2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)
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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)
-4-
§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用 待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥������������,n1⊥������������,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向 量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
→ n· ＝0， （x，y，z）· DM （0，2，1）＝0， 则 即 → （1，2，0）＝0， n· ＝0， （x，y，z）· DN 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.
的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
课堂讲练互动
活页限时训练
1 1 → n· ＝0， －2x0－2y0－z0＝0， OD 则 得 n·→ ＝0， －1x ＋1y ＝0. OC1 2 0 2 0 令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)． → 又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， → ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
本题将证明线线平行问题转化为空间向量共线问 题，尤其是引进空间坐标系后使得解题思路更加清晰明了．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【训练 2】 在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， A 求证：B1C∥平面 ODC1. 证明 → → 法一 ∵B1C＝A1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
用向量讨论垂直与平行(2)(北师大版选修2-1)PPT课件
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1(1)
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1.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，
k)，若α⊥β，则k等于D( )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
解析答案
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2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2， 则m等于( D )
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
最新北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
一
二
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
一
二
思考 2 如何利用向量知识判断直线、平面的平行?
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), 依题意,应有 n·������������=0,且 n·������������=0,
即 ������-2������-4������ = 0, 解得 z=0,且 x=2y. 2������-4������-3������ = 0,
探究一
探究二
探究三
利用向量方法证明空间中的平行关系
1.线线平行 设直线 l1,l2 的方向向量分别是 a,b,若要证 l1∥l2,只需证 a∥b,即 a=λb(b≠0). 2.线面平行 (1)设直线 l 的方向向量是 a,平面的法向量是 u,若要证 l∥α,只需证 a⊥u,即 a·u=0. (2)根据线面平行的判定定理. (3)根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内 两个不共线向量线性表示即可. 3.面面平行 (1)根据面面平行的判定定理. (2)若能求出平面 α,β 的法向量 u,v,则要证明 α∥β,只需证明 u∥v 即可.
令 y=1,则 x=2. 故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
点评用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修2_1
重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12； 解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； 解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
题型二 求平面的法向量 例 2 如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是 直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标 系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量. 解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 由题意知A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0,－1). ∵n⊥A→B，n⊥B→C，∴nn··BA→→CB＝＝－x－x＋z＝y0＝，0， 解得xx＝ ＝yz.， 令 x＝1，则 y＝z＝1. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).
北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共 线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面 的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共 线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行 有两个途径：利用面面平行的 判定定理，即证明一个平面内 的两个不共线向量都平行于另 一个平面；证明两个平面的法 向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱 长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，
用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件
22
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平 面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于 是 P A 、 D E 、 D B 共 面
而 PA平 面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
C1 B1
E
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平 面 ADE
A x
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0
高中数学选修2-1北师大版 用向量讨论垂直与平行 课件(40张)
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可
利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问 题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，
对于证 CO2⊥AD ，因为 CO2 是 BC的射影，所以只需证 BC⊥AD. 而
在平面BCD中，AD是平面BCD的斜线，DO1是AD的射影，所以只要证 BC⊥DO1即可，而这是显然成立的．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的射影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)． 同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
§4 用向量讨论垂直与平行
重点：用向量方法证明垂直与平行． 难点：正确建系，准确表示相关向量的坐标.
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α 的法向
量为n，则： 平行 l1与l2 l1与α ________ ________ 垂直 ________ ________
c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直．
②证两平练] 2．直线 l1 的方向向量为 v1＝(1,0，－1)，直线 l2 的方向向量为 v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( A．平行 B．相交 ) C．垂直 D．不能确定
2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一 求空间平面的法向量 【例 1】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0， 由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评 利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量 的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就 可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
推荐-高中数学北师大版选修2-1课件2.4用向量讨论垂直与平行
(2)两直线l1,l2的方向向量分别是a=(5,0,2),b=(0,4,0);
(3)平面 α,β 的法向量分别是 u=(1,-1,2),v=
3,2,-
1 2
;
(4)平面α,β的法向量分别是u=(2,-3,4),v=(4,-2,1);
(5)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(-3,4,2),u=(2,2,-1);
题型一 题型二 题型三 题型四
解∴a:=(1-)∵13ab=, (∴2,3a,∥-1b),,b∴=l1(∥-6l2,-. 9,3), (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
∴a·b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2.
(3)∵u=(1,-1,2),v=
3,2,-
1 2
,
∴u·v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β.
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 根据下列各条件,判断相应的直线与直线、平面 与平面、直线与平面的位置关系:
(1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2); (2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0); (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1,-4,-
∵n⊥������������, 且n⊥������������, ∴ ������·������������ = -������ + ������ = 0, 令x=1,得 y=z=1. ������·������������ = ������-������ = 0.
∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
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2.4《用向量讨论垂直与平行》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1
的一个法向量．
解
∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)，
→
→
∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)，
→
→
依题意，得 n·AB＝0 且 n·AC＝0，即
x－2y－4z＝0，
令
2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
m (
A． 1
)
B．1
C． 2
D．2
由题可知， a b ，则 a b 2 m 0 ，即 m 2 .故选：C
02 新知讲授
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求
解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
注意
在利用以上步骤求解的过程中，方程组 a＝(a1，b有无数组解，利用赋值法
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
§4 用向量讨论垂直与平行
02 新知讲授
m
l
a
b
l // m a // b a b
02 新知讲授
a
u
l
l // a u a u 0
02 新知讲授
u
v
a
→
n·AD＝0 ay＋2z＝0，
由
⇔
(6 分)
3
a
→
n·AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0.
解
∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)，
→
→
∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)，
→
→
依题意，得 n·AB＝0 且 n·AC＝0，即
x－2y－4z＝0，
令
2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
m (
A． 1
)
B．1
C． 2
D．2
由题可知， a b ，则 a b 2 m 0 ，即 m 2 .故选：C
02 新知讲授
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求
解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
注意
在利用以上步骤求解的过程中，方程组 a＝(a1，b有无数组解，利用赋值法
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
§4 用向量讨论垂直与平行
02 新知讲授
m
l
a
b
l // m a // b a b
02 新知讲授
a
u
l
l // a u a u 0
02 新知讲授
u
v
a
→
n·AD＝0 ay＋2z＝0，
由
⇔
(6 分)
3
a
→
n·AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0.
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
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4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
12345
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
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5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
2018-2019学年北师大版选修2-1---第二章4用向量讨论垂直与平行--课件(52张)
④根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组 n·a＝0，
n·b＝0； ⑤ 解方程组 ，取其中 的一个解 ，即得法 向量．由 于一个平面 的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量．
1．(1)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，1，0)，B(0， 2，3)，C(1，1，3)，求出平面 ABC 的一个法向量． (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：D→B1是平面 ACD1 的 一个法向量．
(2)以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、 PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令 PA＝PB＝ PC＝3，则 A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)， G(1， 1， 0)，P(0， 0， 0)， 所以E→F ＝ (0，－ 1，－ 1)， E→G＝ (1，－ 1，－ 1)． 设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)，则有 n⊥E→F，n⊥E→G.
向量法证垂直关系
[方法归纳 ]
(1)证 线线垂直，一般证两直线方向 向量垂直即可 (即证数量积
为零 )． (2)证线面垂直，常用两种方法：一是证直线的方向向量与平
面内两相交直线的方向向量数量积均为零；二是证直线的方向
向量与平面的法向量平行．
(3)证面面垂直，只需证明两平面的法向量垂直即可．
2.(1)已知在空间四边形 OACB 中， OB＝ OC， AB＝ AC，求证： OA⊥ BC. (2)在 正 三 棱 锥 (底 面 是 正 三 角 形 且 侧 棱 相 等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC ＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面 GEF⊥平面 PBC. (3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的 中点．求证：EF⊥平面 B1AC.
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题 再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1， 平行 c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_∥__b__
线面 平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的 法 向 量 为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则 l∥α⇔_a_⊥__u__.
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．空间垂直关系的向量表示
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向 向量为a＝(a1， a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2， b则3)l，⊥m⇔_a_⊥__b_
设直线l的方向 向量是a＝(a1， b1，c1)，平面α 的法向量是u＝ (a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔_a_∥__u_
若平面α的法向 量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法 向量v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔_u_⊥__v__
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[强化拓展]
(1)用向量法证明线线垂直：证明两条直线的方向 向量垂直． (2)用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方 向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它 们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (3)用向量法证明面面垂直： ①转化证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直．
②符号语言：
aα
bα a⊥b
⇒a⊥c
高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行 课件(48张)
-8-
【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一 个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 ������������ = (−1,1,0), ������������ = (1,0, −1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0,
∵n⊥ ������������ , 且n⊥������������ , ∴
������· ������������ = ������-������ = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
-9-
3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平 面垂直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. (3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投 影,则这两条直线垂直.
-13-
2������ , 3
【做一做3-2】 如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等 于 .
-14-
解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |������������ | = ������, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
-10-
(4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之 间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、解答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
3 3
)
(A)EF至多与A1D,AC之一垂直
(B)EF是A1D,AC的公垂线 (C)EF与BD1相交 (D)EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系分析各直线的方向向 量之间的关系. 【解析】选B.建立如图空间直角坐标系.
4.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,4,k),若α ∥β ,则k=( (A)2 (C)4 (B)-4 (D)-2 )
1 a,2a,0).因 2 3 a 为M,N分别为AE,CD1的中点,所以M( a,a,0),N(0,a, ),所以 4 2 a 3 MN=(- a,0, ),取向量 n =(0,1,0),显然 n ⊥平面ADD1A1,又 2 4 MN· n =0,所以MN⊥ n .又因为MN 平面ADD1A1,所以MN∥平面
a 2
-z=nc
1 2
z∈R,n∈R.
∴点P(0, b,z).∴点P在CD的中垂线上.
学习目标达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
=(a-1,-2,b+4)，
∵A,B,C共线,∴AB∥AC,则 答案：3 2
a-1 -2 b+4 ,解得a=3,b=2. = = 1 -1 3
6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC，BP=(x-1,y,-3), 且BP⊥平面ABC,则BP=______. 【解析】∵AB⊥BC,∴AB·BC=0, 即(1,5,-2)·(3,1,z)=3+5-2z=0,则z=4, ∴BC=(3,1,4),
(D)(-a,-b)
b x y 【解析】选B.直线 + =1 可化为y=- x+b, a a b b ∴斜率k=. a
【解析】选C.①正确;②不正确, n1∥ n 2 ;③正确,n ⊥ a ;④正确.
3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上, 且A1E= 2 A1D,AF= 1 AC,则(
【解析】选C.∵α∥β,∴法向量互相平行,
∴ -2 = -4 = k ,
∴k=4.
1 2 -2
二、填空题（每题4分，共8分） 5.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,
那么a=_______,b=________.
【解题提示】由向量共线列式求解. 【解析】AB=(2,4,1)-(1,5,-2) =(1,-1,3)， AC=(a,3,b+2)-(1,5,-2)
【解析】(1)以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角
坐标系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
a ,b,0),P(0,y,z). 2
∴DB=(a,b,0),DD1=(0,0,c),PM=( ,b-y,-z). ∵PM∥平面BDD1B1,根据空间向量基本定理,必存在实数对 (m,n),使得PM=mDB+nDD1, 即( ∴
a ,b-y,-z)=m(a,b,0)+n(0,0,c), 2 1 a =ma m= 2 2 b-y=mb, 得 y= 1 b 2
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
9.(10分)已知M为长方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在 长方体ABCD—A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探 讨点P的确切位置. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=b,AD=a,AA1=c,可得如下各点的坐标:
D(0,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),M(