数学建模概率基础
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（1）若事件 A1 , A2 ,? , An 互不相容且 P( Ai ) ? 0(i ? 1,2,? , n) ，
n
? 则对任一事件 B ? Ai 有 i ?1 n ? P (B) ? P ( Ai )P (B Ai ) i?1
---全概率公式 。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
随机变量： 用数值表示的随机事件的函数。
分布函数： 设 ? 为一随机变量，对任意的实数 x 有函数 F ( x) ? P (?? ? ? ? x) ? P (? ? x)
称为随机变量 ? 的分布函数。
对任意两个实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ，则有
? 随机事件:将随机试验的结果称为随机事件。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
概率： 刻画事件发生可能性大小的数量指标。
事件 A的概率记为 P ( A) .
条件概率： 在“事件 B 发生”条件下事件 A发生的概率，记
为 P ( AB) 。若 P(B) ? 0 ，则有 P( AB) ? P (AB) . P (B)
第一次说谎后：由贝叶斯公式
P ( B A) ?
P (B)P (A B)
? 0 . 444 .
P (B)P (A B) ? P (B)P (A B)
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
第二次说谎后： P ( B ) ? 0.444 , P ( B ) ? 0.556 .
则对任意事件
B?
n
?
Ai 有
i ?1
P ( Ai B) ?
P ( Ai )P (B Ai )
n
? P ( Ai )P(B Ai )
i?1
(i ? 1,2,? , n)
---贝叶斯公式 。
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一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
问题提出：伊索寓言“狼来了”用数学模型给出合理解 释 问题假设： 假设初始印象对小孩可信的概率是0.8，
P ( x1 ? ? ? x2 ) ? F ( x2 ) ? F (x1 )
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
如果随机变量 ? 所有取值有限个或可列无穷个数
值，则这种随机变量为 离散型随机变量 。其它的称为非 离散型的随机变量，最常见的非离散随机变量为 连续型 的随机变量。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
全概率公式的应用 ——敏感性问题分析
调查结果：答卷有“是”“否”两个结果. 共收到n张答卷，其中k张结果“是”.
问题求解：
P(是) ? P(红)P(是红) ? P(白)P(是白) ? ? ?p ?（1? ?）1 ? k
2n
?
p
?
k
n
?
0.5(1?
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概3.率统与计条概件率概与率几何概率
概率的计算公式一
统计概率： 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发
生了 m 次，则事件 A 发生的概率定义为
P ( A) ?
A出现的次数 试验的总次数
?m n
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概3.率统与计条概件率概与率几何概率
如果? 为离散型随机变量所，有的取值为xk,k ? 1,2,? ， 则称P(? ? xk) ? pk,k ? 1,2,? 为随机变量? 的分布列，其
相应的分布函数为
? F(x) ? pk 。 xk ? x
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
如果 ? 为连续型随机变量，则分布函数定义为
可信的小孩说谎的可能性0.1 ， 不可信的小孩说谎的可能性0.5.
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
问题分析：令 A ? {小孩说谎 }， B ? {小孩可信 }.
由假设知 P ( A B ) ? 0.1, P ( A B ) ? 0 .5. 初始印象： P ( B ) ? 0 .8, P ( B ) ? 0.2.
P (B A) ?
P (B)P (A B)
? 0 . 138 .
P (B)P (A B) ? P (B)P (A B)
第三次说谎后：小孩的可信度 0.8 ? 0.444 ? 0.138 .不去！
应用：银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.
应用：医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.
?
?Biblioteka Baidu
)
.
注：若在一次调查中，袋中红球30个，白球20个，∏=0.6， 共收到1583张有效答卷，其中389张回答是可得p=7.62% ，这 表明约有7.62% 的学生看过黄色书刊或黄色录像。
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一 .事件与概率
2.概率与条件概率
（2）若事件 A1 , A2 ,? , An 互不相容且 P ( Ai ) ? 0(i ? 1,2,? , n) ，
数学建模课程
概率统计模型的概率基础
新乡学院
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2020年4月21日
第一部分 概率模型
一、 事件与概率； 二、 随机变量的期望、方差； 三、 常用的概率分布及应用
一 .事件与概率
1. 随机试验与事件
? 试验:对自然现象进行一次观察或一次科学试验。 ? 随机试验:如果试验可以在相同条件下重复进行多 次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知 道所有可能出现的结果。则称为一个随机试验。
概率的计算公式二
几何概率：假设区域 ? 以及其中任一个可能出现的
子区域 A(? ? ) 都是可以度量的，其大小分别为
? (? ) 和 ? ( A) ，则事件 A 发生的概率为
P ( A) ?
? ( A) ? (? )
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
有关概率和条件概率的两大重要公式：
全概率公式的应用 ——敏感性问题分析
问题提出： 给出合理的方法估计学生中阅读黄色 书刊和观看黄色录像的比率 p.
操作方法： 两个问题 A.生日是否在7.1前 B.是否看过黄色录像
问题假设 ：（1）被调查者无人情况下回答问题 （2）通过抽球模型选择问题，白 →A 红→B （红白球比例 ? : (1 ? ? ) ）
n
? 则对任一事件 B ? Ai 有 i ?1 n ? P (B) ? P ( Ai )P (B Ai ) i?1
---全概率公式 。
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一 .事件与概率
2.概率与条件概率
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
随机变量： 用数值表示的随机事件的函数。
分布函数： 设 ? 为一随机变量，对任意的实数 x 有函数 F ( x) ? P (?? ? ? ? x) ? P (? ? x)
称为随机变量 ? 的分布函数。
对任意两个实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ，则有
? 随机事件:将随机试验的结果称为随机事件。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
概率： 刻画事件发生可能性大小的数量指标。
事件 A的概率记为 P ( A) .
条件概率： 在“事件 B 发生”条件下事件 A发生的概率，记
为 P ( AB) 。若 P(B) ? 0 ，则有 P( AB) ? P (AB) . P (B)
第一次说谎后：由贝叶斯公式
P ( B A) ?
P (B)P (A B)
? 0 . 444 .
P (B)P (A B) ? P (B)P (A B)
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一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
第二次说谎后： P ( B ) ? 0.444 , P ( B ) ? 0.556 .
则对任意事件
B?
n
?
Ai 有
i ?1
P ( Ai B) ?
P ( Ai )P (B Ai )
n
? P ( Ai )P(B Ai )
i?1
(i ? 1,2,? , n)
---贝叶斯公式 。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
问题提出：伊索寓言“狼来了”用数学模型给出合理解 释 问题假设： 假设初始印象对小孩可信的概率是0.8，
P ( x1 ? ? ? x2 ) ? F ( x2 ) ? F (x1 )
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
如果随机变量 ? 所有取值有限个或可列无穷个数
值，则这种随机变量为 离散型随机变量 。其它的称为非 离散型的随机变量，最常见的非离散随机变量为 连续型 的随机变量。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
全概率公式的应用 ——敏感性问题分析
调查结果：答卷有“是”“否”两个结果. 共收到n张答卷，其中k张结果“是”.
问题求解：
P(是) ? P(红)P(是红) ? P(白)P(是白) ? ? ?p ?（1? ?）1 ? k
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?
p
?
k
n
?
0.5(1?
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一 .事件与概率
2.概3.率统与计条概件率概与率几何概率
概率的计算公式一
统计概率： 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发
生了 m 次，则事件 A 发生的概率定义为
P ( A) ?
A出现的次数 试验的总次数
?m n
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概3.率统与计条概件率概与率几何概率
如果? 为离散型随机变量所，有的取值为xk,k ? 1,2,? ， 则称P(? ? xk) ? pk,k ? 1,2,? 为随机变量? 的分布列，其
相应的分布函数为
? F(x) ? pk 。 xk ? x
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2020年4月21日
二 .随机变量的期望、方差
1.一维随机变量与分布函数
如果 ? 为连续型随机变量，则分布函数定义为
可信的小孩说谎的可能性0.1 ， 不可信的小孩说谎的可能性0.5.
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
贝叶斯公式的应用 ——可信度问题分析
问题分析：令 A ? {小孩说谎 }， B ? {小孩可信 }.
由假设知 P ( A B ) ? 0.1, P ( A B ) ? 0 .5. 初始印象： P ( B ) ? 0 .8, P ( B ) ? 0.2.
P (B A) ?
P (B)P (A B)
? 0 . 138 .
P (B)P (A B) ? P (B)P (A B)
第三次说谎后：小孩的可信度 0.8 ? 0.444 ? 0.138 .不去！
应用：银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.
应用：医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.
?
?Biblioteka Baidu
)
.
注：若在一次调查中，袋中红球30个，白球20个，∏=0.6， 共收到1583张有效答卷，其中389张回答是可得p=7.62% ，这 表明约有7.62% 的学生看过黄色书刊或黄色录像。
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
（2）若事件 A1 , A2 ,? , An 互不相容且 P ( Ai ) ? 0(i ? 1,2,? , n) ，
数学建模课程
概率统计模型的概率基础
新乡学院
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2020年4月21日
第一部分 概率模型
一、 事件与概率； 二、 随机变量的期望、方差； 三、 常用的概率分布及应用
一 .事件与概率
1. 随机试验与事件
? 试验:对自然现象进行一次观察或一次科学试验。 ? 随机试验:如果试验可以在相同条件下重复进行多 次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知 道所有可能出现的结果。则称为一个随机试验。
概率的计算公式二
几何概率：假设区域 ? 以及其中任一个可能出现的
子区域 A(? ? ) 都是可以度量的，其大小分别为
? (? ) 和 ? ( A) ，则事件 A 发生的概率为
P ( A) ?
? ( A) ? (? )
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2020年4月21日
一 .事件与概率
2.概率与条件概率
有关概率和条件概率的两大重要公式：
全概率公式的应用 ——敏感性问题分析
问题提出： 给出合理的方法估计学生中阅读黄色 书刊和观看黄色录像的比率 p.
操作方法： 两个问题 A.生日是否在7.1前 B.是否看过黄色录像
问题假设 ：（1）被调查者无人情况下回答问题 （2）通过抽球模型选择问题，白 →A 红→B （红白球比例 ? : (1 ? ? ) ）