第4章随机变量数字特征习题及答案
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第4章 随机变量的数字特征
一、填空题
1、设X 为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 )()(Y E X E >
2、设X 为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于)()(Y D X D > .
3、已知随机变量X 服从二项分布，且44.1)(,4.2)(==X D X E ，则二项分布的参数
n = 6 , p = 0.4 .
2
1= 1/2 .
要条件是XY XY 不相关 ，当1||=XY ρ时， X 与Y 几乎线性相关 .
9、若4)(,8)(==Y D X D ，且Y X ,相互独立，则=-)2(Y X D 36 .
10、若b a ,为常数，则=+)(b aX D )(2
X D a .
11、若Y X ,相互独立，2)(,0)(==Y E X E ，则=)(XY E 0 . 12、若随机变量X 服从]2,0[π上的均匀分布，则=)(X E π .
13、若4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=),cov(Y X 12 ，=+)(Y X D 85 ，
=-)(Y X D 37 .
14、已知3)(=X E ，5)(=X D ，则=+2)2(X E 30 .
15、若随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧<≥=-0
0)(x x e x x ϕ，则=)2(X E 2 ，
=
-)(2X
e
E 1/3 .
二、计算题
1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X
2、问平均射]
∴ 33)1(3)1(2)(2
2
+-=-+-+=p p p p p p X E
答：略
3、设X 的密度函数为⎩⎨
⎧≤≤=其它
102)(x x
x f ，求)(X E 、)(X D
解: ⎰
⎰
=
=
=
+∞
∞
-1
2
3
2d 2d )()(x x x x xf X E
⎰
⎰
=
=
=
+∞
∞
-1
3
2
2
2
1
d 2d )()(x x x x f x X E
故 18
1
)32(21))
(()()(22
2
=
-=-=X E X E X D
4、(拉普拉斯分布)X 的密度函数为)(2
1)(|
|+∞<<-∞=
-x e
x f x ，
求. )(X E 、)(X D 解: 0d e
2
1 )(==
-+∞
∞
-⎰
x x
X E x
2
e
2 e d 2d e
2e
e
d d e
d e 2
1 )(0
2
02
2
2
2
=-=-=+-=-==
=
∞+--∞+-∞
+∞+--+∞
-+∞
-+∞
∞
-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x x x
X E
故 2))(()()(22=-=X E X E X D
5、设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤-+-<=1 ,111 ,arcsin 1 ,0)(x x x b a x X F
求 a 、b 、)(X E 、)(X D . 解: X 为连续型随机变量，
∴ )(x F 为连续函数. ∴ 0 ),1()1(2
=-⇒-=--
b a F F π
∴ 1 ),1()1(2
=+
⇒=+b a F F π
可解得; 2
1
=
a , π
1
=
b .
X 的概率密度
⎪⎩
⎪
⎨⎧
<-='=其它 ,01,11)()(2x x x F x f π
⎰
⎰
-+∞
∞
--=
=
1
1
2
d 1d )()(x x
x
x x xf X E π=0
⎰
⎰
-=
-==-1
2
2
1
1
2
2
2
d 12
d 1)()(x x
x
x x
x
X E X D ππ
π
令 t x s i n =，则 2
1d sin
2
)(2
2
=
=
⎰
π
π
t t X D
6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以X 表示同时需调整的部件数，求)(X E 、)(X D
解: 设i A 表示第i 个部件需调整，i =1,2,3 ⎩⎨
⎧=不发生，
，发生
i i i A A X 0 ,1 则 321X X X X ++=
[]3,2,1 )(1)()( ),()(=-==i A P A P X D A P X E i i i i i 故 6.03.02.01.0)()()()(321=++=++=X E X E X E X E
46
.07.03.08.02.09.01.0 )
()()()(321=⨯+⨯+⨯=++=X D X D X D X D
7、对圆的直径作近似测量，设其值X 均匀分布在区间],[b a 内，求圆面积的数学期望.
解: 因为X ~),(b a U ，所以X 的密度
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它
0, ,1)(b
x a a b x f
设Y =“圆面积”，则 Y =
2
4
X
π
，所以
)(12
d 4
4
)(2
22
2
b ab a x a
b x
π
)X
πE(X E b
a
++=
-=
=⎰π
.
8、设随机变量e(2)~X 、e(4)~Y ，求)(Y X E +、)32(2
Y X E -.