离散数学第四章ppt
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离散数学第四章第5讲课件.ppt
以上所给的盖住集定义是立足于集合运算的观点,应用此 等价定义判定偏序关系的盖住集, 不仅有条理, 而且步骤清 晰。
可从以下几步求盖住集:
(1)计算R1 = R - IA
(2)将R1 与其自身复合,得集合R2 ,即 R2 =R1 o R1
(3)计算集合R1 和R2 的差,则盖住集为:COV A =R1 - R2
R2 =R1 o R1 = { < 2 , 8 >} COV A = R1 –R2 = {<2，4><2，6><3，6><4，8>}
例 设集合A = { a , b , c , d , e} , R 是A 上的偏序关系。
R = { < a , a > < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , b > < b , c> < b , e > < c , c > <c , e > < d , d > < d , e > < e , e >} ,求 盖住集COV A。
24
36
12 子集B
极大元
{2,3,6,12,24, 24，36
36}
6
{6,12}
12
极小元
2，3
6
最大元 最小元
无
无
12
6
{2,3,6}
6
2
3
{6}
6
2，3
6
无66来自61讨论定义：
(1) yB ，B的极大元，极小元，最大元，最小元，若有 的话，必定在B中。
可从以下几步求盖住集:
(1)计算R1 = R - IA
(2)将R1 与其自身复合,得集合R2 ,即 R2 =R1 o R1
(3)计算集合R1 和R2 的差,则盖住集为:COV A =R1 - R2
R2 =R1 o R1 = { < 2 , 8 >} COV A = R1 –R2 = {<2，4><2，6><3，6><4，8>}
例 设集合A = { a , b , c , d , e} , R 是A 上的偏序关系。
R = { < a , a > < a , b > < a , c > < a , d >< a , e > < b , b > < b , c> < b , e > < c , c > <c , e > < d , d > < d , e > < e , e >} ,求 盖住集COV A。
24
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12 子集B
极大元
{2,3,6,12,24, 24，36
36}
6
{6,12}
12
极小元
2，3
6
最大元 最小元
无
无
12
6
{2,3,6}
6
2
3
{6}
6
2，3
6
无66来自61讨论定义：
(1) yB ，B的极大元，极小元，最大元，最小元，若有 的话，必定在B中。
离散数学课件-第4章-5
M R3 M R 2 M R
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
M t ( R ) M R M R 2 M R3
二、有向图的路径
使用有向图表示关系有助于构造关系的传递闭包 。为此引入 一些需要用到的术语。
通过沿有向图的边(按照这条边的箭头指示的相同方向)移动有 向图就得到一条有向图中的路径。
定义1：在有向图G中从a到b的一条路径是G中一条或多条
边的序列(x0,x1),(x1, x2),(x2, x3),„,(xn-1, xn),其中 x0=a, xn=b. 即一个边的序列，其中一天的终点和路径中下一条边 的起点相同。这条路径记为x0, x1,„, xn-1, xn,长度为n 。在同一定点开始和结束的路径叫做回路或圈。 注：有向图的一条路径可以多次通过一个顶点。此外，有 向图的一条边也可以多次出现在一条路径中。
定理1：设R是集合A上的关系。从a到b存在一条长为1的路径， 当且仅当（a，b）∈Rn。 Proof： 使用数学归纳法证明。 根据定义，从a到b存在一条长为1的路径，当且仅当 （a，b）∈R。因此当n=1时定理为真。
假定对于正整数n定理为真，这是归纳假设。从a到b存 在一条长为n+1的路径，当且仅当存在元素c ∈A使得从a 到c存在一条长为1的路径，即(a,c) ∈R,以及一条从c到b
由引理1，我们看出R的传递闭包是R,R2,R3,…,Rn的并。这是 由于在R*的两个顶点之间存在一条路径，当且仅当对某个正整 数i（i ≤ n）在Ri的这些顶点之间存在一条路径。因为
R*=R ∪R2 ∪R3 ∪… ∪Rn
并且表示关系的并的0-1矩阵式这些关系的0-1矩阵的联合。 因此传递闭包的0-1矩阵是R的0-1矩阵的前n次幂的0-1矩阵 的联合。
离散数学四省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
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实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
离散数学 第四章平面图与图【完全免费,强烈推荐】.ppt
定理4.6.6
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
离散数学教学PPT第四章
再往后，平方数在自然数中所占的比例越来越小；
但是从另一个角度看，每一个自然数都对应着一个平 方数；
所以，自然数和平方数是一样多的， 这 “一一对应” 的 规则也就是判断集合是否一样大的标准。
8
任何一个有限集合不能与其真子集等势。 另一种有限集、无限集的定义方法； 定义：如果存在一一对应的f: S→S，使得f(S)⊂S，
证明：必要条件已经在前面证明，下面证明其充分 条件。
反证法：
鸽洞原理
设一集合M含有与其等势的真子集M’，若M’为有限集， 设其元素个数为n，即|M|=n，则此时必有n>m；
但此时M与M’间由于元素个数不同而无法建立一一对应 的关系而产生矛盾。
17
有限集和无限集的重要定义 定义4.5 一集合存在与其等势的真子集，则称为无 限集，否则称为有限集。
“全体正整数的集合和全体有 理数的集合等势”是在数学上 很重要的一个例子，说明一个 实数中的稠密集可以和一个离 散集等势（稠密：在任意两个 元素之间存在第三个元素）
22
因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：
... -3/1 -2/1 --1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 ... ... -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 ... ... -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 ...
任意一个小于1 的非负小数，取其二进制形式，比如 0.1101001， 如果将小数点后第 i 位对应的 0/1 看成是自然数 i 在某个集合中的 无/有，那么0.1101001就对应自然数的一个子集 {1, 2, 4, 7}；
所以，任一个小数可以对应一个自然数的子集，当然，自然数的 一个子集，也可以很容易写出一个小数： [0,1) 之间的小数与自然 数 N 的所有子集的一一对应关系；
但是从另一个角度看，每一个自然数都对应着一个平 方数；
所以，自然数和平方数是一样多的， 这 “一一对应” 的 规则也就是判断集合是否一样大的标准。
8
任何一个有限集合不能与其真子集等势。 另一种有限集、无限集的定义方法； 定义：如果存在一一对应的f: S→S，使得f(S)⊂S，
证明：必要条件已经在前面证明，下面证明其充分 条件。
反证法：
鸽洞原理
设一集合M含有与其等势的真子集M’，若M’为有限集， 设其元素个数为n，即|M|=n，则此时必有n>m；
但此时M与M’间由于元素个数不同而无法建立一一对应 的关系而产生矛盾。
17
有限集和无限集的重要定义 定义4.5 一集合存在与其等势的真子集，则称为无 限集，否则称为有限集。
“全体正整数的集合和全体有 理数的集合等势”是在数学上 很重要的一个例子，说明一个 实数中的稠密集可以和一个离 散集等势（稠密：在任意两个 元素之间存在第三个元素）
22
因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：
... -3/1 -2/1 --1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 ... ... -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 ... ... -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 ...
任意一个小于1 的非负小数，取其二进制形式，比如 0.1101001， 如果将小数点后第 i 位对应的 0/1 看成是自然数 i 在某个集合中的 无/有，那么0.1101001就对应自然数的一个子集 {1, 2, 4, 7}；
所以，任一个小数可以对应一个自然数的子集，当然，自然数的 一个子集，也可以很容易写出一个小数： [0,1) 之间的小数与自然 数 N 的所有子集的一一对应关系；
离散数学第四章第3讲课件.ppt
R S { x, z | x X z Z y( y Y x, y R y, z S)}
例：设A={1,2,3,4,5}，R,S均为A→A的关系，且 R={<1,2><3,4><2,2>} S={<4,2><2,5><3,1><1,3>}
则 R◦S={<1,5> <3,2> <2,5>} S◦R={<4,2> <3,2> <1,4>}
n
cij k1(aik bkj )
例：设X={1,2,3},R,S均是X中的二元关系， R={<1,2><3,1><2,2>}, S={<1,2><2,3><3,1><1,3>}
0 10
MR=
0 10
1 00
0 11
MS=
0 01
1 00
MR○S=
0 01 0 01 0 11
（0 Λ0）∨ （1 Λ0）∨ （0 Λ1） =0
证明：按定义证：（1）设 R' R I x ，则R’是自反的，
(2)R' R （3）设有任一包含R的二元关系R’’也是自反的，即
R' ' I x R' ' R
则 R' ' (R I x ) R' ' R'
R' R Ix
例：设X={a,b,c},R={<a,b><b,c><c,a>}，求r(R)
对于任一 a,b R b, a R a,b R~ R R
例：设A={1,2,3,4,5}，R,S均为A→A的关系，且 R={<1,2><3,4><2,2>} S={<4,2><2,5><3,1><1,3>}
则 R◦S={<1,5> <3,2> <2,5>} S◦R={<4,2> <3,2> <1,4>}
n
cij k1(aik bkj )
例：设X={1,2,3},R,S均是X中的二元关系， R={<1,2><3,1><2,2>}, S={<1,2><2,3><3,1><1,3>}
0 10
MR=
0 10
1 00
0 11
MS=
0 01
1 00
MR○S=
0 01 0 01 0 11
（0 Λ0）∨ （1 Λ0）∨ （0 Λ1） =0
证明：按定义证：（1）设 R' R I x ，则R’是自反的，
(2)R' R （3）设有任一包含R的二元关系R’’也是自反的，即
R' ' I x R' ' R
则 R' ' (R I x ) R' ' R'
R' R Ix
例：设X={a,b,c},R={<a,b><b,c><c,a>}，求r(R)
对于任一 a,b R b, a R a,b R~ R R
离散数学第四章课件
8
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
11
A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
22
关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
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A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
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关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学第四章课件ppt
例1 设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}和S＝{<x，y>|x、 y∈N∧y＝x＋1}是N上的关系，求R-1、R*S、S*R。
解 R-1＝{<y，x>|x、y∈N∧y＝x2}
R*S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2＋1}
S*R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝(x＋1)2}
定理4.9 设R和S为任意两个二元关系，则： (1)(R-1)-1＝R。 (2)(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1＝R-1∩S-1。 (4)(R－S)-1＝R-1－S-1。 (5)(A×B)-1＝B×A。 证 (2)因为<x，y>∈(R∪S)-1<y，x>∈(R∪S) 明 <y，x>∈R∨<y，x>∈S
注： (1)当x≠y时，<x，y>≠<y，x>； (2)<x，y>＝ <u，v>当且仅当x＝u∧y＝v； (3)序偶<x，y>与集合 {x，y}不同。
定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的 次序排列组成的有序序列称为有序n元组，记 作<x1，x2，…，xn>。
例如，表示时间的年月日组成一个三元组。
证 明
(2)因为y∈R[A∩B] x(x∈A∩B∧xRy) c∈A∧c∈B∧cRy
(c∈A∧cRy)∧(c∈B∧cRy)
y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]， 所以R[A∩B] R[A]∩R[B]。
4.2.2关系矩阵与关系图
定义4.11 设A＝{x1，x2，…，xn}，B＝{y1，
定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关 系，则： (1)DR*SDR，RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)＝(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S－R*TR*(S－T)。 (6)(R*S)-1＝S-1*R-1。 (7)(R*S)*T＝R*(S*T)。
离散数学第四章课件
离散数学 第四章 函数
1
目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较 小结 习题
2
函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机 科学的理论中，如计算理论 、开关理论、编译理论、数 据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都 用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映 射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
6
4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。
1
目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较 小结 习题
2
函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机 科学的理论中，如计算理论 、开关理论、编译理论、数 据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都 用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映 射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
6
4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。
离散数学(第4讲PPT课件
•
（～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q
• 将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合 并相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项。
• （8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，
同时利用交换律进行顺序调整，由此可转换成标准
的主析取范式和主合取范式。
28
第28页/共33页
例1-5.4
利用公式的等价求G＝(P→Q)∧R的主合取范式和主析取范式。
解：G＝(P→Q)∧R＝(～P∨Q)∧R（蕴涵）
＝(～P∨Q∨(R∧～R))∧
((～P∧P)∨(～Q∧Q)∨R)（添加R、P、Q）
＝(～P∨Q∨R)∧(～P∨Q∨～R)∧ (～P∨～Q∨R)∧(～P∨Q∨R)∧
(P∨～Q∨R)∧(P∨Q∨R) （分配律）
＝(P∨Q∨R)∧(P∨～Q∨R)∧(～P∨Q∨R)∧
第24页/共33页
例1-5.3（续）
• 2)、求公式的主合取范式
P Q R (P→Q)
R
000 0 001 1 010 0 011 1 100 1 101 0 110 0 111 1
极大项
P∨Ｑ∨Ｒ
极大项
P∨～Ｑ∨Ｒ
极大项 极大项
～P∨Ｑ∨～Ｒ ～P∨～Ｑ∨Ｒ
2021/4/22
25
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4种不同的组合极大项对于n个命题变元共有2个不同的极大项记为2020310计算机学院16极大项公式成假赋值名称2020310计算机学院17没有两个不同的极小项是等价的且每个极小项只有一组真值指派使该极小项的真值没有两个不同的极大项是等价的且每个极大项只有一组真值指派使该极大项的真值2020310计算机学院182020310计算机学院19极大项取值0当且仅当
要解决这个问题，我们引入范式(公式的标准型)的概念。
离散数学及其应用课件第4章第8节
例题
例4.8.5 令f是从A={a，b，c，d}到B={1，2，3，4，5}的函 数，f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=5，f是单射、满射还是双射 函数？
解 f是单射函数。
例题
例4.8.7 图4.8.1定义了函数f，g，h，指出f，g，h哪些是单 射，满射和双射。
1
a
a
1
a
1
2
(2)由于f是单射函数，所以对任意的x1、x2A且x1x2，有f(x1) f(x2)。又因为g是单射函数，则有g(f(x1)) g(f(x2))，即gof(x1) gof(x2)。 所以，gof是单射函数。
(3)由(1)(2)可知，gof既是单射又是满射，因而是双射函数。
定理4.8.4
定理4.8.4 设f和g是函数，gof是f和g的复合函数，于是有： • 如果gof是满射函数，则g必定是满射函数。 • 如果gof是单射函数，则f必定是单射函数。 • 如果gof是双射函数，则g必定是满射函数，f是单射函数。
对任意xA都有gof (x)=g(f(x))。
注意，如果f的值域不是g的定义域的子集，就无法定义gof。
例题
例4.8.8 令f和g为函数。f是从{a，b，c}到{1，2，3}的函数， f(a)=3，f(b)=2，f(c)=1。g是从{a，b，c}到它自己的函数， g(a)=b，g(b)=c，g(c)=a。求fog和gof。
定义4.8.3 设f、g均为集合A到集合B的函数。若对xA， 都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记作f=g。
定义4.8.4 设A、B为集合，所有从A到B的函数构成BA，读 作“B上A”，即
BA={f | f：AB}。
例题
例4.8.4 集合A={0，1，2}，B={a，b}。写出所有从A到B的函
离散数学集合.ppt
2. 设S , 试判断下列各式是否正 a , 3 , 4 , 确，并将正确的题号填入括号内。
A.
S
B.
S
C.
S
D.
S
A B C
答案：
B P ( P ( A ))，判断下列论断 3. 设 A , 是否正确，并将“Y”或“N”填入相应论断 后面的括号中。
{ a , { a } }, { , a , { a } }}
练习
1. 试判断下列各式是否正确，并将正确的题 号填入括号内。
B. a a ,a a a A. C.
a a , a a a D.
答案： A B D
9. 排中律
10. 矛盾律 11. 余补律 12. 双重否定律 13. 补交转换律
AA=E
AA=
=E, A= A E=
A-B= AB
20
基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
第4章 关系
4.0 集合及相关概念
4.1 关系的定义及其表示
4.2 关系运算
4.3 关系的性质
4.4 等价关系与偏序关系
1
4.0 集合及其运算
集合及其表示法
包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(,, - , ~ , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法
~ AB= { x | x是外地走读生}
(A-B) D= { x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐} ~ D ~ B= { x | x是不喜欢听音乐的住校生}
离散数学课件第4章.ppt
【example】设R是英语字母串的集合上的关系并且使得 aRb当且仅当l(a)=l(b),其中l(x)是x的长度。R是等价关系吗？
Solution：
因为l(a)=l(b),从而只要a是一个串，就有aRa,故aR是自反的 其次，假设aRb，即l(a)=l(b)。那么有bRa，因为l(a)=l(b),因 此R是对称的。 最后假设aRb和bRc，那么有l(a)=l(b)和l(b)=l(c)。因此 l(a)=l(c)，即aRc，从而R使传递的。 由于R是自反的、对称的和传递的，R是等价关系。
系的所有元素的集合叫做a的等价类。 A的关于R的等价类记作[a]R 当只有一个关系被考虑时，我们将省去下标R并把这个等价类
写作[a]. 换句话说，如果R是集合A上的等价关系，元素a的等价类是
[a]R={s|(a,s)∈ R} 如果b∈ [a]R，b叫做这个等价类的代表元。
一个等价类的任何元素都可以作为这个类的代表元。也就是 说，对作为这个类的代表元所选择的特定元素没有特殊要求。
【example】对于模4同余关系，0和1的等价类是什么？
Solution： 0的等价类包含使得a ≡ 0( mod 4)的所有整数a。这个类中的
整数是被4整除的那些整数。因此，对于这个关系0的等价类是 [0]={…, -8, -4, 0, 4, 8,…}
－上述关系R图就是由三个独立的完全图构成的。
下面给出八个关系如图所示，根据等价关系有向图的特点， 判断哪些是等价关系。
下面是A ={1,2,3}中关系：
1。
1。
1。
1。
2。 。3
R1
1。
2。 。3
R2
1。
2。 。3 2。 。3
R3
1。
Solution：
因为l(a)=l(b),从而只要a是一个串，就有aRa,故aR是自反的 其次，假设aRb，即l(a)=l(b)。那么有bRa，因为l(a)=l(b),因 此R是对称的。 最后假设aRb和bRc，那么有l(a)=l(b)和l(b)=l(c)。因此 l(a)=l(c)，即aRc，从而R使传递的。 由于R是自反的、对称的和传递的，R是等价关系。
系的所有元素的集合叫做a的等价类。 A的关于R的等价类记作[a]R 当只有一个关系被考虑时，我们将省去下标R并把这个等价类
写作[a]. 换句话说，如果R是集合A上的等价关系，元素a的等价类是
[a]R={s|(a,s)∈ R} 如果b∈ [a]R，b叫做这个等价类的代表元。
一个等价类的任何元素都可以作为这个类的代表元。也就是 说，对作为这个类的代表元所选择的特定元素没有特殊要求。
【example】对于模4同余关系，0和1的等价类是什么？
Solution： 0的等价类包含使得a ≡ 0( mod 4)的所有整数a。这个类中的
整数是被4整除的那些整数。因此，对于这个关系0的等价类是 [0]={…, -8, -4, 0, 4, 8,…}
－上述关系R图就是由三个独立的完全图构成的。
下面给出八个关系如图所示，根据等价关系有向图的特点， 判断哪些是等价关系。
下面是A ={1,2,3}中关系：
1。
1。
1。
1。
2。 。3
R1
1。
2。 。3
R2
1。
2。 。3 2。 。3
R3
1。
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
感谢观看
反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
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(2 x 1) 3 2 x 4
g f ( x) g f ( x) g ( x 3)
2( x 3) 1 2 x 7
例1、设 f , g , h R R ，其中
x h f ( x) x 3 ，g ( x) 2 x 1 ， ( x) ， 2 g h g 求 f g ， f ，f f ， g ， f ，f h g。
2、性质。
设 f : B C ，g : A B
(3) 若 f , g 是双射的，则 f g : A C 也是双射的。 证：综合(1)、(2)，即得 f g 是双射的。 二、反函数。
1、定义：设函数 f : A B 是双射的，则
f 1 : B A 也是双射的，称 f 1是 f 的
反函数。
例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在，
请写出反函数，否则，请说明理由。
(1) f : R R ，f ( x) x 2 1
解： f 不存在反函数，
因为 f 不是单射， f (1) f (1) 0 。
(2) g : R R ，g ( x) 3x 1
解： g 是双射的，
例2、判断以下 f , g , h 的是否从 A 到 B 的函数，
若是函数，再判断是否单射，满射，双射的；
若不是，请说明理由。
B (1) A 1, 2,3, 4,5 ， 6, 7,8,9,10，
f 1,8 , 3,9 , 4,10 , 2, 6 , 5,9
解： f 是从 A 到B 的函数， 但 f 不是单射， 也不是满射。
第四章 函数 第一节 函数的基本概念
内容：函数的定义，性质。 重点：掌握函数的定义，单射、满射、
双射的概念及判定。
一、函数的定义。
1、定义：F 为二元关系，若对任意的 x dom F(前域），
都存在唯一的 y ran F ，使得 xFy 成立，则 称 F 为函数。其中ran称为陪域 例如：F1 x1 , y2 , x2 , y2 , x3 , y1 是函数， 而 F2 x1 , y1 , x1 , y2 , x2 , y1 , x3 , y2 不是函数。
三、常用的一些函数。
1、常函数， f : A B ，x A 都有
c f ( x) c ( c B ， 为常数)
2、恒等函数， I A : A A ，x A， 都有 I A ( x) x
3、特征函数， A ' : A 0,1 ， x A ，
1 x A ' ，其中 A ' A 。 A ' ( x) 0 x A A '
例1、设 f , g , h R R ，其中
x h f ( x) x 3 ，g ( x) 2 x 1 ， ( x) ， 2 g h g 求 f g ， f ，f f ， g ， f ，f h g。
解： f h g ( x) f h g ( x) f h(2 x 1)
例1、设 f , g , h R R ，其中
x h f ( x) x 3 ，g ( x) 2 x 1 ， ( x) ， 2 g h g 求 f g ， f ，f f ， g ， f ，f h g。
解：因为 f , g , h 均为从 R 到 R 的函数，所以所求 的复合函数也是从 R 到R 的函数 。
1 1 f (2 x 1) f x 2 2
1 7 x 3 x 2 2
2、性质。
设 f : B C ，g : A B
(1) 若 f , g 是满射的，则 f g : A C 也是满射的。
证：z C ，由于 f 满射，故 y B 使 f ( y) z ，
f ( x) x 1
解： f 是从 A到 B 的函数，
且是单射的， 但不是满射的 。
g ( x) x 1
解： g 不是从 A 到 B 的函数。
(3) A B Z (正整数集)
1 ( x 1) h( x ) x 1 ( x 1)
解： h 是从 A 到 B 的函数， 不是单射的， 是满射的。
二、函数的性质。 1、满射：若 ran f B ，则称 f 是满射的 (或到上的) 。
2、单射：若 x1 , x2 A ， x1 x2 ，则
f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f 称是单射的
(或一一的)。
3、双射：若 f 既是满射，又是单射，则称
f 是双射的 (或一一到上的)。
解： f f ( x) f f ( x) f ( x 3)
( x 3) 3 x 6
g g ( x) g g ( x) g (2 x 1)
2(2 x 1) 1 4 x 3
例1、设 f , g , h R R ，其中
例2、判断以下 f , g , h 的是否从 A 到 B 的函数，
若是函数，再判断是否单射，满射，双射的；
若不是，请说明理由。
B (1) A 1, 2,3, 4,5 ， 6, 7,8,9,10，
h 1, 7 , 2, 6 , 3,8 , 4,5 , 1,9 , 5,10
解： h 不是从 A 到 B 的函数，
例如：函数 f ( x) 2 x ，x R ，是从实数集
R 到 R 的函数，即 f R R ，
g ( x) ln x， x R，是从正实数集 函数
R 到 R 的函数，即 g R 。
R
B 例1、 A 0,1, 2 ， a, b ，求 B A。
解：题目要求从 A 到 B 的所有函数，依函数 定义，有
证明：对任意 a1 , a2 A (a1 a2 ) ，
由于g f 是单射，所以 g f (a1 ) g f (a2 )，
1 存在反函数 g : R R ，g ( x) ( x 1) 。 3
1
1
例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在，
请写出反函数，否则，请说明理由。
(3) h : R R ， ( x) e x h 解： h 是双射的， 存在反函数 h1 : R R ， 1 ( x) ln x 。 h
2、记号：如F , G, H ,, f , g , h, ， 若 xFy，记 F ( x) y。 3、有关集合和关系的运算对函数都适合。
f g f gg f x dom f dom g , f ( x) g ( x)
4、函数的定义域，值域。 设 A, B 是集合，若函数 f 满足： (1) dom f A ，(2) ran f B ， 则称 f 是从 A 到 B 的函数，记作 f : A B 。 符号 B A f f : A B表示从 A 到B 的函数 的全体构成的集合。
第二节 函数的复合和反函数
内容：复合函数，反函数。 一般：基本掌握复合函数， 反函数的定义及求法。 一、复合函数。 1、定义：设函数 f : B C ，g : A B，
则 f g : A C ，对任意 x A ，
f g ( x) f g ( x) ，称为 f , g 的复合函数。
对这个 y，又由于 g 满射，故 x A 使 g ( x) y ，
因此， g ( x) f g ( x) f ( y ) z f
所以 f g 是满射。
2、性质。
设 f : B C ，g : A B
(2) 若 f , g是单射的，则 f g : A C 也是单射的。
若是双射，给出逆函数。
(3) f : N N N , f (n) n, n 1 解：单射。 (4) f : Z N , f ( x) x 解：满射。
例4、设 f : A B ，g : B C 是两个函数，
证明：
(1) 若 g f 是满射，则 g 是满射，
证明：对任意 c C ，由 g f 是满射，
例1、设 f , g , h R R ，其中
x h f ( x) x 3 ，g ( x) 2 x 1 ， ( x) ， 2 g h g 求 f g ， f ，f f ， g ， f ，f h g。
解： f g ( x) f g ( x) f (2 x 1)
证： x1 , x2 A ，若 x1 x2 ，由于 g 单射，
故 g ( x1 ) g ( x2 )，且 g ( x1 ), g ( x2 ) B dom f ， 又由 f 的单射，有 f g ( x1 ) f g ( x2 ) ，
即 f g ( x1 ) f g ( x2 )，所以 f g是单射的。
(2) A B R (实数集)
f ( x) x 2 x
解： f 是从 A 到 B 的函数，
但它不是单射，也不是满射。
g ( x) x 3
解： g 是从 A 到 B 的双射函数。
h( x ) x
解： h不是从 A 到 B 的函数。
(3) A B Z (正整数集)
例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。
若是双射，给出逆函数。
(1) f : R R, f ( x) x 解：是双射，逆函数 f 1 f (2) f : Z E (偶数集)，f ( x) 2 x 解：是双射，逆函数 f
1
x, x
2
xE
例3、说明以下函数是否单射、满射、双射。
x h f ( x) x 3 ，g ( x) 2 x 1 ， ( x) ， 2 g h g 求 f g ， f ，f f ， g ， f ，f h g。 1 解：h f ( x) h f ( x) h( x 3) ( x 3) 2