【高等数学 东南大学】双曲函数

2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ， 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在(0, ) 内 单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y chx
o
x
1
o
1 ch2 x
。
在这里仅证公式（1）。
shxchy chxshy
ex ex ey ey ex ex ey ey
2
2
2
2
exy e yx exy e(xy) exy e yx exy e(xy)
4
4
e x y e(x y) sh(x y) 。 2
（五）反双曲函数
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
（1）双曲正弦函数： shx ex ex ， 2
（2）双曲余弦函数：chx ex ex ， 2
（3）双曲正切函数：thx
shx chx
ex ex
ex ex
。
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
在 y shx e x ex 中令ex u ，得 2
u2 2uy 1 0 ，u y y2 1 ，
∵u ex 0 ，∴u y y2 1 ，
即ex y y2 1 ， x ln( y y2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x2 1 ) ，x (, ).
（六）反双曲函数的图象
y y arshx
y y archx
o
x
o1
x
y y arthx
-1 o
1
x
（1）反双曲正弦函数： arshx ln( x x2 1 ) ， x (, ) ；
（2）反双曲余弦函数： archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
另一支为 archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
（3）反双曲正切函数： arthx 1 ln 1 x ，x (1, 1) 。 2 1 x
x
y
1
o
-1
y thx
x
（四）双曲函数之间的关系式
（1） sh(x y) shxchy chxshy ；
（2） ch(x y) chxchy shxshy ；
（3）sh2x 2shxchx ；
（4） ch2x ch2x sh2x ；
（5）ch2x sh2x 1 ；
（6）1 th2x