【高等数学 东南大学】双曲函数
双曲函数
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数：
1、定义：双曲函数是一种定义域为实数域或复数域，取值域为实数或复数的函数，其曲线是关于原点成对的对称的双曲线，即上下对称的双曲线。
2、基本形式：双曲函数的一般形式表达式为：y=A*tanh（BX+C）或者y=A*coth（BX+C），A、B、C均为常数，A为双曲函数的拉伸系数，B决定双曲函数的斜率，C决定双曲函数的位移。
3、特点：
（1）双曲函数的大致形状和正弦函数类似，但是它的斜率比正弦函数更快；
（2）双曲函数是非线性函数，它可以用来模拟非线性系统；
（3）双曲函数的函数值不会无限接近于零，也就是说，双曲函数的函数值是有界的；
（4）双曲函数的导数和自身具有固定的比例关系，该关系仅仅取决于双曲函数的参数B。
4、应用：双曲函数在电动机控制、机器人控制、电参量控制、自动控
制等方面有着重要的应用，并且可以用来替代正弦函数和余弦函数在相应领域内的应用。
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数是一种特殊函数，它由双曲线表示，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处。
双曲函数表示为：
y=a*sinh(x*b)+c
其中，a，b，c为常数。
双曲函数的特性有：
1. 对称性：双曲函数的函数图像关于y轴是对称的，也就是说，函数图像对称的两边的点的横坐标相等，而其纵坐标则是相反的；
2. 单调性：双曲函数的函数图像从一端到另一端是单调的，即从一端到另一端的函数值的变化是单调的；
3. 连续性：双曲函数的函数图像是连续的，也就是说，函数图像上每个点都与其他点没有断点；
4.无限性：双曲函数的函数图像是无限的，也就是说，函数图像一直延伸到正负无穷大，而不会停止。
双曲函数有很多应用，比如在物理学中，它被用来描述电荷在自由空间中的运动；在数学中，它被用来描述正弦函数、余弦函数等函数的变化；在工程学中，它被用来描述抛物线的变化等。
双曲函数的另一个重要用途是，它可以用来求解椭圆方程，这使得椭圆在很多领域都得到了应用。
因此，双曲函数是一种特殊函数，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处，它的应用极其广泛。
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
积分变换 东南大学 第四版第二章3节
( 2)
为 Lnz 的一单值函数 , 称为 Lnz 的主值 (主值支 )
故
Lnz = ln z + i 2kπ
(k ∈ Z )
例如 当 z = a > 0 Lnz 的主值 ln z = ln a Lnz = ln a + 2π ik k ∈ Z 当 z = a ( a > 0) Lnz 的主值 ln z = ln a + πi Lnz = ln a + ( 2 k + 1)πi 特别 a = 1 ln( 1 ) = ln 1 + π i = π i
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1) shz , chz 都是以 2π i为周期的函数
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3 ) ( chz )' = shz
( shz )' = chz
shz 和chz 在整个复平面内处处解 析
4) 由定义 shiy = i sin y chiy = cos y ch( x + iy) = chx cos y + ishx sin y
Ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 )π i
1) w = Lnz 不仅对正数有意义 ,对一切非零 复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性 ,这与实函数不同 . (2) 对数函数的性质 2 1) Ln( z1 z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 , 但 Lnz ≠ 2 Lnz
其它三角函数的定义(详见P51) 1 sinz cosz 1 secz = cscz = tanz = cotz = sinz cosz sinz cosz
定义
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数是一种常见的数学函数，在几何图形和函数有很多应用。
双曲函数能表示级数封闭形成，是一种方便可靠的表示形式。
在微积分学中，级数封闭形的应用很广，如傅里叶级数和拉普拉斯级数等等。
几何图形上也有很多应用，使得空间图形的描绘更加精确和清晰。
双曲函数形式描述类似如下：y=a/b*cosh(x/b)。
其中，a为函数在原点处的加权因子，b为函数图像弯曲因子，cosh为双曲函数。
双曲函数表示级数封闭形和式，需要满足四个条件：一是双曲函数主值无穷大；二是双曲函数的变量单位长度，双曲函数在每个变量单位长度上的变化量都是恒定的；三是变量的变化趋势，变量变化的趋势必须保持一致；四是级数封闭形，双曲函数的变量有上限，参数变量的级数封闭形态。
双曲函数表示级数封闭形和式，可用于几何图形的描绘中，可以起到非常好的参考作用。
它对于函数的研究也有很多的帮助，有助于精确地描绘函数性质和变化趋势，以识别重要的函数表解析几何关系。
总之，双曲函数表示级数封闭形和式，是一种方便可靠的表示形式，在微积分学和几何图形等方面，都有很多应用，可以用来表示几何图形更加精确和清晰，以及拓展函数学研究，是一种重要的数学工具。
高等数学课件：双曲函数介绍
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
y chx
o
x
1
o
1 ch2 x
。
在这里仅证公式（1）。
shxchy chxshy
ex ex ey ey ex ex ey ey
2
2
2
2
exy e yx exy e(xy) exy e yx exy e(xy)
4
4
e x y e(x y) sh(x y) 。 2
（五）反双曲函数
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
在 y shx e x ex 中令ex u ，得 2
u2 2uy 1 0 ，u y y2 1 ，
∵u ex 0 ，∴u y y2 1 ，
即ex y y2 1 ， x ln( y y2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x2 1 ) ，x (, ).
双曲函数
（一）双曲函数的定义
（1）双曲正弦函数： shx ex ex ， 2
（2）双曲余弦函数：chx ex ex ， 2
（3）双曲正切函数：thx
shx chx
ex ex
ex ex
。
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y y arshx
y y archx
o
双曲函数知识点总结
双曲函数知识点总结双曲函数的定义域是实数集，而值域是实数，它们的定义如下：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))双曲函数和普通的三角函数在函数定义和性质上有一些类似，但也有很多不同之处。
接下来我们将重点介绍双曲函数的性质、导数和积分等知识点。
一、双曲函数的性质1. 双曲函数的奇偶性双曲正弦函数sinh(x)是奇函数，即sinh(-x) = -sinh(x)双曲余弦函数cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)2. 双曲函数的增减性双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)都是增函数3. 双曲函数的双曲恒等式双曲恒等式是指双曲函数之间的一些关系式，例如：cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))二、双曲函数的导数双曲函数的导数也是双曲函数，具体如下：sinh'(x) = cosh(x)cosh'(x) = sinh(x)tanh'(x) = 1 / cosh^2(x)三、双曲函数的积分双曲函数的积分也是双曲函数，具体如下：∫cosh(x)dx = sinh(x) + C∫sinh(x)dx = cosh(x) + C∫tanh(x)dx = ln|cosh(x)| + C在实际的数学问题中，双曲函数的应用非常广泛，特别是在微积分中的积分计算和微分方程的求解中起到重要作用。
同时，双曲函数也在工程、物理、经济学等应用领域中发挥着重要的作用。
总之，双曲函数在数学中起着重要的作用，它们的定义和性质与普通函数有一些相似之处，但也有很多不同之处。
双曲调和函数及其在数学建模中的应用研究
双曲调和函数及其在数学建模中的应用研究双曲函数在数学中有着极其重要的地位。
其中，双曲调和函数（Hyperbolic Harmonic Function）是双曲函数中的一种形式。
其定义为：$$H_n(x,y)=\int_0^{\infty} \frac{\cos(nt)}{\cosh y-\cos t} e^{-xt} dt。
$$第一个特殊的双曲调和函数是二维空间中的调和函数。
假设我们有一个平面上的区域$\Omega$。
这个区域内不存在任何的同一层的点，也就是说，对于任意的点$(x_0，y_0)\in \Omega$，都有$\Omega$内最小$n$满足：$$H_n(x_0,y_0)=0。
$$这个$n$称为调和函数的阶。
可以进一步证明，这个$n$是唯一的。
调和函数在物理学方面应用广泛。
比如说，我们可以利用它去证明拉普拉斯方程的解在给定区域上唯一。
同时，调和函数也可以在复杂电场的解中进行应用。
比如说，我们有一个均匀且电学性质均匀的球，里面存在一个球形空腔。
通过解调和方程，我们可以得到空腔内电场的分布。
在数学建模中，双曲调和函数可以用来描述液体内部的温度分布。
假设我们有一种液体被分成了许多薄片。
如果我们知道了每个薄片表面和下一个薄片表面之间的热流量，就能够用双曲调和函数计算出液体内部的温度分布。
这个问题可以被表述为：$$\nabla^2 u(x,y) = 0。
$$其中$u(x,y)$是液体中某一个点的温度。
当假设液体边界上的温度为给定常数的情况下，这个方程就会变成一个偏微分方程边值问题。
利用双曲调和函数，可以求解这个边值问题，得到液体内部的温度分布。
除此之外，双曲调和函数还被应用在了养牛场的模型设计中。
在这个模型中，我们需要寻找最优的方案去合理地分配饲料。
可以通过双曲调和函数去建立模型，来解决这个问题。
总的来说，双曲调和函数在数学建模领域中具有广泛的应用。
通过双曲调和函数，我们可以在解决边值问题中，探索更多的有趣性质。
双曲函数与三角函数
双曲函数王希对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。
尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。
除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。
我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。
一、发展历史双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。
他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。
时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。
事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。
一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。
而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。
他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。
18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。
至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。
19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。
伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。
二、函数定义在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。
如图所示：在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。
当然这个「长度」是有正负的。
同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。
如图：具体的定义为，，。
三、函数性质和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
双曲函数
双曲函数[编辑]维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。
最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。
其中的推导也类似于三角函数的推导。
双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。
在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。
目录[隐藏]∙ 1 基本定义∙ 2 与三角函数的关系o 2.1 几何关系∙ 3 恒等式∙ 4 反双曲函数∙ 5 双曲函数的导数∙ 6 双曲函数的泰勒展开式∙7 双曲函数的积分∙8 参考∙9 参见∙10 外部链接基本定义[编辑]sinh, cosh和tanhcsch, sech和coth∙∙∙∙∙∙如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线的右半边。
这是因为有以下的恒等式：同时对于所有的都有。
双曲函数是带有复数周期的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。
函数是关于y轴对称的偶函数。
函数是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x= sinh -x 且。
与三角函数的关系[编辑]双曲函数与三角函数有如下的关系:∙∙∙∙∙∙几何关系[编辑]∙给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数∙在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系: ∙正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
为什么”双曲”在数学中被认为很重要？
为什么”双曲”在数学中被认为很重要？一、双曲线的定义和性质双曲线是二次曲线的一种，由于其独特的形状和重要的数学性质，一直是数学研究中的重要对象。
双曲线可以通过平面上一定点到两条直线距离之差等于常数的定义来描述。
双曲线的性质十分丰富，包括对称性、渐进线、离心率等。
通过对双曲线的研究，我们可以更深入地了解曲线的几何性质和数学规律。
二、双曲函数的应用双曲函数是描述双曲线的函数，它在数学和物理学中有广泛的应用。
双曲函数中最常见的就是双曲正弦函数和双曲余弦函数，它们在微积分、常微分方程、泛函分析等领域都具有重要的应用。
双曲函数具有独特的性质，包括周期性、奇偶性、增减性等，这使得它们在数学分析中有着独特的地位。
三、双曲几何的研究除了函数和曲线的研究之外，双曲曲线还与几何学紧密相关。
双曲几何是非欧几何的一个分支，它与传统的欧几里德几何有着本质的不同。
在传统的欧几里德几何中，直线是无限延伸的，而在双曲几何中，直线的两端是有限的。
这种不同导致了许多有趣的几何性质的出现，如双曲平行线的性质、双曲空间的切线等。
双曲几何的研究不仅拓宽了数学的研究领域，也给我们带来了对现实世界的新认识。
四、双曲变换的应用双曲变换是一种函数变换方法，它在信号处理和数学物理中有广泛的应用。
双曲变换可以将一个函数从时域转换到双曲频域，使得函数在不同域中的性质更加清晰和方便研究。
双曲变换在信号处理中的应用包括滤波、压缩和编码等，它具有高效、稳定和可逆的特点。
另外，在数学物理领域，双曲变换也被广泛应用于微分方程的求解、量子力学的描述等方面。
总结：双曲在数学中被认为很重要，主要体现在以下几个方面：双曲线的定义和性质、双曲函数的应用、双曲几何的研究以及双曲变换的应用。
通过对双曲的研究和应用，我们能够更加深入地了解曲线的几何性质和数学规律，并在物理学、信号处理等领域得到实际应用。
双曲在数学中的重要性不仅仅体现在数学理论层面，更体现在对现实世界的深入认识和应用领域的拓宽。
双曲函数简介.doc
双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以次类推定义 双曲函数（hyperbolic function ）可借助指数函数定义双曲正弦(sinh/sh) 2xx e e shx --=双曲余弦(cosh/ch) 2xx e e chx -+=双曲正切(tanh/th) chx shxe e e e thx xx x x =+-=-- 双曲余切(coth/cth) shxchxe e e e thx cthx x x x x =-+==--1 双曲正割(sech) x x ee chx hx -+==21sec双曲余割(csch)x x ee shx hx --==21csc 其中，指数函数（exponential function ）可由无穷级数定义(Tayor 展开)),(,!!3!21!320+∞-∞∈++++++==∑∞=x n x x x x n x e nn n xΛΛ e 是自然对数的底 e ≈2.71828 18284 59045...=ΛΛ++++++!1!31!21!11!01n ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function ）分别记为ar sh z 、ar ch z 、ar th z 等。
简单介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
(完整版)双曲函数公式汇总
(完整版)双曲函数公式汇总引言双曲函数是数学中的一类特殊函数，与三角函数类似，但具有不同的性质和公式。
本文将对双曲函数的定义、性质和常见公式进行汇总，并提供相应的示例。
双曲函数的定义双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）以及它们的反函数。
它们的定义如下：- 双曲正弦函数（sinh）：$sinh(x)=\frac{{e^x-e^{-x}}}{{2}}$- 双曲余弦函数（cosh）：$cosh(x)=\frac{{e^x+e^{-x}}}{{2}}$- 双曲正切函数（tanh）：$tanh(x)=\frac{{sinh(x)}}{{cosh(x)}}$双曲函数的性质双曲函数具有以下性质：1. 对于任意实数 x，有 $cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1$。
2. 双曲正弦函数是奇函数，即 $sinh(-x) = -sinh(x)$。
3. 双曲余弦函数是偶函数，即 $cosh(-x) = cosh(x)$。
4. 双曲正切函数是奇函数，即 $tanh(-x) = -tanh(x)$。
常见公式下面列举了一些双曲函数的常见公式及其证明：- 双曲函数的和差公式：- $sinh(x_1 + x_2) = sinh(x_1)cosh(x_2) + cosh(x_1)sinh(x_2)$ - $cosh(x_1 + x_2) = cosh(x_1)cosh(x_2) + sinh(x_1)sinh(x_2)$ - $tanh(x_1 + x_2) = \frac{{tanh(x_1)+tanh(x_2)}}{{1 +tanh(x_1)tanh(x_2)}}$- 双曲函数的倍角公式：- $sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)$- $cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)$- $tanh(2x) = \frac{{2tanh(x)}}{{1 + tanh^2(x)}}$- 双曲函数的倒数公式：- $sinh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$- $cosh^{-1}(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$- $tanh^{-1}(x) = \frac{{1}}{{2}}ln(\frac{{1+x}}{{1-x}})$示例以下是一些双曲函数的示例：- 计算 $sinh(0.5)$：sinh(0.5) = (e^0.5 - e^-0.5) / 2 ≈ 0.xxxxxxx- 计算 $cosh(-1)$：cosh(-1) = (e^-1 + e^1) / 2 ≈ 1.xxxxxxx- 计算 $tanh(2)$：tanh(2) = sinh(2) / cosh(2) ≈ 0.xxxxxxx结论本文简要介绍了双曲函数的定义、性质和常见公式，并给出了相关示例。
双曲函数解读
1. 雙曲函數我們在第四節考慮過自然指數函數x e ，在某些應用上，有些特殊的函數是由x e 和x e -所組成。
定義0.6sinh ,cosh 22x x x x e e e e x x ---+== sinh cosh tanh ,coth cosh sinh x x x xx x x xx e e x e e x x x e e x e e -----+====+- 1212sec ,csc cosh sinh x x x x hx hx x e e x e e--====+-這類函數稱為雙曲函數（hyperbolic functions ）。
讀者可以發現雙曲函數的定義類似三角函數的定義，甚至符號也幾乎一樣。
也是先定義sinh x 和cosh x ,分別稱為雙曲正弦（hyperbolic sine ）和雙曲餘弦（hyperbolic cosine ），再由這兩個來定義其餘四個。
在上一節，我們發現三角函數和圓有很密切的關係，事實上(cos ,sin )t t 可看成單位圓221x y +=上某一點的座標，而(cosh ,sinh )t t 可看成雙曲線221x y -=上某一點的座標，參考下圖：圖0-26雙曲函數有一些恆等式類似三角恆等式，讀者可由定義自行驗證之。
(1) sinh()sinh x x -=-(2) cosh()cosh x x -=(3) 22cosh sinh 1x x -=(4) 221tanh sec x h x -=(5) sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+(6) cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=+由雙曲函數的定義，可得到雙曲函數的圖形如下：2. 反雙曲函數由上面的圖形可看出sinh x 和tanh x 在區間(,)-∞∞是1-1的，但cosh x 沒有，如果限制cosh x 的定義域是[0,]∞時，cosh x 也是1-1的，這時它們均會有反函數。
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这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
在 y shx e x ex 中令ex u ，得 2
u2 2uy 1 0 ，u y y2 1 ，
∵u ex 0 ，∴u y y2 1 ，
即ex y y2 1 ， x ln( y y2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x2 1 ) ，x (, ).
（六）反双曲函数的图象
y y arshx
y y archx
o
x
o1
x
y y arthx
-1 o
1
x
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
（1）双曲正弦函数： shx ex ex ， 2
（2）双曲余弦函数：chx ex ex ， 2
（3）双曲正切函数：thx
shx chx
ex ex
ex ex
。
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ， 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在(0, ) 内 单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
y chx
o
x
1
o
1 ch2 x
。
在这里仅证公式（1）。
shxchy chxshy
ex ex ey ey ex ex ey ey
2
2
2
2
exy e yx exy e(xy) exy e yx exy e(xy)
4
4
e x y e(x y) sh(x y) 。 2
（五）反双曲函数
（1）反双曲正弦函数： arshx ln( x x2 1 ) ， (, ) ；
（2）反双曲余弦函数： archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
另一支为 archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
（3）反双曲正切函数： arthx 1 ln 1 x ，x (1, 1) 。 2 1 x
x
y
1
o
-1
y thx
x
（四）双曲函数之间的关系式
（1） sh(x y) shxchy chxshy ；
（2） ch(x y) chxchy shxshy ；
（3）sh2x 2shxchx ；
（4） ch2x ch2x sh2x ；
（5）ch2x sh2x 1 ；
（6）1 th2x