概率论与数理统计：第六章 数理统计的基本概念

常用统计量
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
样本方差
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本均方差或样本标准差S
常用统计量
样本k阶(原点)矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
样本k阶中心矩
Mk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
次序统计量
设X1,X2, …,Xn是取自总体X的样本，记 x1,x2, …,xn是样本的任一观测值，将它们 按由小到大的顺序重新排列为x(1) x(2) … x(n) 。若X(k)= x(k) ，则称X(1),X(2), …,X(n) 为样本X1,X2, …,Xn的次序统计量。
统计量既然是依赖于样本的，而 后者又是随机变量，故统计量也是随 机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
抽样分布
➢χ2分布 ➢t 分布 ➢F分布
➢χ2分布
定义：设X1,X2, …,Xn独立同分布, 都服 从N(0,1), 则称统计量
χ2=X12+X22+…+Xn2 所服从的分布是自由度为 n 的χ2分布.记 为χ2~χ2(n)
数的属性 样本的二重性
随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为n的 样本。若它满足
(1)独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； (2)同分布性，即每个Xi都与总体X服从相
同的分布.
则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
6.2
统计量
设X1,X2, …,Xn是总体X的样本， g(X1,X2, …,Xn)是样本的实值函数，且不包 含任何未知参数，则称g(X1,X2, …,Xn)为统 计量。 统计量的二重性
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
2. 样本 为推断总体分布及各种特征，按一定 规则从总体中抽取若干个体进行观察试验， 以获得有关总体的信息，这一抽取过程称 为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.
1， x(n) x
为总体X的经验分布函数。
例1：从总体X中抽取容量为3的样本，其 观测值为 （1） 1，2，3 （2）1，1，2 试求X的经验分布函数。
解：将样本观测值由小到大排序得
例1：从总体X中抽取容量为8的样本，其 观测值为
33，45，25，33，35，65，30，27。 试求X的经验分布函数。 解：将样本观测值由小到大排序得
定义: 设X～N(0,1) , Y～χ2(n), 且X与Y相 互独立，则称随机变量
T X Yn
服从自由度为 n的 t 分布.记为T～t(n).
t分布的概率密度函数图形
例3.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,4) 的样本，试问统计量
n 1X1
n
X
2 i
i2
服从什么分布？
➢F分布
定义：设X ~χ2(m)， Y ~χ2(n)， X与Y相互 独立，则称随机变量
Y=[(X1- μ)2+ (X2- μ)2+…+ (Xn- μ)2]/σ2 的概率分布。
解:X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(μ,σ2) 分布，令Yi=(Xi- μ)/σ 则Y1,Y2, …,Yn相互独立且Yi ~N(0,1) ， 由定义知Y= Y12+Y22+…+Yn2 ~χ2(n)
➢t分布
第k个次序统计量 最小次序统计量
最大次序统计量
经验分布函数
设X1,X2, …,Xn是取自总体X的样本，对应 的次序统计量为X(1) X(2) … X(n) ，当给 定次序统计量的观测值x(1) x(2) … x(n)时, 对任意实数x，称函数
0， x< x(1) Fn(x)= k/n， x(k) x<x(k+1) (k=1,2,…,n-1)
概率论：随机变量的概率分布
理 论 基 础
数理统计：分析带有随机影响数据
应用领域：
生
计
教
保
地
物
量Hale Waihona Puke Baidu
育
险
质
统
经
统
统
数
计
济
计
计
学
6.1
一、总体和样本 1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
χ2分布的概率密度函数图形
➢χ2分布
性质1(可加性) Y1 ~χ2(m)， Y2 ~χ2(n)，Y1与Y2独立， 则Y1 +Y2 ~ χ2(m+n)
性质2(数字特征) 若χ2 ~χ2(n)，则 E(χ2)=n，D(χ2)=2n
例2. 设X1,X2, …,Xn是来自正态总体 X~N(μ,σ2)的样本，求随机变量
3
(n 3)
X
2 i
i 1
n
3
X
2 i
i4
服从什么分布？
➢抽样分布的分位点1
设α为给定的常数，且0<α<1.
若存在χα2(n)使
P 2 2 (n)
2 (n) fn (x)dx
其中fn(x)为χ2的概率密度，则称点χα2(n)为
χ2分布关于α的上侧分位点。
➢抽样分布的分位点2
设α为给定的常数，且0<α<1.
25<27<30<33=33<35<45<65 则由定义得经验分布函数为 0，x< 25
1/8， 25 x<27 2/8， 27 x<30 3/8， 30 x<33 Fn(x)= 5/8， 33 x<35 6/8， 35 x<45 7/8， 45 x<65 1， 65 x
3. 抽样分布
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的 一次观察值，简称样本值 .
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量
F=(X/m)/(Y/n) 所服从的分布是自由度为(m,n)的F分布. 记为F~F(m,n)
F分布的概率密度函数图形
➢F分布
性质1 若X~F(m,n)， 则1/X~F(n,m) 性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问统计量