市场策略-投资组合模型
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
相关系数（ ij）是对协方差的重新标度
ij ijij
其中： ij 为证券i和证券j回报率之间的相关系数。相关
系数是对协方差的重新标度，以便于对随机变量之间相对 值的变动特征进行比较。
相关系数介于-1和+1之间 -1的值表明完全负相关，+1的值表明完全正相关 为零时，表明证券收益率之间不存在线性关系
EP EP
每一给定的 ，可以解 E P
出相应的标准差
P
，每
一对（
，
P
）都是标
准差—预期收益率曲线
图的一个坐标点，所有
这些点就连成最小方差
曲线。
退出
h
有效组合边界
C A
B D
min
AB
P
最小方差曲线
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
最小方差曲线内部（即曲线右边）的每一个点代表 这n种资产的一个组合。其中任两个点所代表的两个 组合值组合起来得到新的点（代表一个新的组合）一 定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合 能进一步起到分散风险的作用。
退出
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
在不存在做空机制的风险市场中，投资组合的风险 小于风险的组合
N
p wii i1
表明投资者通过投资组合的确可以降低风险。 ij 越 接近于1，风险降低的程度越小， ij 越接近于-1，
风险降低的程度越大
退出
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证券投资组合模型的求解 h 返回目录
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第六章 投资组合模型
第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
由（6.2.2）式可以建立拉格朗日函数
n n
L
wiwjij
wi E（ri）Ep
n
（
wi
1）
i1 j1
i1
（6.3.1）
分别求（6.3.1）式中w（ i i 1，2，，n）、、 的偏导数，并令其等于0 得
退出
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
投资组合预期收益与风险
一个N种证券组合的预期收益与标准差分别为
N
rp wiri i1
1
P
N
N wiwjij2
i1 j1
r p 为组合的预期回报率 wi、wj 表示组合中投资于证券i或j
r i 为证券i的预期回报率 的比例
可行集也称为机会集，它代表所有可能组合的集合 有效集是指可行集中那些如果投资者不额外增加 风险就无法再提升其预期收益率的的所有投资组合 组成的集合，是可行集的一个子集 有效边界是有效集在风险与预期收益坐标图上的 几何表述，即曲线AC
退出
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
L
wi
2wi
2 i
n
wjij E(ri ) 0
j 1 j i
L
n i1
wi Eri Ep
0
L
n i1
wi
1 0
退出
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（6.3.2）
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第六章 投资组合模型 第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
显然，（6.3.2）式是一个含有n+2 个未知量的线性方程组，为了分析的方便，
EP
C
D
可行集
A
B
退出
min P
P
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
最优规划下的有效资产组合
优化投资组合的过程就是寻求有效投资组合，它是指 在预期收益率一定的条件下，使组合的方差达到最小 ，或在方差一定的条件下，使预期收益率达到最大
min s .t .
退出
第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
系统风险与非系统风险 通过有效的投资组合，可否将风险降至0呢
非系统风
系统风
险
险
P 2iN 1jN 1N 1N 1 ijN 12iN 1 iiN 12iN 1jN 1 ij
ij
当
N
时，
2 p
ij
，在风险市场中
ij
0
通过扩大投资组合（即增加所包含的资产的种类）进行风 险分散化，可以消除非系统风险（企业风险），但不能消
最小方差曲线就是有效边界，它只有右上方的那一 段才有实际意义。理性的投资者都会选择有效边界上 的点进行投资组合。
退出
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第六章 投资组合模型 第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
两基金分离定理：
在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意 两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合， 而有效组合边界上任意其他点所代表的有效投资 组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投 资组合的线性组合生成
除系统风险（市场风险）
退出
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
退出
组合的标准差
60 50 40 30 20 10 0
0
10
20
30
40
50
60
纽约股票交易所股票组合的风险变化
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
可行集、有效集、有效边界
nn
2 P
w i w j ij
i1 j1
n
w i E ri E P
或
i1
n
wi 1
i1
h
n
max
E P w i E ( ri )
i1
s.t .
n
i 1
n
w i w j ij
j 1
2 P
n
i 1
wi
1
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
N为组合中不同证券的数目 ij 表示证券i和证券j的协方差
退出
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
风险相关性度量—协方差与相关系数
协方差（ ij），是两个随机变量相互关系的一种统
计测度。 正值表明证券的回报率倾向于向同一方向变动 负值表明一种证券与另一种证券相背变动的倾向 相对小值或0值表明两种证券回报率之间只有很小
第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
1952年马柯维茨（Harry Markowitz）提出的投资组合理 论通常被认为是现代金融学的发端。这一理论的问世， 使金融学开始摆脱纯粹描述性的研究和单纯经验操作的 状态，数量化方法大量进入金融领域，并成为金融投资 研究的主wenku.baidu.com。
投资组合理论的基本思想是，通过分散化的投资来对 冲掉一部分风险。风险的分散化原理被认为是现代金融 学中惟一“白吃的午餐”，即将多项有风险资产组合到 一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率 ，这也是马科维茨的主要贡献。
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
相关系数（ ij）是对协方差的重新标度
ij ijij
其中： ij 为证券i和证券j回报率之间的相关系数。相关
系数是对协方差的重新标度，以便于对随机变量之间相对 值的变动特征进行比较。
相关系数介于-1和+1之间 -1的值表明完全负相关，+1的值表明完全正相关 为零时，表明证券收益率之间不存在线性关系
EP EP
每一给定的 ，可以解 E P
出相应的标准差
P
，每
一对（
，
P
）都是标
准差—预期收益率曲线
图的一个坐标点，所有
这些点就连成最小方差
曲线。
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有效组合边界
C A
B D
min
AB
P
最小方差曲线
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
最小方差曲线内部（即曲线右边）的每一个点代表 这n种资产的一个组合。其中任两个点所代表的两个 组合值组合起来得到新的点（代表一个新的组合）一 定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合 能进一步起到分散风险的作用。
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
在不存在做空机制的风险市场中，投资组合的风险 小于风险的组合
N
p wii i1
表明投资者通过投资组合的确可以降低风险。 ij 越 接近于1，风险降低的程度越小， ij 越接近于-1，
风险降低的程度越大
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第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
由（6.2.2）式可以建立拉格朗日函数
n n
L
wiwjij
wi E（ri）Ep
n
（
wi
1）
i1 j1
i1
（6.3.1）
分别求（6.3.1）式中w（ i i 1，2，，n）、、 的偏导数，并令其等于0 得
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
投资组合预期收益与风险
一个N种证券组合的预期收益与标准差分别为
N
rp wiri i1
1
P
N
N wiwjij2
i1 j1
r p 为组合的预期回报率 wi、wj 表示组合中投资于证券i或j
r i 为证券i的预期回报率 的比例
可行集也称为机会集，它代表所有可能组合的集合 有效集是指可行集中那些如果投资者不额外增加 风险就无法再提升其预期收益率的的所有投资组合 组成的集合，是可行集的一个子集 有效边界是有效集在风险与预期收益坐标图上的 几何表述，即曲线AC
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
L
wi
2wi
2 i
n
wjij E(ri ) 0
j 1 j i
L
n i1
wi Eri Ep
0
L
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wi
1 0
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第六章 投资组合模型 第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
显然，（6.3.2）式是一个含有n+2 个未知量的线性方程组，为了分析的方便，
EP
C
D
可行集
A
B
退出
min P
P
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
最优规划下的有效资产组合
优化投资组合的过程就是寻求有效投资组合，它是指 在预期收益率一定的条件下，使组合的方差达到最小 ，或在方差一定的条件下，使预期收益率达到最大
min s .t .
退出
第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
系统风险与非系统风险 通过有效的投资组合，可否将风险降至0呢
非系统风
系统风
险
险
P 2iN 1jN 1N 1N 1 ijN 12iN 1 iiN 12iN 1jN 1 ij
ij
当
N
时，
2 p
ij
，在风险市场中
ij
0
通过扩大投资组合（即增加所包含的资产的种类）进行风 险分散化，可以消除非系统风险（企业风险），但不能消
最小方差曲线就是有效边界，它只有右上方的那一 段才有实际意义。理性的投资者都会选择有效边界上 的点进行投资组合。
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第六章 投资组合模型 第三节 投资组合模型的解与两基金分离定理
两基金分离定理：
在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意 两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合， 而有效组合边界上任意其他点所代表的有效投资 组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投 资组合的线性组合生成
除系统风险（市场风险）
退出
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
退出
组合的标准差
60 50 40 30 20 10 0
0
10
20
30
40
50
60
纽约股票交易所股票组合的风险变化
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
可行集、有效集、有效边界
nn
2 P
w i w j ij
i1 j1
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或
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第六章 投资组合模型
第二节 证券投资组合模型
N为组合中不同证券的数目 ij 表示证券i和证券j的协方差
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第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
风险相关性度量—协方差与相关系数
协方差（ ij），是两个随机变量相互关系的一种统
计测度。 正值表明证券的回报率倾向于向同一方向变动 负值表明一种证券与另一种证券相背变动的倾向 相对小值或0值表明两种证券回报率之间只有很小
第六章 投资组合模型
第一节 风险分散与相关分析
1952年马柯维茨（Harry Markowitz）提出的投资组合理 论通常被认为是现代金融学的发端。这一理论的问世， 使金融学开始摆脱纯粹描述性的研究和单纯经验操作的 状态，数量化方法大量进入金融领域，并成为金融投资 研究的主wenku.baidu.com。
投资组合理论的基本思想是，通过分散化的投资来对 冲掉一部分风险。风险的分散化原理被认为是现代金融 学中惟一“白吃的午餐”，即将多项有风险资产组合到 一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率 ，这也是马科维茨的主要贡献。