上海市交大附中高二(上)期中数学试卷含答案
上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷数学(附解答)
上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷高二数学本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(3分×12=36分 )1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 3、行列式1023的值为__________4、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += 5、若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于_________6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=，AB DC =，则四边形ABCD 的形状是_______7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。
8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11(,)2n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________9、右上图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。
AD 与BE 的交点为F 。
若设AB a =，AC b =，AF AD λ=，于是可得出：34BE a b =-+，BF AF AB =- ()AD AB AB BD AB λλ=-=+-=，于是由开始01s i ←←12s s i←+1i i ←+s 输出结束是否（第9题）//BE BF ，可求出λ=_________11、在共有2009项的等差数列na中，有等式1320092420081005()()a a a a a a a 成立,类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列n b 中，有等式 成立。
交大附中数学高二上期中经典测试卷(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13002]甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．153．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．(0分)[ID：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，97．(0分)[ID：12949]已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．238．(0分)[ID：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>12．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为313．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A．203B．72C．165D．15815．(0分)[ID：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．49二、填空题16．(0分)[ID：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID：13116]已知一组数据：87,,90,89,93x的平均数为90，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID：13094]执行如图所示的框图，输出值x=______．20．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.21．(0分)[ID：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝________.22．(0分)[ID：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .23．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案
一. 填空题1. 若=-n (2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2. 直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P x y (,)满足⋅=OP OA 4，则点P 的轨迹方 程是3. 已知圆--+=x x y 44022的圆心是点P ，则点P 到直线--=x y 10的距离是4. 若向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，且a 与b 的夹角为π3，则+=a b ||5. 三阶行列式---k11235442第2行第1列元素的代数余子式为-10，则=k6. 点P (3,4)关于直线-=x y 1的对称点的坐标是7. 己知两点A (3,4)，-B (1,5)，直线l ：=-y kx 1与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围8. 已知点-A (10,2)，B (5,7)，若在x 轴上存在一点P ，使-PA PB ||||最小，则点P 的坐 标为9. 若圆（+=>x y R R 0)222和曲线+=x y 341||||恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题①⎩+=⎨⎧+=a x b y c a x b y c 222111；②⎩++=⎪⎨++=⎪⎧++=a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 333322221111；③⎩++=⎨⎧++=a x b y c z d a x b y c z d 22221111；④⎩+=⎪⎨+=⎪⎧+=a x b y c a x b y c a x b y c 333222111. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部动点，设R =+∈BP mBC nBA m n (,)，则+m n 的取值范围是12. 若实数x 1、x 2、y 1、y 2，满足+=x y 11122，+=x y 12222，+=x x y y 11212，则上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案1122的最大值为二. 选择题13. 下列等式中不恒成立的是（ ）A. a b b a ⋅=⋅B. ()a b a b λλ⋅=⋅C. 222()a b a b ⋅=⋅D. 22||||()()a b a b a b -=+⋅-14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y x =轴对称D. 关于原点对称15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9三. 解答题17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.18. 已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +的最大值；（2）设与的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.19. 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅.（1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ； （2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以 原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值； （3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. arctan 22. 24x y +=3. 24.5. 14-6. (5,2)7. [,arctan 6]4ππ- 8. (12,0)9. 3 10. （1）（4） 11. [1 12. 2二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.18.（1）3+；（2）]2π. 19.（1）(2,1)a =；（2）证明略.20.（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）2t =±；（3）11(,)22Q --，λ=。
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（3分）1．（3分）行列式的值是．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．3．（3分）与向量平行的单位向量是．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．5．（3分）不等式＜0的解集为．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是﹣1．考点：二阶矩阵；同角三角函数基本关系的运用．专题：矩阵和变换．分析：本题可以利用二阶行列式的计算公式直接计算，求出行列式的值，得到本题结论．解答：解：∵行列式=ad﹣bc，∴行列式=sinx•（﹣sinx）﹣cosx•cosx=﹣（sin2x+cos2x）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二阶行列式的计算，本题难度不大，属于基础题．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据非零向量垂直的充要条件及向量数量积的坐标运算即可求出k．解答：解：；∴；∴．故答案为：．点评：考查两非零向量垂直的充要条件：=0，以及数量积的坐标运算．3．（3分）与向量平行的单位向量是±（，﹣）．考点：单位向量．专题：计算题．分析：根据题意，设要求的向量为，由向量的共线的性质，可得=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，可得（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得λ的值，进而将λ的值代入（3λ，﹣4λ）中，即可得答案．解答：解：设要求的向量为，则=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，则（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得，λ=±，则=±（，﹣），故答案为±（，﹣）．点评：本题考查向量的运算，涉及单位向量的定义与向量平行的性质，注意向量的表示形式．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（3分）不等式＜0的解集为（10，100）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，利用行列式的意义可得lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）＜0，解此对数不等式即可求得答案．解答：解：∵＜0，∴lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）=3lg2x﹣9lgx+6＜0，即（lgx﹣1）（lgx﹣2）＜0，整理得：1＜lgx＜2，解得10＜x＜100．故答案为：（10，100）．点评：本题考查行列式的应用，着重考查对数不等式的解法，属于中档题．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=﹣24．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题利用增广矩阵得到相应的三元一次方程组，通过方程组的解，求出相关参数m、n的值，得到本题结论．解答：解：∵关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，∴，∵方程组的解为，∴，∴m•n=﹣24．故答案为﹣24．点评：本题考查的是增广矩阵的应用，要求正确理解增广矩阵的意义，准确进行计算，本题难度不大，属于基础题．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．解答：解：由题意，∵，∴，∴即数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，∴故答案为点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．考点：矩阵乘法的性质．专题：选作题；矩阵和变换．分析：由题意，恒成立，可得a=d=0，b=c=1，即可得出结论．解答：解：由题意，恒成立，∴a=d=0，b=c=1，∴=．故答案为：．点评：本题考查矩阵乘法的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与的夹角是钝角，可得=﹣2λ﹣1＜0，且．解出即可．解答：解：∵与的夹角是钝角，∴=﹣2λ﹣1＜0，且．解得，且λ≠2．故答案为：点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是4．考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式，结合向量的线性运算可得：点P是线段AC的中点且Q是线段AB的靠近B点的三等分点．由此结合正弦定理的面积公式，算出S△APQ==S△ABC=，即可得到则四边形BCPQ的面积．解答：解：∵点P满足，∴，可得点P是线段AC的中点又∵∴=2可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点因此，△APQ的面积为S△APQ=||•||sinA=•||•||=S△ABC∵△ABC的面积为1，∴S△APQ=由此可得四边形BCPQ的面积为S=S△ABC﹣S△APQ=1﹣=故答案为：点评：本题在△ABC中给出两个向量的等式，求四边形BCPQ的面积．着重考查了平面向量的线性运算和运用正弦定理求三角形面积等知识，属于基础题．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=1．考点：高阶矩阵；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．解答：解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n2+（n﹣1）×n2=n3，故===1，故答案为：1．点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量夹角的定义，结合图形，得出结论．解答：解：如图所示，在等边△ABC中，向量的夹角是∠A，∠A=．故选：B．点评：本题考查了平面向量夹角的概念，解题时应熟知两向量夹角的概念是什么，取值范围是什么．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，即可得出结论．解答：解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．解答：解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0考点：三阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：首先，根据所给信息，得到第一列和第三列相同，以第二列展开容易求解．解答：解：根据题意，得∵a i，j=icosx+jsinx，∴a11=cosx+sinxa21=2cosx+sinxa31=3cosx+sinx，a13=cosx+3sinxa23=2cosx+3sinxa33=3sinx+3cosx第一列和第三列相同，以第二列展开易得：∴a13A11+a23A21+a33A31=0．∴f（x）的最小值是0，故选：D．点评：本题重点考查了行列式的基本计算，属于中档题．三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据已知条件结合图形即可求出A，B，C三点的坐标；（2）求出的坐标，带入，即可得到关于m，n的方程组，解方程组即得m，n的值．解答：解：（1）如图所示，由已知条件得：A（1，0），B（），C；（2）；∴；解得．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，向量的坐标运算．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：本题先求出相关行列式D、D x、D y的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论．解答：解：∵关于x、y的方程组：（a∈R），∴，，，（1）当a≠±1时，D≠0，方程组有唯一解，，（2）当a=﹣1时，D=0，D x≠0，方程组无解；（3）当a=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解，．点评：本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．解答：解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①又②联立解得，∴；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，∵，∴．∴，∴=，∵，∴，∴．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由和A1（5，0）可求A2（4，0），由射线OB是第一象限角平分线和，利用向量模的公式可求B1（1，1）．（2）设，，得⇒{x n}成等比数列，又，得，进而得到；设，得，由，得y n+1=y n+1得{y n}是等差数列，可求得y n=1+（n﹣1）=n，进而求得；（3）由，可得，利用换元法设，当n≥2时，可知1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，即t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…进而求得．解答：解：（1），A2（4，0），（2分）设B1（x，x），x＞0，由||=，得，x=1，∴B1（1，1）．（2）设，则，{x n}成等比数列，，∴．（6分）设，由，∴{y n}是等差数列（8分）y n=1+（n﹣1）=n，∴．（9分）（3），（11分）设，当n≥2时，=，∴1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…，∴．点评：本题考查点A2，B1的坐标的求法，考的坐标的求法，考查△A n OB n面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列和向量知识的综合应用．。
上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________12．若{}a是以1a为首项，d为公差的等差数列；n则下列说法正确的是①存在实数a，使得不存在实数1②存在实数0d¹，使得对任意实数③存在实数0b¹，使得不存在实数C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．下列命题（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．若动点P（x，y）以等角速度w在单位圆上逆时针运动，则点()22Q xy y x--的运动2,方程是（）．A．以角速度w在单位圆上顺时针运动B．以角速度w在单位圆上逆时针运动C．以角速度2w在单位圆上顺时针运动D．以角速度2w在单位圆上逆时针运动(1)如图，平面直角坐标系内有一个边长为)①将整个正方形ABCD绕点B顺时针②再将整个正方形ABCD绕点C顺时针旋转，使点D首次选择到x轴正半轴上停止；③再将整个正方形ABCD绕点D顺时针旋转，使点A首次选择到x轴正半轴上停止；④再将整个正方形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B首次选择到x轴正半轴上停止.我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形ABCD“滚动”一周.为使点B向x轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形ABCD“滚动”______周，在经过的路径总长度为______个单位长度；这个过程中，点A(2)如果制造一个正n边形的“轮子”，该正n边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正n边形的“轮子”滚动一周，求点P经过的路径总长度；(3)根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）故答案为：6017.12．②④【分析】取2πd =即可说明①②，假设存在实数③④.【详解】对于①②，取2πd =，则所以对任意实数1a ，数列({sin n a（2）如图，正n 多边形中心到顶点的距离为则由余弦定理可知，正n 多边形的边长为22211211cos AB n p =+-´´´同理：2211211AC =+-´´。
2021-2022学年上海交大附中高二(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海交大附中高二（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={m|1＜m＜4}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）设α：x2-6x+8＞0，β：x≥k，若β是α的充分非必要条件，则实数k的取值范围是 ___ ．+z2的虚部为3.（填空题，4分）若复数z1=3+4i，z2=1-2i，其中i是虚数单位，则复数|z1|i___ ．4.（填空题，4分）已知空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，那么a⃗在b⃗⃗上的投影向量为 ___ ．5.（填空题，4分）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为 ___ ．6.（填空题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，则异面直线AB和A1C的距离为___ ．7.（填空题，5分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，∠APB=30°，E、F、G分别是侧棱PB、PC、PD上各一点，那么空间四边形AEFG周长的最小值为 ___ ．8.（填空题，5分）五条棱长为2，一条棱长为3的四面体的体积为 ___ ．，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直9.（填空题，5分）如图，∠A=∠B=π2线AB旋转一周形成的几何体的体积为 ___ ．10.（填空题，5分）如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为 ___ ．11.（填空题，5分）一种玻璃饰品外形是简单多面体，表面是由三角形和平面八边形两种拼接而成．它共有24个顶点，每个顶点恰好在三条棱上．设该多面体表面有x个三角形，y个平面八边形，则xy的值为 ___ ．12.（填空题，5分）如图，有一个半径为15的半球，过球心O 作底面的垂线l ，l 上一点O 1满足O 1O=12，过O 1作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为 ___ ．13.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是棱C 1D 1、AA 1、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相交形成的截面是一个（ ）A.三角形B.平面四边形C.平面五边形D.平面六边形14.（单选题，5分）设z 1、z 2∈C ，z 12-2z 1z 2+4z 22=0，|z 2|=2，那么以|z 1|为直径的球的表面积为（ ） A.4π B.16π C.32π3D.64π15.（单选题，5分）正项等比数列{a n }中，存在两项a m 、a n 使得 √a m a n =3a 1 ，且a 6=2a 5+3a 4，则 1m +4n 的最小值为（ ） A. 73 B. 52 C. 94 D.216.（单选题，5分）定义域为[a ，b]的函数y=f （x ）图象的两个端点为A ，B ，向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ) OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x=λ a ⃗ +（1-λ） b ⃗⃗ ，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ） A.y=x 2 B. y =2xC. y=sinπx3D. y=x−1x17.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求异面直线A1C和BD所成角的大小；（2）求二面角B-A1C-D的大小．18.（问答题，14分）已知函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），且f（x）=2x．（1）若f-1（x）-f-1（1-x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1-x）=m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．19.（问答题，14分）我校在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为底面，CD、CE为路灯的灯杆，CD⊥AB，且∠DCE=2π，在E处安装路灯，且路灯的照明张角为3，已知CD=5米，CE=3米．∠MEN=π3（1）当M与D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．20.（问答题，16分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE || BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）在线段A1B上是否存在点N（N不与端点A1、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A1N与BN的比值；若不存在，请说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，我们把满足条件a n+1≤S n（n为任意正整数）的所有数列{a n}构成的集合记为M．（1）若数列{a n}的通项为a n=q n−1(0＜q＜1)，判断{a n}是否属于M，并说明理由；（2）若数列{a n}是等差数列，且{a n+n}∈M，求a2021的取值范围；}中是否存在无穷多项依次成等差数列？（3）若数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，数列{4na n若存在，给出一个数列{a n}的通项；若不存在，说明理由．2021-2022学年上海交大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={m|1＜m＜4}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：先化简集合B，再根据交集的运算即可求出．【解答】：解：集合A={m|1＜m＜4}=（1，4），B={y|y=3x+2，x∈R}=（2，+∞），则A∩B=（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题考查描述法、区间的定义，以及函数的值域和交集的运算，属于基础题．2.（填空题，4分）设α：x2-6x+8＞0，β：x≥k，若β是α的充分非必要条件，则实数k的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：求出α：x2-6x+8＞0的等价条件，再利用充分必要条件的定义求解即可．【解答】：解：α：∵x2-6x+8＞0，∴x＜2或x＞4，∵β是α的充分非必要条件，且β：x≥k，∴{x|x≥k}⫋{x|x＜2或x＞4}，∴k＞4，∴实数k的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了不等式的解法，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）若复数z1=3+4i，z2=1-2i，其中i是虚数单位，则复数|z1|+z2的虚部为i___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵z1=3+4i，z2=1-2i，∴ |z1|=|3+4i|=√32+42=5，z2=1+2i，∴ |z1|i +z2 = 5i+1+2i = −5i−i2+1+2i=1−3i，∴复数|z1|i+z2的虚部为-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.（填空题，4分）已知空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，那么a⃗在b⃗⃗上的投影向量为 ___ ．【正确答案】：[1]（-1，0，1）【解析】：直接利用a⃗在b⃗⃗上的投影向量的计算公式求解即可．【解答】：解：因为空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，所以a⃗在b⃗⃗上的投影向量为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|•b⃗⃗|b⃗⃗|=√2•(√20，√2) =（-1，0，1）．故答案为：（-1，0，1）．【点评】：本题考查了空间向量的坐标运算，向量投影向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为 ___ ．【正确答案】：[1] 15【解析】：设圆锥母线与轴所成的角为α，由题意求出圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍，利用边角关系求解即可．【解答】：解：设圆锥母线与轴所成的角为α，因为圆锥的侧面积是底面积的5倍，则πrlπr2=lr=5，即圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍，所以sinα= rl = 15，则这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为15．故答案为：15．【点评】：本题考查了圆锥的几何性质的理解与应用，圆锥的侧面积公式的运用，圆锥母线与轴的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，则异面直线AB和A1C的距离为___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：异面直线的距离转化为点到平面的距离，求解即可．【解答】：解：连接B1C，BC1，因为几何体是正方体，AB || DC，所以AB || 平面DCB1A1，异面直线AB和A1C的距离，转化为B到平面DCB1A1的距离，所以异面直线AB和A1C的距离为12 BC1= 12×4√2 =2 √2，故答案为：2 √2．【点评】：本题是基础题，考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力．7.（填空题，5分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，∠APB=30°，E、F、G分别是侧棱PB、PC、PD上各一点，那么空间四边形AEFG周长的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：首先把四棱锥体展开成平面图，进一步利用余弦定理求出周长的最小值．【解答】：解：将正四棱锥P-ABCD的四个侧面展开，如图所示：则当E、F、G分别为AA1，与PB、PC、PD的交点时，四边形AEFG的周长最小，易知∠APA1=4∠APB=120°，在△PAA1中，由余弦定理：AA1=√22+22−2×2×2×cos120° =2 √3，所以四边形AEFG周长的最小值为2 √3．故答案为：2 √3．【点评】：本题考查的知识要点：几何体的直观图和展开图，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）五条棱长为2，一条棱长为3的四面体的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：如图取AC的中点O，由题可得AC⊥平面POB，利用三棱锥的体积公式即求．【解答】：解：如图四面体P-ABC，PA=PB=PC=AB=BC=2，AC=3，取AC的中点O，连接PO、BO，则AC⊥PO，AC⊥BO，又PO⋂BO=O，∴AC⊥平面POB，又PO=BO=√22−(32)2=√72，在△POB中，边PB上的高为√(√72)2−1=√32，∴ V P−ABC=13S△POB⋅AC=13×12×2×√32×3=√32．故答案为：√32．【点评】：本题主要考查空间几何体体积的求解，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．9.（填空题，5分）如图，∠A=∠B=π2，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]7π【解析】：先确定直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体为圆台，然后由圆台的体积公式求解即可．【解答】：解：由题意，直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体为圆台，且该圆台的上底面圆的面积为π×12=π，下底面圆的面积为π×22=4π，圆台的高为3，×(π+√π×4π+4π)×3=7π．所以该几何体的体积为V=13故答案为：7π．【点评】：本题考查了旋转体的理解与应用，圆台的体积公式的运用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．10.（填空题，5分）如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]πR2（1+ √2）【解析】：设设圆柱底面半径为r，高为h，易得h=Rsinθ，r=Rcosθ，表示出圆柱体的表面积，转化为三角函数求最值的问题求解．【解答】：解：设圆柱底面半径为r，高为h，由截面图可知，h=Rsinθ，r=Rcosθ，所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=πR2•2cos2θ+πR2•2sinθcosθ=πR2（sin2θ+2cos2θ）=πR2)+1]，（sin2θ+cos2θ+1）=πR2•[√2sin(2θ+π4）=1时，S有最大值πR2（1+ √2），当sin（2 θ+π4故答案为：πR2（1+ √2）．【点评】：本题考查半球内接圆柱体的表面积的最值问题，转化为三角函数求最值是解题关键，属于中档题．11.（填空题，5分）一种玻璃饰品外形是简单多面体，表面是由三角形和平面八边形两种拼接而成．它共有24个顶点，每个顶点恰好在三条棱上．设该多面体表面有x个三角形，y个平面八边形，则xy的值为 ___ ．【正确答案】：[1]48【解析】：设顶点数为V，面数为F，棱数为E．由题知F=x+y，由欧拉公式得：V+F-E=2，由此能求出结果．【解答】：解：设顶点数为V，面数为F，棱数为E．由题知F=x+y，由欧拉公式得：V+F-E=2，∵一个顶点连接3条棱，∴总棱数E= 24×3=36，2∴24+F-36=2，解得F=x+y=14，①三角形总边数为3x，八边形总边数为8y，∴多面体的总棱数为3x+8y=36，②2联立① ② ，解得x=8，y=6，∴xy=48．故答案为：48．【点评】：本题主要考查了欧拉公式，关键是掌握顶点数+面数-棱数=2，考查运算求解能力，是中档题．12.（填空题，5分）如图，有一个半径为15的半球，过球心O作底面的垂线l，l上一点O1满足O1O=12，过O1作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为___ ．【正确答案】：[1]2124π【解析】：利用祖暅原理计算出截面以上部分的体积，再利用半球的体积减去截面以上部分的体积可得结果．【解答】：解：设截面以上部分的体积为V1，截面以下部分的体积为V2，设r=O1D，R=OB=OD=15，则h=OO1=12，O1O2=15-12=3，将O1O2进行n等分，过这些等分点作平行于底面的平面，将截面以上部分切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的小圆柱，这些小圆片的体积之和即为V1，由于小圆片近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积，它的高就是小圆片的厚度3n，底面就是小圆片的下底面，由勾股定理可知第 i层（由下向上数）小圆片的下底面半径为r i=√152−[12+3(i−1)n ]2 =√81−72(i−1)n −9(i−1)2n2，于是，第 i层小圆片的体积为V i≈πr i2⋅3n =π×[81−72(i−1)n−9(i−1)2n2]×3n，所以，V1≈243π−216πn2[0+1+2+⋯+(n−1)]−27πn3[02+12+22+⋯+(n−1)2]= 243π−216πn2⋅n(n−1)2−27πn3⋅n(n−1)(2n−1)6= 243π−108π(1−1n )−9π2⋅(2−3n+1n2)，所以，V1≈243π-108π-9π=126π，故V2=23π×153−V1=2124π．故答案为：2124π．【点评】：本题主要考查几何体体积的计算，祖暅原理的应用等知识，属于中等题．13.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱C1D1、AA1、BC 的中点，则经过M、N、P的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交形成的截面是一个（）A.三角形B.平面四边形C.平面五边形D.平面六边形【正确答案】：D【解析】：根据确定平面的依据：“经过两条平行线有且只有一个平面”，通过取中点的方式可得截面．【解答】：如图，因为M，N，P为棱C1D1、AA1、BC的中点，故采用”补中点”的方法可确定截面，取A1D1，A1A，AB，CC1的中点，连接M，N，P与正方体相交即为所得截面，该截面为正六边形，故选：D．【点评】：本题考查了平面的基本性质，确定平面的依据，属于基础题．14.（单选题，5分）设z1、z2∈C，z12-2z1z2+4z22=0，|z2|=2，那么以|z1|为直径的球的表面积为（）A.4πB.16πC. 32π3D.64π【正确答案】：B【解析】：由已知可得(z1z2)2−2•z1z2+4=0，解得|z1|=4，然后求解球的表面积．【解答】：解：∵z1、z2∈C，z12-2z1z2+4z22=0，|z2|=2，∴ (z1z2)2−2•z1z2+4=0，解得z1z2 = 2±2√3i2= 1±√3i，∴|z1|=|z2|•| 1±√3i |=4，∴以|z1|为直径的球的面积为4×22π=16π．故选：B．【点评】：本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、球的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.（单选题，5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得√a m a n=3a1，且a6=2a5+3a4，则1m +4n的最小值为（）A. 73B. 52C. 94D.2【正确答案】：A【解析】：由a6=2a5+3a4，结合等比数列的通项公式可推出q2-2q-3=0，解之得q的值，再根据√a m a n=3a1，得m+n=4，然后分别计算1m +4n可能的取值即可得解．【解答】：解：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a6=2a5+3a4，所以a4•q2=2a4•q+3a4，即q2-2q-3=0，解得q=3或-1（舍负），因为√a m a n=3a1，即a m a n=9 a12，所以a1q m−1• a1q n−1 =9 a12，即3m+n-2=9=32，所以m+n=4，当m=1，n=3时，1m +4n= 73，当m=2，n=2时，1m +4n= 52，当m=3，n=1时，1m +4n= 133，所以1m +4n的最小值为73．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，利用基本不等式解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.（单选题，5分）定义域为[a ，b]的函数y=f （x ）图象的两个端点为A ，B ，向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ) OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x=λ a ⃗ +（1-λ） b ⃗⃗ ，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ） A.y=x 2 B. y =2x C. y =sin π3x D. y =x −1x 【正确答案】：D【解析】：由已知，先得出M 、N 横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．【解答】：解：由题意，M 、N 横坐标相等，不等式|MN|≤k 对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k 应为|MN|的最大值．① 对于函数y=x 2，由A 、B 是其图象上横坐标分别为a 、b 的两点，则A （1，1），（2，4）∴AB 方程为y-1=4−12−1（x-1），即y=3x-2|MN|=|x 2-（3x-2）|=|（x- 32 ）2- 14 |≤ 14 ，线性近似阀值为 14 ．② 同样对于函数 y =2x，由A （1，2），（2，1），AB 方程为y=-x+3，|MN|=-x+3- 2x=3-（x+ 2x ）≤3-2 √2 ，线性近似阀值为3-2 √2 ．③ 同样对于函数 y =sin π3x ，A （1， √32），B （2， √32），AB 方程为y= √32，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1- √32 ，线性近似阀值为1- √32 ， ④ 同样对于函数 y =x −1x，得A （1，0），B （2， 32）， ∴直线AB 方程为y= 32 （x-1）∴|MN|= x −1x - 32 （x-1）= 32 -（ x2+1x ） ≤32−√2 ，线性近似阀值为 32−√2 ． 由于为 14 ＞3-2 √2 ＞1- √32 ＞ 32−√2 ．所以线性近似阀值最小的是 y =x −1x【点评】：本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．17.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求异面直线A1C和BD所成角的大小；（2）求二面角B-A1C-D的大小．【正确答案】：【解析】：（1）判断BD⊥平面A1AC，求出异面直线A1C和BD所成角的大小．（2）作CE⊥A1C于E，连接EB，所以∠BEO为B-A1C-O的平面角，则B-A1C-D的平面角的大小为2∠BEO，由此能求出二面角B-A1C-D的大小．【解答】：解：（1）连结AC，交BD 于O，正方体ABCD-A1B1C1D1中，所以BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面A1AC，所以A1C⊥BD，异面直线A1C和BD所成角的大小为90°．（2）作OE⊥A1C于E，连接EB，所以∠BEO为B-A1C-O的平面角，则B-A1C-D的平面角的大小为2∠BEO，设正方体的列出为2，则AC=2 √2，OB= √2，A1C=2 √3，△OEC∽△A1AC，可得OE= OC•AA1A1C = √2×22√3= √63，tan∠BEO=√63√2= √33，tan2∠BEO= 2×√3 31−(√33)2= √3．∴二面角B-A1C-D的大小为60°．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.（问答题，14分）已知函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），且f（x）=2x．（1）若f-1（x）-f-1（1-x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1-x）=m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）易得f-1（x）=log2x，然后解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y=2x+21-x在[0，1]的值域，然后结合“对勾函数”的单调性，求出m的范围．【解答】：解：（1）f（x）=2x的反函数为f-1（x）=log2x，由f-1（x）-f-1（1-x）=1，可得log2x-log2（1-x）=1，∴log2x1−x =1，∴ x1−x=2，解得x= 23，经检验符合题意；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1-x）=0在区间[0，1]内有解，∴2x+21-x=m在区间[0，1]内有解，∴m的范围即为函数y=2x+21-x在[0，1]的值域，函数y=2x+21-x=2x+ 22x 在（0，12）单调递减，在（12，1）单调递增，∴当x= 12时，函数取最小值2 √2，当x=1时，函数取最大值3，∴实数m的取值范围为[2 √2，3]．【点评】：本题考查反函数，指数函数与对数函数的性质，考查函数与方程思想及转化与化归思想，属中档题．19.（问答题，14分）我校在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为底面，CD、CE为路灯的灯杆，CD⊥AB，且∠DCE=23π，在E处安装路灯，且路灯的照明张角为∠MEN=π3，已知CD=5米，CE=3米．（1）当M与D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当M，D重合时，由余弦定理求得ME，再求得sin∠ENM，就可以在△ENM中由正弦定理求得MN，（2）在△EMN中由等面积法得出MN，EM，EN的关系，再由余弦定理求得MN的最小值即可．【解答】：解：（1）当M，D重合时，由余弦定理知，ME=DE=√CD2+CE2−2CD⋅CE⋅cos∠DCE=7，所以cos∠CDE=CD 2+DE2−CE22CD⋅DE=1314，因为∠CDE+∠EMN=π2，所以sin∠EMN=cos∠CDE=1314，因为cos∠EMN＞0所以cos∠EMN=√1−sin2∠EMN=3√314，因为∠MEN=π3，所以sin∠ENM=sin(2π3−∠EMN)= sin2π3cos∠EMN−cos2π3sin∠EMN=1114，∴在△EMN中，由正弦定理可知，MN sin∠MEN =EMsin∠ENM，解得MN= 49√311．（ 2）易知E到地面的距离ℎ=5+2sin(2π3−π2)=6m，由三角形面积公式可知 S △EWN =12⋅MN ⋅6=12EM ⋅EN ⋅sin π3 ， 所以12√3MN =EM ⋅EN ，又由余弦定理可知， MN 2=EM 2+EN 2−2EM ⋅EN ⋅cos π3≥EM ⋅EN ， 当且仅当EM=EN 时，等号成立， 所以 MN 2≥10√3MN ，解得 MN ≥12√33； 所以照明宽度MN 的最小值为 12√33 m ．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，满足DE || BC 且DE 经过△ABC 的重心，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD ，M 是A 1D 的中点，如图所示． （1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）在线段A 1B 上是否存在点N （N 不与端点A 1、B 重合），使平面CMN 与平面DEN 垂直？若存在，求出A 1N 与BN 的比值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；（2）通过建系法求出 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面A 1BE 的法向量 n ⃗⃗ ，设线面角为θ，结合公式 sinθ−cos〈CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，A •〉 求解即可； （3）在 （2）的坐标系基础上，写出B ，C ，D ，M ，E 坐标，设 N(x 1，y 1，z 1) ，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ，表示出点N ，分别求出平面CMN 与平面DEN ．【解答】：证明：（1）由∠C=90°，DE || BC ， 所以 DE⊥AD ，DE⊥CD ，因为折起前后对应角相等，所以DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1CD ，DE⊥A 1C ， 又A 1C⊥CD ，CD∩DE=D ， 所以A 1C⊥平面BCD ，解：（2）因为DE 经过△ABC 的重心， 所以DE= 23BC=2，由（1）知A 1C⊥平面BCDE ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，CD=2，A 1D=4， A 1C =2√3 ，故C （0，0，0），D （2，0，0），E （2，2，0），B （0，3，0），A 1（0，0， 2√3 ），M （1，0， √3 ），CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，0，√3) ， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，3，−2√3) ， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2， −2√3 ）， 设平面A 1BE 的法向量为 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则 {n ⃗⃗⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {3y −2√3z =0x +y −√3z =0 ，令y=2，则 z =√3，x =1 ， n ⃗⃗=(1，2，√3) ， 设CM 与平面A 1BE 所成角的大小为θ， 则有 sinθ=cos〈CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗〉=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅|n ⃗⃗| = 2•2√2=√22， 故 θ=π4 ，即CM 与平面A 1BE 所成角的大小为 π4 ； （3）设 N(x 1，y 1，z 1) ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即 (x 1，y 1−3，z 1)=λ(0，−3，2√3) ， 即x 1=0，y 1=3（1-λ）， z 1=2√3λ ，则N （0，3（1-λ）， 2√3λ ）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，0，√3) ， CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，3（1-λ）， 2√3λ ），设平面CMN 的法向量为 n ⃗⃗ =（x 2，y 2，z 2）， 则有 {n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {x 2+√3z 2=03(1−λ)y 2+2√3λz 2=0 ，令 x 2=√3 ， z 2=−1 ，y 2=2√3λ3(1−λ) ， n 2⃗⃗⃗⃗⃗ = (√3，2√3λ3(1−λ)，−1) ，同理，设平面DEN 的法向量为 n ⃗⃗=(x 3，y 3，z 3) ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，0) ， DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，3（1-λ）， 2√3 λ）， 则 {n 3⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n 3⃗⃗⃗⃗⃗⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {y 3=0−2x 3+2√3λz 3=0 ， 令x= √3 ，则 z 3=1λ ， 故 n 3⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，0，1λ) ， 若平面CMN 与平面DEN 垂直， 则满足 n 2⃗⃗⃗⃗⃗•n 3⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， 即 3−1λ=0 ，λ=13 ，故存在这样的点， BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ， 所以A 1N BN=21=2 ．．【点评】：本题考查空间立体几何的应用，转化为空间向量来求解，考查学生的运算能力，属于难题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，我们把满足条件a n+1≤S n （n 为任意正整数）的所有数列{a n }构成的集合记为M ．（1）若数列{a n }的通项为 a n =q n−1(0＜q ＜1) ，判断{a n }是否属于M ，并说明理由； （2）若数列{a n }是等差数列，且{a n +n}∈M ，求a 2021的取值范围；（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列 {4na n} 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用等比数列前n项和公式计算，再比较a n+1与S n大小关系即可判断作答；（2）设等差数列{a n}的公差d，求出数列{a n+n}的前n项和，列出不等式，借助恒成立探求出d与a1的取值即可计算作答；（3）根据给定条件探求出数列{ 4na n}具有的性质，再借助反证法思想并结合等差数列通项即可判断作答．【解答】：解：（1）因为a n=q n−1(0＜q＜1)，所以S n= 1−q n1−q，所以S n-a n+1= 1−q n1−q -q n= 1−2•q n+q n+11−q= (1−q n)2+q n+1(1−q n−1)1−q＞0，所以∀n∈N*，a n+1＜S n恒成立，所以{a n}∈M．（2）设等差数列{a n}的公差d，则数列{a n+n}是等差数列，首项为a1+1，公差为d+1，令T n 为{a n+n}的前n项和，因{a n+n}∈M，则∀n∈N*，a n+1+n+1≤T n，当n=1时，a2+2≤T1=a1+1，于是得d≤-1，∀n∈N*，a1+1+n（d+1）≤n（a1+1）+ n(n−1)2•（d+1）⇔ d+12•n2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）≥0，当d+12＜0时，二次函数y= d+12•x2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）开口向下，则必存在某个正数A，当x＞A时，y＜0，于是有d+12•n2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）≥0对∀n∈N*成立，必有d+12≥0，即d≥-1，因此，d=-1，则有（a1+l）（n-1）≥0对∀n∈N*成立，解得a1≥-1，于是a2021=a1+2020d=-2020+a1≥-2021，所以a2021的取值范围[-2021，+∞）．（3）因数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，则{a n}的前n项和S n有a n+1≤S n对∀n∈N*成立，于是得S n+1-S n≤S n⇔ S n+1S n ≤2，则S n+1= S n+1S n• S nS n−1• S n−1S n−2•…• S2S1•S1≤2n a1，显然a n+2≤S n+1≤2n a1，当n≥3时，a n≤2n-2a1，而a2≤S1=22-2a1，因此，∀n∈N*，n≥2，恒有a n≤2n-2a1，对∀n∈N*，n≥2时4na n ≥ 4n2n−2a1= 4a1，当n=1时，4na n= 4a1，假设数列{ 4na n}中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为cn+b（c，b 为常数），则存在m∈N*，m≥n，使得cn+b≥ 4ma m ≥ 4a1•2m≥ 4a1•2n，即ca1n+ba1≥2n+2，当n∈N*，n≥3时，令f（n）= n 22n+2，则f（n+1）-f（n）= (n+1)22n+3- n22n+2= 2−(n−1)22n+3＜0，即f（n+1）＜f（n）≤f（3）= 932＜1，于是当n∈N*，n≥3时，2n+2＞n2．从而有当∈N*，n≥3时，ca1n+ba1＞n2，即n2-ca1n-ba1＜0，依题意，不等式n2-ca1n-ba1＜0在n≥3上有无穷多个解，又二次函数y=x2-ca1x-a1b图象开口向上，则必存在某个大于3的正数A0，当x＞A0时，y≥0，从而得不等式n2-ca1n-ba1＜0在n≥3上的整数解不会超过A0，只有有限个，不可能有无穷多个解，因此，假设数列{ 4na n}中存在无穷多项依次成等差数列是错的，所以数列{ 4na n}中不可能存在无穷多项依次成等差数列．【点评】：本题主要考查数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探究数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决，属于难题．。
上海市交大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
上海市交大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知点D 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 的中点，则下列等式中不恒成立的是( )A. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗C. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗D. (CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 2. 过双曲线x 2a−y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F 作平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P 在圆心为(2c,0)，半径为√5a 的圆内，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (1,√5)C. (√2,+∞)D. (√5,+∞) 3. 已知点A(−2,m)，B(m,4)，且直线AB 的斜率为1，则m 的值( )A. 1B. 3C. 0D. 2√2 4. 在△ABC 中，∠C =90°，且CA =CB =3，点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 18B. 3C. 15D. 9二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 22+y 2=1上有三点A,B,C ，满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =52BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线OA,OB 的斜率之积为 ．6. 在平面直角坐标系中，O 是原点，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，P 是平面内的动点，若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则P 点的轨迹方程是______ ．7. 点(1,−1)到直线3x −4y +3=0的距离是______． 8. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =____________． 9. 行列式|−1024|的值为__________． 10. 点A(2,2)关于直线2x −4y +9=0的对称点的坐标为_____________．11. 已知直线l ：ax +y +2=0及两点P(−2,1)，Q(3,2)，若直线l 与线段PQ 有公共点，则a 的取值范围是______．12. 点P 为x 轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|+|PB|的最小值是________．13. 直线y =x +b 与曲线x +√1−y 2=0恰有一个公共点，则b 的取值范围是__________． 14. 无论x ，y ，z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列四个命题：①若x//y ，x//z ，则y//z ； ②若x ⊥y ，x ⊥z ，则y ⊥z ； ③若x ⊥y ，y//z ，则x ⊥z ；④若x 与y 无公共点，y 与z 无公共点，则x 与z 无公共点； 其中正确命题序号为______．15. 已知点A (1,1),B,C 为圆O:x 2+y 2=4上的两动点，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，若圆O 上存在点P 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0)，则实数m 的取值范围是_________.16. 已知圆x 2+y 2−4x +2y +4=0与圆x 2+y 2−(2b −10)x −2by +2b 2−10b +16=0相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，且满足x 12+y 12=x 22+y 22，则b =________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知定点P(−2,−1)和直线l ：(1+3λ)x +(1+2λ)y −(2+5λ)=0(λ∈R ).(1)求证：直线l 过某个定点，并求出该点的坐标； (2)求证：不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于√13．18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1．(1)若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角θ为π4，求|a ⃗ +b ⃗ |； (2)若(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．19. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC =1，D 是边BC 上一点，DC =2DB ，求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .20. 已知动点M(x,y)到定点A(1,0)的距离与M 到直线l ：x =4的距离之比为12．①求点M 的轨迹C 的方程；②过点N(−1,1)的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，且N 为线段PQ 中点，求直线PQ 的方程．21. 在平面直角坐标系xOy 中，设过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，求线段MN 的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ )≠CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗，因此不恒成立．B .由投影的定义和射影定理可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，因此恒成立； C .同B 可知：正确；D .由等腰直角三角形ABC ，∴CB =CA ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，因此恒成立； 综上只有：A 不正确． 故选：A ．根据向量的数量积运算、平行四边形法则、投影的定义、射影定理、向量垂直与数量积的关系加以逐个判断即可本题考查了向量的数量积运算、平行四边形法则、投影的定义、射影定理、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2.答案：A解析： 【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点与圆的位置关系，以及转化思想和不等式的解法，属于中档题．求得圆的方程，以及双曲线的渐近线方程，右焦点F(c,0)，设过右焦点F 作平行于一条渐近线的直线为y =ba (x −c)，与另一条渐近线y =−ba x 交于点P(12c,−bc2a )，代入圆方程左边，令右边小于0，解不等式，结合离心率公式可得所求范围． 【解答】解：圆心为(2c,0)，半径为√5a 的圆的方程为(x −2c)2+y 2=5a 2， 双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，右焦点F(c,0)，设过右焦点F 作平行于一条渐近线的直线为y =ba (x −c)， 与另一条渐近线y =−ba x 交于点P(12c,−bc2a )， 由题意可得(12c −2c)2+(−bc2a )2<5a 2，即9c 2a 2+b 2c 2<20a 4， 可得c 4+8c 2a 2−20a 4<0， 可得e 4+8e 2−20<0， 可得e 2<2，即有1<e <√2， 故选：A ．3.答案：A解析： 【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题，根据直线的斜率公式求解即可. 【解答】解：过点A(−2,m)，B(m,4)的直线l 的斜率为4−mm+2=1， 解得m =1． 故选A ．4.答案：A解析：解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴A 是BM 的中点， ∴2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CA ⊥CB ，CA =CB =3，∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =18． 故选：A ．用CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5.答案：−12解析： 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和直线的倾斜角与斜率． 利用平面向量的坐标运算和直线的斜率计算公式计算得结论．【解答】解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)， 因为OP →=2AO →， 所以P (−2x 1,−2y 1)． 因为BP →=52BC →，所以(−2x 1−x 2,−2y 1−y 2)=52(x 3−x 2,y 3−y 2)， 得{x 3=35x 2−45x 1y 3=35y 2−45y 1． 代入椭圆方程得(35x 2−45x 1)22+(35y 2−45y 1)2=1，即1625(x 212+y 21)+925(x 222+y 22)−2425(x 1x 22+y 1y 2)=1(∗)，因为点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)都在椭圆x 22+y 2=1上，所以x 212+y 21=1，x 222+y 22=1;代入(∗)得x 1x 22+y 1y 2=0，即y 1y 2x1x 2=−12．所以直线OA ，OB 的斜率之积为−12． 故答案为−12．6.答案：y 2=2x −1解析：解：设P(x,y)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， 又因为|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以(x −1)2+y 2=x 2，整理得y 2=2x −1．故答案为：y 2=2x −1．利用|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，化简，即可得出结论．本题考查向量的运算，求轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：2解析：解：点(1,−1)到直线3x −4y +3=0的距离d =√32+(−4)2=2． 故答案为：2．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：4解析： 【分析】本题考查向量数量积，利用向量数量积的运算法则以及向量的模的公式求解，属于基础题．求出|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2,|a ⃗ −b ⃗ |2=a 2⃗⃗⃗⃗ −2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2的值相减即可．【解答】解：a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b⃗ |=3， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=32+42=25,|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=9， 相减得4a ⃗ ·b ⃗ =16,a ⃗ ·b ⃗ =4， 故答案为4．9.答案：−4解析： 【分析】本题主要考查行列式的计算，属于基础题． 【解答】解：行列式|−1024|=(−1)×4−2×0=−4． 故答案为−4．10.答案：(1,4)解析：【分析】设出对称点坐标，利用中点在直线上及连线与直线垂直，建立方程组。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第一学期高二数学期中试卷(简答)
交大附中高二期中数学卷2019.11一. 填空题1. 若(2,1)n =-r 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2. 直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=uu u r uu r ，则点P 的轨迹方程是3. 已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是4. 若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则||a b +=r r 5. 三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为10-，则k =6. 点(3,4)P 关于直线1x y -=的对称点的坐标是7. 己知两点(3,4)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围8. 已知点(10,2)A -，(5,7)B ，若在x 轴上存在一点P ，使||||PA PB -最小，则点P 的坐 标为9. 若圆2220)x y R R +=>（和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩；②111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；③11112222a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩；④111222333a x b y c a x b y c a x b y c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部动点，设(,)BP mBC nBA m n =+∈R uu r uu u r uu r ，则m n +的取值范围是12. 若实数1x 、2x 、1y 、2y ，满足22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则1122|1||1|x y x y +-++-的最大值为二. 选择题13. 下列等式中不恒成立的是（ ）A. a b b a ⋅=⋅r r r rB. ()a b a b λλ⋅=⋅r r r rC. 222()a b a b ⋅=⋅r r r rD.22||||()()a b a b a b -=+⋅-r r r r r r 14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y x =轴对称D. 关于原点对称15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=uuu r uuu r ，则PM PN ⋅uuu r uuu r 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9三. 解答题17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.18. 已知(sin ,1)a θ=r ，(1,cos )b θ=r ，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +r r 的最大值；（2）设a r 与b r 的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.19. 在平面上，给定非零向量b r ，对任意向量a r ，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅r r u r r r r . （1）若(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，求1a ur ；（2）设(1,2)b =r ，证明：若位置向量a r 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a ur 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以 原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12OM ON ⋅=-uuu r uuu r ，求t 的值； （3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. arctan22. 24x y +=3.4.5. 14-6. (5,2)7. [,arctan 6]4ππ- 8. (12,0)9. 3 10. （1）（4） 11. [144-12. 2二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.18.（1）3+；（2）]2π. 19.（1）(2,1)a =r ；（2）证明略.20.（1）224x y +=；（2）；（3）(1,1)-.21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）t =；（3）11(,)22Q --，λ=。
上海交大附中学年高二上学期期中考试数学
上海交通大学附属中学09-10学年高二上学期期中考试数学试卷（本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟，答案一律写在答题纸上）命题：李嫣 审核：杨逸峰 校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第_________项。
2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___________。
3．ABC ∆中，AB BC CA ++=_______________。
4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 。
5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =_________。
6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=_________。
7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a =是0a =的充要条件；（3）若a b =，则a b =±；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。
其中为真命题的是___________________。
8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升 ，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下。
9.设111()123f n n=+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=_____________________。
10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 。
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
r b
在
r a
方向上的数量投影为
．
6．已知{an} 为等差数列， an+1 - an > 0 ， a4 = 6 ，且 a2 、 a3 、 a5 成等比数列，则 an =
.
7．若直线 y
= kx -1 与椭圆
x2 5
+
y2 m
= 1恒有公共点，则实数 m 的取值范围是
．
8．点 M ( x1, y1 ) 在函数 y = ex 的图象上，当 x1 Î[0,1) ，则 y1 +1 的取值范围为 .
3 4
, +¥)
，
因为
r a
r -t ×b
³
3 2
，所以
r a
2
-
r 2t a
r ×b
+
t 2 br 2
³
3 4
，
即1+ t2
-
2t
cosq
³
3 4
，得 t 2
-
2t
cosq
+
1 4
³
0
，
因为
t2
-
2t
cosq
+
1 4
的最小值为
0，
所以 D
=
4 cos2 q
-1 =
0 ，解得 cosq
=
±
1 2
，
因为q
rr a, b
=
r b×
rr ra ×br
rr = ar×b = 3 + 2 =
a × b a 10
10 . 2
故答案为： 10 . 2
6． 2n - 2
【分析】设等差数列{an} 的公差为d ，则 d > 0 ，根据已知条件可得出关于 a1 、d 的方程组，
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列等式中不恒成立的是（ ）A.a b b a ⋅=⋅r r r rB.()a b a b λλ⋅=⋅r r r rC.222()a b a b ⋅=⋅r r r rD.22||||()()a b a b a b -=+⋅-r r r r r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。
【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得cos ,,cos ,a b a b a b b a b a b a ⋅=⋅⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，所以a b b a ⋅=⋅r r r r是正确；根据向量的数量积的运算律，可得()a b a b λλ⋅=⋅r r r r是正确；由向量的数量积的运算公式，可得22222222()cos ,,a b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=⋅r r r r r r r r r r ，所以不恒成立；由2222()()||||a b a b a b a b +⋅-=+=-r r r r r r r r，所以是正确的。
故选：C 。
【点睛】试卷第2页，总20页本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2．方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于y x =轴对称 D.关于原点对称【答案】D 【解析】 【分析】将方程中的,x y 分别换为,x y --，以及将x 换成y ，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的x 换为y ，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果. 【详解】将方程中的x 换为x -，方程变为223820x xy y -+=，与原方程相同，故关于y 轴对称；将方程中的y 换为y -，方程变为223820x xy y -+=，与原方程相同，故关于x 轴对称；将方程中的x 换为y ，方程变为223820y xy x -+=，与原方程不同，故不关于直线y x =对称；可知曲线既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，从而得到其关于原点对称； 故选D. 【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.3．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A.无论12k P P 、、如何,总是无解B.无论12k P P 、、如何,总有唯一解C.存在12k P P 、、，使之恰有两解D.存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】○…………装…学校:___________姓名：○…………装…判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩L L ，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ）A.15B.12C.10D.9【答案】A 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM u u u u r 、PNuuur ，根据8PM PN +=u u u u r u u u r ，求出PM PN ⋅u u u u r u u u r 的解析式，再求其最大值． 【详解】由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，试卷第4页，总20页线…………○……线…………○……可得平行线1l 、2l 间的距离为2；以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，(),1PM a ∴=u u u u r 、(),3PN b =u u u r， (),4PM PN a b ∴+=+u u u u r u u u r；8PM PN +=u u u u r u u u rQ ， 2()1664a b ∴++=，a b ∴+=，或a b +=-；当a b +=()2333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++u u u u r u u u r ，它的最大值为2315-+=；当a b +=-时，()2333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+u u u u r u u u r ，它的最大值为(2(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为15． 故选：A 【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．若(2,1)n=-是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan2【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tankα=，即可求解直线的倾斜角。
高二数学期中试卷答案
上海交通大学附属中学2022-2022学年度第一学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题,总分值100分,测试时间90分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在做题卷上〔本试卷允许使用计算器.凡属用计算器所得之值,请精确到小数点后3位〕命题：侯磊 杨逸峰一、填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否那么一律得零分.1、 矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,那么2A －3B=____412513--⎛⎫⎪-⎝⎭_____________.2、 112a =,*11()n n n a a n N a +=+∈,那么4a =____941290_____________.3、 向量AB =(k,1),AC =(1,0),△ABC 是直角三角形,那么k=___0或1_________.4、 向量a 和b 夹角为120°,且|a |=2|b |=5,那么〔2a －b 〕·a =____2254_______. 5、 点P 分有向线段21P P 的比是2,那么P 2分有向线段1PP 所成的比是 -3 . 6、 e 为非零向量,3=AB e ,5-=CD e ,且||||BC AD =,那么四边形ABCD 的形状是等腰梯形 .7、 由1n =,2n ,3n =,…可得的归纳猜测是______*,n n m m m N ++=∈_____________________.8、 假设22121212 (232323)n n n S =++++++,那么lim n n S →∞=_________2_________.9、 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,那么以下命题中正确的选项是__1、2、4_______〔填写正确命题的编号〕.（1） 2(,)n S an bn a b R =+∈,那么{}n a 为等差数列；（2） 数列{}n a 为等差数列,那么必存在实数,k l 使得n a kn l =+；（3） {}n a 为等差数列,那么数列()n a n b c c R =∈为等比数列； （4） {}n a 为等比数列,且lim 5n n S →∞=,那么lim 0n n a →∞=10、用数学归纳法证实“1+21+31+…+121-n ＜n 〔n ∈N *,n ＞1〕〞时,由n =k 〔k ＞1〕不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是 2k 项 .11、a 、b 为两个非零向量,有以下命题：①2a =2b ,②a ·b =2b ,③|a |=|b |且a ∥b ,以其中两个为条件,一个为结论的真命题有__2_______个.12、对n 个向量a 1→,a 2→,……,a n →,假设存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,……,k n ,使得k 1a 1→＋k 2a 2→＋……＋k n a n →＝0,那么称向量a 1→,a 2→,……,a n →是“线性相关〞的,按此规定,能说明平面向量1(2,0)a =,2(1,1)a =-,3(2,2)a = “线性相关〞的实数k 1,k 2,k 3依次可以取__-2、2、1__________.二、选择题〔本大题总分值12分〕本大题共有4题,每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内,选对得3分,不选、选错或者选出的代号超过一个〔不管是否都写在空格内〕,一律得零分.13、在100和200之间能被3整除的所有数的和是( A )(A) 4950(B) 9900(C) 4800 (D) 9600 14、以下命题正确的选项是(C)(A) 向量AB 与CD 是平行向量,那么直线AB 与CD 平行(B) 设A 、B 、C 、D 是某个四边形的四个顶点,那么这个四边形是平行四边形的充要条件是AB =DC(C) 非零向量a 与b 平行,那么a 与b 方向相同或相反(D) 单位向量都相等15、G 为△ABC 内一点,且满足AG BG CG →+→+→=→0,那么G 为△ABC 的 (D )(A) 外心(B) 内心(C) 垂心(D) 重心16、数列{}n a 满足递推公式*14()n n a a n N +=-∈,那么以下表达正确的选项是(D)(A) 数列{}n a 是单调递增数列 (B) 数列{}n a 极限必不存在 (C) 数列{}n a 的前n 项和S n =2n(D) 以上都不对三、解做题〔本大题总分值52分〕本大题共有6小题,解答以下各题必须写出必要的步骤.17、〔此题总分值6分〕矩阵121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()111B =-,4610C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求：(AB)C 和(3A-2C)B.解：18()()821618AB C A BC ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5555(32)611166617171717A C B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭18、〔此题总分值8分〕数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n -8,（1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1) 1121nn n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,得282141n n n a n -≥⎧=⎨-=⎩. 〔2〕0n a ≥得4n ≥,所以3324nn n S n T S S n -≤⎧=⎨-≥⎩,227837324n n n n T n n n ⎧-++≤=⎨-+≥⎩. 19、〔此题总分值8分〕数列{a n }是等比数列,首项a 1＝8,公比q>0,令b n ＝log 2a n ,设S n 为{b n }的前n 项和,假设数列{b n }的前7项的和S 7最大,且S 7≠S 8,求数列{a n }的公比q 的取值范围.解：由题意得67178111110101a a q a a q q q ⎧≥≥⎧⎪⎪<⇔<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩,解得：317222q --≤<.20、〔此题总分值10分〕向量OP =〔2,1〕,OA =〔1,7〕,OB =〔5,1〕,设X 是直线OP 上的一点〔O 为坐标原点〕,求XA XB •的最小值及取到最小值时X 点的坐标. 解：设(2,)OX kOP k k ==,那么2(12)(52)(7)(1)5(2)8XA XB k k k k k •=--+--=--, 那么当k=2时,XA XB •取到最小值-8,此时(4,2)OX =,即X 点坐标(4,2).21、〔此题总分值10分〕如图,连接平行四边形ABCD 的一个顶点B 与AD 、DC 边的中点E 、F, BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点, 〔1〕设AB a =,AD b =,AR AC λ=,试用a ,b 和λ表示ER 、EB 〔λ不需要求出〕 〔2〕求证：AR=RT=TC.解：〔1〕11()()22ER b a b a b λλλ=-++=+-12EB a b =- .〔2〕证实：E 、R 、B 共线,所以1(1)2AR b a μγμγ=++=,得2λγμλ=⎧⎪⎨=⎪⎩,得13λ=,即AR=1/3 AC,同理TC ＝1/3 AC,所以AR=RT=TC.22、〔此题总分值10分〕二次项系数为正的二次函数)(x f 对任意R ∈x ,都有)1()1(x f x f +=-成立,设向量=a 〔sin x ,2〕,=b 〔2sin x ,21〕,=c 〔cos2x ,1〕,=d 〔1,2〕,当∈x [0,π]时,求不等式f 〔⋅a b 〕＞f 〔⋅c d 〕的解集. 解：)(x f 开口向上,对称轴x=1,所以f 〔⋅a b 〕＞f 〔⋅c d 〕|1||1|a b c d ⇔⋅->⋅-,即2|2sin 11||cos 221|x x +->+-,整理得222sin 2cos x x >,所以344x ππ<<.。