高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 第8课时 圆锥曲线的综合问题 文 北师大版

1．(2016·沈阳模拟)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右
支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )
A.－
315，
15 3
C.－ 315，0
B.0，
15 3
D.－ 315，－1
解析：由yx＝2－kyx2＋＝26，， 得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝ x1＋x2＋p＝si2np2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
审题视点 (1)利用离心率公式直接求解；(2)求直线AB的方 程，利用原点到直线AB的距离判断直线与圆的位置关系．
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2， 从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝ 2.
故椭圆C的离心率e＝ac＝ 22.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以 O→A ·O→B ＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－ 2xy00. 当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝± 2， 故直线AB的方程为x＝± 2，圆心O到直线AB的距离d＝ 2. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
所在直线的斜率k＝yp0.
[基础自测]
1．(教材改编题)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的位置关
系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而(1,1)
点在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．(2016·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲
解析：直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1联立，消去y得：(1＋ 4m2)x2＋8mx＋3＝0.
又因为其Δ＝(8m)2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得：m2＝
3 4.
答案：34
5．抛物线y2＝4x被直线y＝2x＋k截得的弦长为3 5，则k值为 ________．
解析：直线方程与抛物线方程联立，消去y得：4x2－4(1－k)x ＋k2＝0，
3 3
C.－
33，
3 3
B．(－ 3， 3) D．[－ 3， 3]
解析：由1x22 －y42＝1 可得双曲线的渐近线方程为 y＝± 33x，过 点 F 分别作两条渐近线的平行线 l1 和 l2，由图形得知，符合题意 的直线斜率的取值范围为
－ 33， 33.故选 C.
答案：C
4．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2 ＝________.
所以x1＋x2＝1－k，x1x2＝k42.
依题意得：3 5＝ 1＋22|x1－x2|， 即9＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(1－k)2－k2， 解得：k＝－4. 答案：－4
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] (2014·高考北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA ⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结 论．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与 圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 ．
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点 所得的线段)，线段的长就是弦长．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝yx00－－2t (x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝
|2x0－ty0| y0－22＋x0－t2
又x20＋2y20＝4，t＝－2xy00，故
d＝
x202＋x0y＋20＋2xy40x20y2020＋4＝
4＋x20 x40＋x80x20＋16＝ 2.
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－
b2y2 b2
＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的
斜率k＝
b2x0 a2y0
；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第 8 课时 圆锥曲线的综合问题
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．掌握与圆锥曲线有关的最值、定值(点)、参数范围等问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥 曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋ bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 相离 ；
2x20
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消 去 x(或 y)，得到关于 y(或 x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则 所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线， 则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程 才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
线只有一个公共点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个公共点． 答案：A
3．已知双曲线
x2 12
－
y2 4
＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
()
A.－
33，