电力平方反比律的精确验证及 恒定电流

1mA 10 3 A; 1A 10 6 A
2013/3/18
dI jdS
电流密度矢量 j
单位时间内通过垂直于电流方 向的单位面积的电量
q
I dI
j lim
lim
S 0 tS S 0 S dS
通 过 导 体 中 任 意 截 面 S 的 电 流 强度与电流密度矢量的关系为
源自文库
I j cosdS j dS
由推论：若 0，带电导体球壳内表面应带电
与装置相联系，设函数
带电导 体壳A
0 Q内 （Q总, , a, b） 0，
(a是A壳的半径）
或，V 'B（V , , a,b） 0
(b是B壳的半径）
如何确定函数？
导体内表 面B
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Maxwell作的理论分析
首先计算半径为c 的均匀带电球壳的电势分布
0, r r2 c d, 内，d c
0, 上，d c
VP
2 0
r1 c
d r2
f '(r)drd
2
c d
[
f
(r1)
f
(r2 )]
(1)
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VP
2 0
r1 c
d r2
f '(r)drd
, r r1 c d
d c, 外，d c
2
c d
[
f
(r1
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求 0且内外球壳连通时，内壳上电量与 、充电 电势V以及内外半径a 、b的定量关系
由实验步骤1：合C，A 与B相连，充电VA=VB=V；
由（5）=（6）=V，消去得内壳B上所带电量
2Vb [
f
b[ f (2a) (2a) f (0)][ f
f (0)] a[ f (a b) f (a b)] (2b) f (0)] [ f (a b) f (a b)]2
19世纪中叶，开尔文发现Cavendish的手稿 中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确 比值，才注意到这些手稿的价值，经他催 促，才于1879年由Maxwell整理发表。
他的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。
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Maxwell介绍
“这些关于数学和电学实验的手稿近20捆， 其中“物体上电荷（分布）”的实验， Cavendish早就写好了详细的叙述，并且费 了很大气力书写得十分工整（就象要拿出 去发表的样子），而且所有这些工作在 1773年以前就已完成，但Cavendish（并不 急于发表）仍是兢兢业业地继续做电学实 验 ， 直 到 1810 年 去 世 时 ， 手 稿 仍 在 他 身 边。”
V
1
a b
(a
b)[1
ln(a b)] (a b)[1
2a[1 ln a]
ln(a
b)]
展开、计算得
V 'B
1 V
2
ln
4a2 a2 b2
a b
ln
a a
b b
(11)
这是Maxwell结合他的实验装置和实验步骤导出的
理论公式,代入当时实验时V 、a 、b数据，实验结
果表为
V 'B 0.1478V d (12)
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一百年以后的 Maxwell实验
Maxwell在Cawendish实验室重 新做了测量电力的示零实验
他改进了实验装置
导体球壳A、B，之间用绝缘的硬 橡胶环固定
A球固定在绝缘支架上 利用C，使之可相连或分开 M用来估计外壳上的原始电荷
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M：小的黄 铜球，放在 了离外壳相 当远的绝缘 支架上
Q内（Q总, , a, b） 0
找出此函数关系（理论），比较Q内与
Q总（实验），便可确定的下限。
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证明：若 0，则均匀带电球面对内部任
意点电荷作用力不为零 设f r n，若n 2 0
Q受dS1及dS2的作用力
对于一对面电荷，电荷Q 将受
到两个面元的合力
dF
dS1Q
r1n
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确定 的下限
静电计指示偏转为 D=V/486
将D 与d 相比较，估计得D>300d
比较后得
d D V V
d 1
300 300 486 145800
V 145800
d
1
1
0.1478V 0.1478145800 21600
1879年Maxwell 5105
V 'B 0.1478V d
f '(r) r
(r)dr r
r
r 2 dr 1
r
1
r 1
r
r
1
f (r)
f '(r)dr
r
1
dr
r 1
1 2
f
(0)
f (r)
f
(0)
r 1
1 2
1
r
2
e ln r
做级数展开
r
1
2
(1
ln
r
1 (
2!
ln
r)2
r(1
ln
r)(10)
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代入（9）
V
'B
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Vp
0
2 0
f '(r)c2 sindd
r
面元
对r2两边求导: rdr cd sind
r1 rdr
s in d
r2 cd 0
Vp
2 0
r1 c
d r2
f '(r)drd
, r r1 c d
r2 c2 d 2 2cd cos
d c, 外，d c
由(r)
1 r 2
f '(r) r
(r)dr
f (r)与有关
r
当 0时，内球壳表面电荷不为零
（7）
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按实验步骤2：撤C，A与B 分开，A接地放电，留原处
计算此时内球壳B的电势
A球接地放电，则A球上电势VA=VV’A =0
又因留原处并保持接地——A表面有感应电荷
’，于是由（5）式=0解得
？
其中d为静电计观察不到任何效应时的最大零点漂移值
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确定静电计的灵敏度
给予静电计零点漂移d以定量结果
d取决于仪器的灵敏度
当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的 标准仪器，定量确定d有困难
Maxwell巧妙地将d与充电电势V 相比较给
出d:V的下限，再由（12）式确定 的下限
方法：因V太大，经反复感应，使之缩小为 V/486
1936年Plimpton等 2109
1971年William 等 (2.7 3.1) 1016
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小结
测量方法构思巧妙 示零实验——假定有，证实没有 理论分析用到了静电学中许多知识，如：
导体的静电平衡、电势计算 利用数学工具来避免复杂计算
要从前辈大师的杰出工作中领悟物理学的研究方 法，通过对他们提出问题、研究问题、设计实验 来证实自己的猜测与判断最后得出结论的了解而 得到启迪。
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设、Q同 号
0 n 2, 0, d F指向dS2,, 合力 0，指向O点 n 2, 0, d F指向dS1,, 合力 0，背向O点
设、Q异 号
0 n 2, 0, d F指向dS1,, 合力 0，背向O点 n 2, 0, d F指向dS2,, 合力 0，指向O点
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恒定电流场 p251/p71
电流：电荷的定向运动形成电流
电流强度：单位时间内通过导体任一 横截面的电量
单位：
q dq I lim
t 0 t dt
安培，简称安，用A表示
较 小 的 电 流 强 度 单 位 即 毫 安 （ mA ） 、 微 安 （μA），它们与安培的换算关系是
电荷在球壳内任一点处（除球 心外）都受到电场力；
结论：若 0 ，均匀带电球壳 在球内各处场强不严格为零 （球心除外）
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推论：若 0，带电导体球壳内 表面应带电
0时，若内表面无电荷 分布，（只分布在外表 面），使导体中自由电子 因受力或趋向球心运动， 或背离球心而移动，最终 使电荷分布满足导体内场 强处处为零的条件——内 表面有电荷分布
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实验方法
用一根导线将内外球联在一起，外球 壳带电后，取走导线，打开外球壳
用木髓球验电器试验内球是否带电。 结论：木髓球验电器没有指示，证明
内球没有带电，指数 0.02
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Cavendish对静电计的灵敏度检测
设原先加在两个金属半球上的电荷量为Q
将Q/60的电荷直接加到球形金属电容器上， 发现用静电计仍能检测出来
外壳上， c=a,d=a
内壳外，
c=b，d=a
VA
2a2
[
f
(2a)
f
(0)]
[ 2ab
f
(a
b)
f
(a b)]
(5)
VB
2b2
[
f
(2b)
f
(0)]
[
2ab
f
(a
b)
f
(a
b)]
(6)
内壳上，c=b
外壳内,c=a,d=b
以上是 0时两个不连通的同心球壳的内外
电势表达式 ，将此结果用于实验
第七讲
讲座一： 电力平方反比律的精确验证 恒定电流、电流连续性方程 欧姆定律、电动势 对应录像13、14
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讲座一
电力平方反比律的精确验证
——Cavendish-Maxwell
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Cavendish(1731-1810)实验想法：
设 f r 2，若 0
则均匀带电导体球壳内表面将带电
S
dt
t
电流线连续性地穿过闭合曲面所包围的体积，不 能在任何地方中断，永远是闭合曲线。
恒定电场：与恒定电流相联系的场
s
s
dI j dS
电流密度矢量j 的分布构成一个矢量场——电流场
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电流的连续性方程
根据电荷守恒，对于任意闭合面，有
j
的 通 量
V
S
(
j
dS
dq
d
dt dt
j )dV
t
dV
dV
j
t
面内电量的减少
任恒何定一条点件电流密度j 的 dS散 度0等d于q 该0点o电r 荷体 j密 0度, 的减 少0
dS2Q
r2n
dF
Qd cos
(
1 r n2
1
1 r n2
2
)
d
dS1 cos
r12
dS2 cos
r22
若n 2,
Q不在球心
0 dF指向dS2
若n 2, 0 dF 0 若n 2, 0 dF指向dS1
对于整个球壳，可将其分成一对对相应的面元，电
荷Q 将受到的合力指向O（n> 2) 或背向球心O (n < 2)
)
f (r2 )]
(1) 0,
r r2 c d, 内，d c 0, 上，d c
2cd
[
f
(c
d)
f
(d
c)],
P在球外
2a
2
[
f
(2c)
f
(0)]，
P在球上
（2）外 （3）上
2cd
[
f
(c
d)
f
(c
d )]，P在球内
（4）内
4c2为球面总电量
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计算两均匀带电同心球壳 内外球面的电势
V 'B 0.1478V d (12)
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将球A充电到电势V、带电 量Q(Q>0),小球接地，因感 应，小球带电－Q/54
撤去小球地线，保持其电 量，再将大球接地，达到 平衡后大球因受小球感应 带正电，电量为小球的1/9
撤去大球地线，保持其电量， 再将小球移去——单独的大球 的电势和电量从最初的Q、V 减少为最终的值（如图所标）
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带电导 体壳
导体内表面
装置： 1773年
他是这样描述他的装置的： “我取一个直径为12.1英 寸的球，用一根实心的玻 璃棒穿过中心当作轴，并 覆盖以封蜡。……然后把 这个球封在两个中空的半 球中间，半球直径为13.3 英寸，1/20英寸厚。…… 然后，我用一根导线将莱 顿瓶的正极接到半球，使 半球带电。”
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实验操作如下（三步）
1.合C，A 与B相连，充电VA=VB=V 2.撤C，A与B分开，A接地放电，留原处。
若 0 Q（B 即） 0 感应使Q'A（即 '） 0
0、' 0 V 'B 0 只要得到 VB（' V , ,a,b）的表达式即可证实 0
3.探测V’B，比较V’B与V的大小，确定的下限
设f r 2（ 0）
c2 sindd
VP
dV
球面
Edr
r
球面
球面
dq r r 2
dr,
2 (r)c2 sindddr 00 r
(r)
1 r 2
2 f '(r)c2 sindd 00 r
定义f '(r) r
(r)dr
r
由于 0 ，积分不好算，定义函数是为了算出积分
' b [ f (a b) f (a b)](8)
a f (2a) f (0)
将’ 、 代入（6）
得内球壳电势
V
'B
V
[1
a b
f (a b) f (a b)](9) f (2a) f (0)
内球壳电势不为零,这是电力平方反比律有偏差造成的
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计算 f (r) f (0)
假设电斥力与距离平方反比方次与2有微小差 别，若=1/50=0.02，则算出球形电容器上 电荷与两半球上电荷的比值为1/57
由此判断，因为 不为零，应该可以通过静 电计检出
实际没有检到，表明不大于1/50=0.02
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<0.02
Cavendish其人
Cavendish的同心球实验结果和他自己的许 多看法没有公开发表。