第4章随机变量数字特征习题及答案

第4章 随机变量的数字特征

一、填空题

1、设X 为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 )()(Y E X E >

2、设X 为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于)()(Y D X D > .

3、已知随机变量X 服从二项分布，且44.1)(,4.2)(==X D X E ，则二项分布的参数

n = 6 , p = 0.4 .

2

1= 1/2 .

要条件是XY XY 不相关 ，当1||=XY ρ时， X 与Y 几乎线性相关 .

9、若4)(,8)(==Y D X D ，且Y X ,相互独立，则=-)2(Y X D 36 .

10、若b a ,为常数，则=+)(b aX D )(2

X D a .

11、若Y X ,相互独立，2)(,0)(==Y E X E ，则=)(XY E 0 . 12、若随机变量X 服从]2,0[π上的均匀分布，则=)(X E π .

13、若4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=),cov(Y X 12 ，=+)(Y X D 85 ，

=-)(Y X D 37 .

14、已知3)(=X E ，5)(=X D ，则=+2)2(X E 30 .

15、若随机变量X 的概率密度为⎩⎨

⎧<≥=-0

0)(x x e x x ϕ，则=)2(X E 2 ，

=

-)(2X

e

E 1/3 .

二、计算题

1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X

2、问平均射]

∴ 33)1(3)1(2)(2

2

+-=-+-+=p p p p p p X E

答：略

3、设X 的密度函数为⎩⎨

⎧≤≤=其它

102)(x x

x f ，求)(X E 、)(X D

解: ⎰

⎰

=

=

=

+∞

∞

-1

2

3

2d 2d )()(x x x x xf X E

⎰

⎰

=

=

=

+∞

∞

-1

3

2

2

2

1

d 2d )()(x x x x f x X E

故 18

1

)32(21))

(()()(22

2

=

-=-=X E X E X D

4、(拉普拉斯分布)X 的密度函数为)(2

1)(|

|+∞<<-∞=

-x e

x f x ，

求. )(X E 、)(X D 解: 0d e

2

1 )(==

-+∞

∞

-⎰

x x

X E x

2

e

2 e d 2d e

2e

e

d d e

d e 2

1 )(0

2

02

2

2

2

=-=-=+-=-==

=

∞+--∞+-∞

+∞+--+∞

-+∞

-+∞

∞

-⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

x

x

x

x

x

x

x

x x x x x x x x x

X E

故 2))(()()(22=-=X E X E X D

5、设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≤-+-<=1 ,111 ,arcsin 1 ,0)(x x x b a x X F

求 a 、b 、)(X E 、)(X D . 解: X 为连续型随机变量，

∴ )(x F 为连续函数. ∴ 0 ),1()1(2

=-⇒-=--

b a F F π

∴ 1 ),1()1(2

=+

⇒=+b a F F π

可解得; 2

1

=

a , π

1

=

b .

X 的概率密度

⎪⎩

⎪

⎨⎧

<-='=其它 ,01,11)()(2x x x F x f π

⎰

⎰

-+∞

∞

--=

=

1

1

2

d 1d )()(x x

x

x x xf X E π=0

⎰

⎰

-=

-==-1

2

2

1

1

2

2

2

d 12

d 1)()(x x

x

x x

x

X E X D ππ

π

令 t x s i n =，则 2

1d sin

2

)(2

2

=

=

⎰

π

π

t t X D

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以X 表示同时需调整的部件数，求)(X E 、)(X D

解: 设i A 表示第i 个部件需调整，i =1,2,3 ⎩⎨

⎧=不发生，

，发生

i i i A A X 0 ,1 则 321X X X X ++=

[]3,2,1 )(1)()( ),()(=-==i A P A P X D A P X E i i i i i 故 6.03.02.01.0)()()()(321=++=++=X E X E X E X E

46

.07.03.08.02.09.01.0 )

()()()(321=⨯+⨯+⨯=++=X D X D X D X D

7、对圆的直径作近似测量，设其值X 均匀分布在区间],[b a 内，求圆面积的数学期望.

解: 因为X ~),(b a U ，所以X 的密度

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它

0, ,1)(b

x a a b x f

设Y =“圆面积”，则 Y =

2

4

X

π

，所以

)(12

d 4

4

)(2

22

2

b ab a x a

b x

π

)X

πE(X E b

a

++=

-=

=⎰π

.

8、设随机变量e(2)~X 、e(4)~Y ，求)(Y X E +、)32(2

Y X E -.