)
a(1) ji
aij ,i,
j
p, q
选取φ满足 cot 2 app a qq
2a pq
我们就有
a(1) pq
a(1) qp
0
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Jacobi法的算法
1. 令k＝1，R（1）＝I，给定矩阵A（＝A（1）），收敛条件ε
第11页/共50页
QR方法
cf:《矩阵计算》，G.H. Golub& F. Van Loan 袁亚湘等译，第五章 （5.1、5.2节）
第12页/共50页
• QR方法是计算中小型矩阵特征值和特征向量的有效方法之一； • QR方法最重要的一步是对A进行正交分解使得A＝QR，其中Q为一特殊正交矩
阵； • 理论上，QR方法可以应用于任何矩阵，但对以下几类矩阵效率很高：1）对称
三对角矩阵；2）Hessenberg矩阵；3）对称带状矩阵
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QR方法的理论依据
定理（实Schur分解定理）：设A是一个n阶实方阵，那么存在一 个正交矩阵Q使得A相似于
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
常用数值分析方法(精品课件)
可能性
计算机的迅速发 展，也使数值分 析得到有效而经 济的成果。
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4
一、数值分析方法概述
有限元法
边界元法
数值分析 的主要求 解方法
数值流 形方法
离散元法
界面 元法
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5
二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
处理非连续介质——离散单元法
可行的
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13
THANK YOU ！
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14
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.1 0.292 0.10.2 9Thursday, October 29, 2020
10、低头要有勇气，抬头要有低气。 09:57: 2109: 57:21 09:57 10/29 /2020 9:57:21 AM
14、抱最大的希望，作最大的努力。 2020 年10月 29日星 期四上 午9时5 7分21 秒09: 57:212 0.10. 29
Hale Waihona Puke 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 20年1 0月上 午9时5 7分20. 10.29 09:57 Octob er 29, 2020
16、业余生活要有意义，不要越轨。 2020 年10月 29日星 期四9 时57分 21秒0 9:57:2 129 October 2020
常用数值分析方法 理论与应用
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1
主要内容
1、数值分析方法概述 2、几种常见的数值分析方法 3、几点思考
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2
一、数值分析方法概述
求解方法
精确解
数值方法
数值分析 PPT课件
n1
(
x
)
这里 （a,b）且依赖于 x。
第12页/共51页
第13页/共51页
定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)≡g(x)。
第14页/共51页
y1
)
(
(y y1
y0 )( y y0 )( y1
y2 )( y y y2 )( y1
3) y3
)
f
1 ( y2 )
( y y0 )( y y1 )( y y3 ) ( y2 y0 )( y2 y1 )( y2 y3 )
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )( y y0 )( y3
定理2 设 f (n)( x) 在 [a,b] 上连续，f (n1)( x) 在 (a,b) 内存在，节点
a x0 x1 xn b, Ln( x) 是满足拉格朗日插值条件的多项式，则 对任何 x [a,b], 插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln( x)
f ( (n1) )
(n 1)!
2.1 引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规 律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 [a,b] 上存在、 连续，但只能给出 [a,b] 上一系列点的函数值表时，或 者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只 给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研 究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。 因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近 似 f(x)。这就引出了插值问题。
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
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具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
【全版】数值分析课件( )推荐PPT
多要的通情 过况例•，子我，注们学不习重知使道用各准各确种章值数值x节。方法所解决研实际究计算算问题法。 的提出，掌握方法的基本原理和思 想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入 误差。
例 如 ： 3.1用 41近 59似 代 ，替 产 生 的 误 差 R3.141 509.0000 026
研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
• 考试方式：
•
笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）
研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
第1章数值分析与 科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
研究生公共课程数学系列
本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析 理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入 误差。
例 如 ： 3.1用 41近 59似 代 ，替 产 生 的 误 差 R3.141 509.0000 026
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笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）
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第1章数值分析与 科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
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本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
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三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析 理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
数值分析精品PPT课件
所以 x x 10m (a1 1) 10n1 1 10mn1
2(a1 1)
2
x至少有n位有效数字.
1.2.3、数值运算的误差估计
(1).
( x1
x
2
)
( x1 )
(
x
2
)
(2).
(
x1
x
2
)
x1
(
x
2
)
x
2
(
x1
)
(3).
x1
x
2
x1
(
x
2
)
x
2
(
x1
)
x
2
1.2.2、误差与有效数字
1.误差
定义1、(误差的定义 ) 设x 精确值, x 近似值,称e x x为 绝对误差(误差).
当e 0时称为强近似, 当e 0时称为弱近似.
如果 e x x ,( ( x )),那么称 为
绝对误差限 .
若
称er
e
x
e
x
r
,
(
r
x x
定义2、
若x的近似值x的误差限是某一位的半 个单位, 该位到x的第一位非零数字共有 n位,就说x有n位 有效数字.它可表示为 x 10m (a1 a2 101 a2 102 ... an 10n1 ) 其中ai (i 1，2，3，..., n)是0到9中的一个数字, a1 0, m为 整数, 且 x x 1 10mn1.
x 10mn1 a1a2a3 ...an 10m a1 • a2a3 ...an .
称x有n位有效数字, a1 , a2 ,..., an是x的有效数字.
总之,当 x x 1 10mn1时, x有n位有效数字.
数值分析学习课件
i = 2,3,..., n − 1
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
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• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
数值分析学习课件
所以有
π π 1 3 π = 0.258768616 H3 ( ) = + − 12 48 4 96
sin （12 ） =0.258819045
方法2 方法2： 直接用待定系数法求解： 直接用待定系数法求解：
π
由 f (0) = 0，f ( ) =
6
π
1 2
，可有 y = L1 ( x ) =
3
3
H 3 ( x) =
2
f ( 4 ) (ξ x ) R3 ( x ) = f ( x ) − P3 ( x ) = K ( x )( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x 2 ), K ( x ) = 4!
可解。 又: h1’(x1) = 1 ⇒ C1 可解。
一般地， 一般地，已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 y0’ , …, yn’ ，求 H2n+1(x) 满足 H2n+1(xi) = yi ， H’2n+1(xi) = yi’。 。 解：设 H2n+1( x ) = Σ yi hi ( x ) + Σ yi’ h i ( x )
∧
(x − xj ) ( xi − x j )
一 可解A 由余下条件 hi(xi) = 1 和 hi’(xi) = 0 可解 i 和 Bi ⇒
hi ( x ) = [1 − 2l i′( xi )( x − xi )] l i2 ( x )
∧ ∧
hi (x) 有根 x0 , …, xn, 除了xi 外都是 重根 ⇒ hi( x) = Ci ( x − xi ) li2(x) 外都是2重根
一致
易证： 记 h = max | xi +1 − xi | ，易证：当 h → 0 时，P1h ( x ) → f ( x ) 失去了原函数的光滑性。 失去了原函数的光滑性。 缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低, 缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 连续
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2.数值流形方法(NMM)
以下两图中，由两个圆和一个矩形(用细线表示)划定三个覆盖：
形成数学网格，粗线
表示材料边界和内部 弧形裂缝。图中V1被 物理网格分成两个物 理覆盖11、12，V2有两 个物理覆盖21、22，V3 有两个物理覆盖31、32。
V1，V2，V3 V1
V2 21
12 1221 122132 2132 1122 112231 2231
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时9 分25 秒上午9 时9分 09:09: 2520. 10.7
谢谢大家
精品 PPT 可修改
15
常用数值分析方法 理论与应用
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1
主要内容
1、数值分析方法概述 2、几种常见的数值分析方法 3、几点思考
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2
一、数值分析方法概述
求解方法
精确解
数值方法
实验手段
差 PPT 可修改
3
一、数值分析方法概述
重要性
必要性
由于诸多问题本 身的复杂性—— 非均质、非线性 以及复杂的加荷 条件及边界条件， 精确解已无能为 力。
提高了应力 状态判据的 可靠性，使 其非线性解 不至于出现 漂移
可对具有复 杂分布结构 面的岩体， 进行数模仿 真和为网格 剖分带来方 便
可以实现开 挖过程的模 拟。对于加 固锚件能够 实现几何布 局上的完全 仿真。
➢界面应力 ➢整体作用集 ➢对于岩石工 中于各个界面 程的模拟
界面元法的优点
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11
三、几点思考
精品 PPT 可修改
12
三、几点思考
定量化
介质 问题
自数值分析方 法应用到岩土 工程领域以来 ，岩土工程界 对数值分析的 定量评价结果 也是褒贬不一
岩体的变形主 要不是岩块的 变形，而是较 小岩块的相对 位移，因此要 用碎块体力学 来研究。
边界 问题
所有这些数值 分析方法的在 引入过程中， 都存在一个先 天的不足，就 是边界问题的 解决。
2.数值流形方法(NMM)
所谓“流形”是把许多个别的重叠的区域连接在一起。去 覆盖全部材料体。因此，总体形状可用局部覆盖所定义的函 数来汁算。新的方法有分开的且独立的数学覆盖和物理网格： 数学覆盖只定义近似解的精度；而物理网格，作为实际的材 料边界，定义其积分区域。
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8
二、几种常见的数值分析方法
11、人总是珍惜为得到。20.10.709 :09:2 509:09 Oct-2 07-Oc t-20
12、人乱于心，不宽余请。09:09:2 509:0 9:2509 :09Wednesd ay, October 07, 2020
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。20 .10.7 20.10. 709:0 9:250 9:09:2 5Octo ber 7, 2020
6
二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
单元结点可以分离，即一个单元与其邻近单元可以接触， 也可以分开。 单元之间相互作用的力可以根据力和位移的关 系求出，而个别单元的运动则完全根据该单元所受的不平衡力 和不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确定。
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7
二、几种常见的数值分析方法
11
1131
31
V3
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9
二、几种常见的数值分析方法
3.非连续变形分析(DDA)
DDA是有限单元的广义化
模拟高地应力引起的隧洞坍塌
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10
二、几种常见的数值分析方法
4.界面元法(ISE)
在块体单元 的界面上， 位移可以不 连续 能够较好地 反映岩体变 形特征
➢分片刚体位 移模式
可能性
计算机的迅速发 展，也使数值分 析得到有效而经 济的成果。
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4
一、数值分析方法概述
有限元法
边界元法
数值分析 的主要求 解方法
数值流 形方法
离散元法
界面 元法
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5
二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
处理非连续介质——离散单元法
可行的
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14、抱最大的希望，作最大的努力。 2020 年10月 7日星 期三上 午9时9 分25秒 09:09: 2520. 10.7
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 20年1 0月上 午9时9 分20.1 0.709 :09Oc tober 7, 2020
16、业余生活要有意义，不要越轨。 2020 年10月 7日星 期三9时 9分25 秒09:0 9:257 October 2020
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13
THANK YOU ！
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14
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.1 0.720. 10.7 Wednes day, October 07, 2020
10、低头要有勇气，抬头要有低气。 09:09: 2509: 09:25 09:09 10/7/ 2020 9:09:25 AM
以下两图中，由两个圆和一个矩形(用细线表示)划定三个覆盖：
形成数学网格，粗线
表示材料边界和内部 弧形裂缝。图中V1被 物理网格分成两个物 理覆盖11、12，V2有两 个物理覆盖21、22，V3 有两个物理覆盖31、32。
V1，V2，V3 V1
V2 21
12 1221 122132 2132 1122 112231 2231
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时9 分25 秒上午9 时9分 09:09: 2520. 10.7
谢谢大家
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常用数值分析方法 理论与应用
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1
主要内容
1、数值分析方法概述 2、几种常见的数值分析方法 3、几点思考
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2
一、数值分析方法概述
求解方法
精确解
数值方法
实验手段
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3
一、数值分析方法概述
重要性
必要性
由于诸多问题本 身的复杂性—— 非均质、非线性 以及复杂的加荷 条件及边界条件， 精确解已无能为 力。
提高了应力 状态判据的 可靠性，使 其非线性解 不至于出现 漂移
可对具有复 杂分布结构 面的岩体， 进行数模仿 真和为网格 剖分带来方 便
可以实现开 挖过程的模 拟。对于加 固锚件能够 实现几何布 局上的完全 仿真。
➢界面应力 ➢整体作用集 ➢对于岩石工 中于各个界面 程的模拟
界面元法的优点
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11
三、几点思考
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12
三、几点思考
定量化
介质 问题
自数值分析方 法应用到岩土 工程领域以来 ，岩土工程界 对数值分析的 定量评价结果 也是褒贬不一
岩体的变形主 要不是岩块的 变形，而是较 小岩块的相对 位移，因此要 用碎块体力学 来研究。
边界 问题
所有这些数值 分析方法的在 引入过程中， 都存在一个先 天的不足，就 是边界问题的 解决。
2.数值流形方法(NMM)
所谓“流形”是把许多个别的重叠的区域连接在一起。去 覆盖全部材料体。因此，总体形状可用局部覆盖所定义的函 数来汁算。新的方法有分开的且独立的数学覆盖和物理网格： 数学覆盖只定义近似解的精度；而物理网格，作为实际的材 料边界，定义其积分区域。
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二、几种常见的数值分析方法
11、人总是珍惜为得到。20.10.709 :09:2 509:09 Oct-2 07-Oc t-20
12、人乱于心，不宽余请。09:09:2 509:0 9:2509 :09Wednesd ay, October 07, 2020
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。20 .10.7 20.10. 709:0 9:250 9:09:2 5Octo ber 7, 2020
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二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
单元结点可以分离，即一个单元与其邻近单元可以接触， 也可以分开。 单元之间相互作用的力可以根据力和位移的关 系求出，而个别单元的运动则完全根据该单元所受的不平衡力 和不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确定。
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二、几种常见的数值分析方法
11
1131
31
V3
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二、几种常见的数值分析方法
3.非连续变形分析(DDA)
DDA是有限单元的广义化
模拟高地应力引起的隧洞坍塌
精品 PPT 可修改
10
二、几种常见的数值分析方法
4.界面元法(ISE)
在块体单元 的界面上， 位移可以不 连续 能够较好地 反映岩体变 形特征
➢分片刚体位 移模式
可能性
计算机的迅速发 展，也使数值分 析得到有效而经 济的成果。
精品 PPT 可修改
4
一、数值分析方法概述
有限元法
边界元法
数值分析 的主要求 解方法
数值流 形方法
离散元法
界面 元法
精品 PPT 可修改
5
二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
处理非连续介质——离散单元法
可行的
精品 PPT 可修改
14、抱最大的希望，作最大的努力。 2020 年10月 7日星 期三上 午9时9 分25秒 09:09: 2520. 10.7
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 20年1 0月上 午9时9 分20.1 0.709 :09Oc tober 7, 2020
16、业余生活要有意义，不要越轨。 2020 年10月 7日星 期三9时 9分25 秒09:0 9:257 October 2020
精品 PPT 可修改
13
THANK YOU ！
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14
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.1 0.720. 10.7 Wednes day, October 07, 2020
10、低头要有勇气，抬头要有低气。 09:09: 2509: 09:25 09:09 10/7/ 2020 9:09:25 AM