二向应力状态分析--解析法和图解法

2
大 27.5 大

1
- 70 0 - 70 - 0 2 ( ) (50) 2 2 2
26MPa -96MPa
3
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70
二向应力状态
50
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa
大
3 主单元体
大
2 求主平面位置
x 60MPa， -40MPa, xy -30MPa, y
xy
x
max
x - y 2 2 ( ) xy 2 3400
3 主平面的位置
x 60MPa，
xy -30MPa,
y -40MPa,
y
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方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义 以及正负号规定
n

x
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问题
已知原始单元体互相垂直面上的应力
y yx
y
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x
y
xy x x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位置？？）
简单方法 主（应力）单元体
1 习惯直角坐标系按公式确定 绝对值小于45度角的
0
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2 判断
给出原始单元体中代数值大的那个正应力 面的法线方向(的区间)
3 判断 最大主应力(的区间) (两个切应力箭头指向决定) 4
第一主应力方向
大(求出的主应力)
之间夹角
(小)
大(原始单元体中代数值)
切应力为零的面为主平面

0
x - y
2
2 τ xy
tan 2 0＝－
x - y
0 0 90
O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。 这一主平面上的主应力等于零
2
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yx

xy
y
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
-
x - y
sin 2 - xy cos 2
90 x y
0

即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数
自学提纲 一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
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自学§7-4
二向应力状态分析-图解法
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆 三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
(1)
四、 几种特殊应力状态的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆 2 ：纯剪切应力状态的应力圆
2 50 10 tg 2 0 x - y - 70 - 0 7 2 xy
0 27.5 或117.5
逆时针转?
主应力、主平面
max min

(
x - y
2
2 )2 xy
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max min


x y
例题3
P
70
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50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
max x y - y 2 x xy min 2 2
y
dA
- x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x


xy

t
n
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yx
dA
x



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- 90
yx
0
xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理
二
主平面、主应力与主应力方向
1 切应力为零的面为主平面??
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2 主应力 主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
2
(
x - y
2
2 )2 xy
''' 0
tan 2 0＝－
2 τ xy
x - y
0 0 90O
30

xy 20MPa, yx -20MPa, 30
x y
2
10MPa
x - y
2
cos 2 - xy sin 2
b
30
20MPa
x

0
30
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60 2 2
1
?????
1 68.3MP a, 2 0, 3 -48.3MP a 二向应力状态 若 y 0, 二向应力状态
特别说明
y 0,
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二向应力状态
xy
x
横力弯曲 中性轴
除了梁顶(底)
其它点
xy
中性轴
圆轴扭转
二向应力状态
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
二
主平面、主应力与主应力方向 x y x - y cos2 - xysin2 2 2

1
x - y
2
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sin2 xy cos2
sin2 0 xy cos2 0 0
(
O
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x y
2
x - y
2
2 )2 xy
''' 0
max min
(
x - y
2
2 )2 xy
例题2：一点处的应力状态如图。 已知
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x 60MPa， xy -30MPa,
2 2
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x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
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解：x 10MPa, y -30MPa
20MPa
a
300
xy
x
tg 2 0 -
2 xy
- 60 0. 6 60 40
0 15.5 ,
x - y
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
wk.baidu.com
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力方向
3 方向：0 105.5 ---主平面的法线方向 主应力
y
dA - (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos x yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力 与切应力 x y x - y cos2 - xysin2
yx
x
y
左 右 面 上 的 切 应力
xy
x
各量的含义 1) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 )
1 方向角与应力分量的正负号规定 正应力正负规定 拉应力为正压应力为负 切应力正负号规定
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x y
' '
xy
yx
y
外法线
使微元或其局部顺时针方向转动为正； 反之为负
68.3MPa
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x x y - ( x - y ) 2 2 min xy 2 2
-48.3MPa
排序??
1 68.3MP a, 2 0, 3 -48.3MP a
2 面内最大切应力
y
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σ
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σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y

x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
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d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
4
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主(应力)单元体：
0 15.5 ,
x 60MPa，
0 15.5 90 105.5
y
y -40MPa, 转向逆时针? 3 最大主应力
(代数值大)
xy -30MPa,
?????
xy
x
15 .5 起点 代数值大
由此得出另一特征角，用α1表示
tan 21＝
x - y
2 τ xy
tan 21＝
x - y
2 τ xy

max min
x - y
2
sin21 xy cos21
2 )2 xy
得到α 的极值

(
x - y
2
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解决问题的方法
平衡
的思想
2、单元体的局部平衡
y yx
y
n+
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x

xy x x x
y

xy


yx
y
2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
+ 0
x


xy

t
n
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yx
dA
y -40MPa,
y
xy
x
1 主应力大小 2 （面内）最大切应力 3 主平面位置 4 绘出主（应力)单元体
1 主应力计算
正应力的两个极值就是 两个主应力
x 60MPa， -40MPa, xy -30MPa, y
y
xy
x y x - y 2 2 公式 max ( ) xy 2 2
特别指出： 上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
二者 不一定 是过一点的所有方向面中切应力的最 大和最小值 切记!
主平面 主应力 面内最大(小)切应力总结
tan 2 0＝－
max min
2 τ xy
x - y

0 0 90
三
面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变 化，因而切应力亦存在极值 x - y sin2 xy cos2 2 对α 求一次导数，并令其等于零；
d ( x - y )cos2 - 2 xy sin2 0 d
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(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
----分析任意斜截面上的应力
任意斜截面上的应力
思路
一
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要求： 1 掌握解决问题的思想
要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
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2
x - y
2
x - y
cos2 0 - xysin2 0
2 )2 xy
max min


x y
2
(
x - y
2
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
1 2 3 就是所谓的应力状态的不变性
主应力是一点应力状态的最终度量


x - y
2
30MPa
-17.32MPa
sin 2 xy cos 2
30
10 30 sin 60 20 cos 60 2
27.32MPa
思考 900 ？

90 ？？
0
x



用 斜截面截取，此截面上的应力为
解出的角度
tan 2＝－
2 τ xy
x - y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ tan 正应力的极值面与主平面重合； 2 0＝－
2 τ xy
x - y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan 2 0＝－
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2 τ xy

x y