离散时间系统——时域分析方法

反变换
n
x(n)21
X(ej)ejnd
X(ej) x(n)ejn n
在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域 频率。 X(ejω)一般为复数。
但是右边的级数并不总是收敛的，即并不是任何序列 x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当序列x(n)绝对可和
Fra Baidu bibliotek
|x(n)ejn| |x(n)|
2
0
（b）
2
arg[X(e j)]
2
0
2
（c）
图 2.1 RN(n)的幅度与相位曲线
3.实指数序列
x(n )anu (n ) (a为实 ,0a数 1)
其傅里叶变换为
设 a=0.6 |X(e j)|
X(ej) anejn n0
(aej)n
n0
1a1ej
0
2
(a)
arg[X(e j)]
0
2
3.周期性
X(ej(2M ))
x(n)ej(2M )n
x(n)ejnej2M nX(ej)
n
n
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
4.对称性质 设一复序列，如果满足 xe(n)xe*(n)则称序列为共轭对 称序列。 如果满足 xo(n)xo *(n)，则称序列为共轭反对称序列。 比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
一、序列的傅里叶变换的定义
连续时间信号x(t)的傅里叶变换：
X (j )F T [x(t)]x(t)ej td t
而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为
x (t)F 1 [T X (j ) ]1X (j )ej td 2
离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）：
X(ej) x(n)ejn
1 RN(n) 0
0nN1 n为其它
其傅里叶变换为
X(ej) RN(n)ejn
n
N1
ejn
n0
1ejN 1ej
ejN/2(ejN/2ejN/2) ej/2(ej/2ej/2)
ej(N1)/2 sinN/2 sin/2
设N=5，幅度与相位随ω变化曲线
x(n) 1
012 34
n
（a）
|X(e j)|
n
n
式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在 。
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 (n)
其傅里叶变换为
=1
含义是什么
这就是用单 位脉冲响应能够 表征线性时不变 系统的原因。
单位脉冲信
号包含了所有频
率分量，而且这
T[(n)]h(n) 些分量的幅度和 相位都相同。
2.矩形序列
则 F [ a 1 ( T n ) x b 2 ( n ) x a ]1 ( e X j ) b 2 ( e X j )
式中a，b为常数。 2.时移与频移 设 F[T x(n)]X(ej)，则 时移特性 F[x T (n n 0) ]e j n 0X (ej) 频移特性 F[eT j0 n x (n ) ]X (ej( 0))
6.频域卷积定理（复卷积定理）
若 F[T x(n)]X(ej)，F[T y(n)]Y(ej) 则
F[x T (n )y(n ) ]2 1 X (ej)*Y (ej)
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
n
x(n)221X(ej)2d
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
推论
对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。
5.时域卷积定理 若 F[T x(n)]X(ej)，F[T y(n)]Y(ej)
w (n)x(n)y(n) 则
W ( e j ) F [ x ( n ) T y ( n ) ] X ( e j ) Y ( e j )
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则通过Z变换或傅里叶变换实现
本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换
分析信号和系统的频域特性。 ✓ 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 ✓ 2.2 序列的Z变换 ✓ 2.3 系统函数与频率响应
本章学习要点
X (ej) X e(ej) X o (ej)
2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）
D DT T[[F FjR IT Tm xe(xn [([)n]) ]] ]XX e(oe(je)j) D DT T[[F Fxxoe(T T (n n))]] R jIem X[X (e[(jej)])] 若x(n)为实序列，则 X(ej)X*(ej) ReX[(ej)]ReX[(ej)] ImX[(ej)]ImX[(ej)] X(ej) X(ej) argX[(ej)]argX[(ej)]
例2-1 x(n)(0.9)nejn /3，0n10，求离散时间傅里叶变换 并探讨其周期性。
解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定义在 一个2 周期上。因此，可以在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。
n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
xe(n)xe(n) xo(n)xo(n)
1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）
x(n)xe(n)xo(n)
xe(n)12[x(n)x*(n)] xo(n)12[x(n)x*(n)]
类似地，序列的傅里叶变换X(e j )可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。
(b)
离散时间信傅里叶变换的两个特点：
（1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π 区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 F [ x 1 ( n ) T X ] 1 ( e j ) ， F [ x 2 ( n ) T X ] 2 ( e j )
理解离散时间信号的傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform：DTFT）的定义及基本性质
了解序列的Z变换的定义、收敛域及基本性质 掌握系统函数的定义和计算、与差分方程的关系、收敛域
和系统的因果稳定性判别 掌握频率响应的物理意义、计算以及几何确定法
2. 1 序列的傅立叶变换的定义及性质