随机到货下库存管理模型论文

随机到货下库存管理模型的研究摘要：在单期库存模型中，超额需求和剩余库存均不计入下一期。在随机多期模型中，考虑补货提前期是不变或随机的，而补货提前期内的需求假设符合某种概率分布，补货请求发生在研究期内各个时点上。当一个补货请求发出时，并不知道未来货物到达时的库存水平。本文对上述模型进行修改并求解最优的经济补货批量。假设货物的到达属于一个泊松过程，在货物到达的时点，库存状态变成已知，并在此刻做出补货相关的决策。传统的单期或多期库存模型可以看成是本文中模型的特例。

关键词：泊松过程随机补货消失需求净收入预设库存水平

0 引言

对于随机需求的多期库存问题及补货提前期内缺货问题的研究已经比较成熟。连续或不连续需求下，伴随有无延期交货的单期库存问题在经典的报童模型及相关拓展模型中也得到了较好的解决。这些模型的具体内容可参见silver和peterson、周永务、赵晓波的相关论文及著作。rose分析了与一般报童模型相对的即已知需求和不确定补货下的库存管理的若干问题。而本文是对上述模型进行调整并求解。

1 模型

考虑一个典型的库存问题，货物到达属于一个泊松过程，相邻间隔时间服从参数为λ的指数分布：f（τ）=λe-λτ，τ≥0。用s表示预先设定的库存水平，如果用x表示货物到达前一刻的库

存水平，那么补货批量为q=（s-x），如果x是正的，则q小于s，如果x是负值，说明间隔期内由于缺货，部分需求被保留，需要延期交货，此时q大于s。并且我们假设到达的货物数量是足够满足任意补货批量请求的，一旦货物到达，库存随即得到补充。此时，q是一个依赖于相邻货物到达间隔期内需求量的随机变量。同时我们假设需求率为d，且在计划期内保持不变。如果相邻到货间隔期内的需求低于s，该周期结束时存在剩余库存；若需求高于，则出现货物短缺。短缺中一部分得到回补，其占比设为β，其余部分就是消失需求。单位时间单位货物的缺货回补成本设为cb；该成本包括有形与无形部分，有形成本包括给予等待客户的特别折扣、延期交货的管理费用等，无形成本指潜在的信誉损失。对于消失需求导致的成本我们用每单位商品损失cl来表示，其损失主要是由于失去销售机会导致。用cp表示单位货物的补货成本，假设它与补货批量q独立。货物的销售价格设为mcp（m>1.0），销售每一单位货物的利润为（m-1）cp，每次补货的启动费用保持不变，我们将它忽略。单位货物单位时间的持货成本设为ch。

传统库存模型的主要目标是库存相关的总体成本最小化。在本模型中，相邻货物到达间隔期彼此独立、无记忆性。我们将模型目标设为单期净收入的最大化。若某一期发生缺货，缺货回补发生在下一期到货时刻，该部分的利润包含在这一期的净收入中。相应的，缺货回补成本和消失需求损失也包含在内。因此，问题的关键是要求解出最优的预设库存水平使得一期的期望净收入最大。

图1描绘了一个典型的库存模型：

一期的期望净收入由以下几个部分组成：

用c1表示货物销售获得的期望利润，它等于单位货物的销售利润乘上期望销售量也就是被满足的需求量。期望销售量等于：用c2表示期望持货成本，只有在库存水平为正时才产生持货成本，该成本等于持货成本系数乘上期望的库存水平。期望的库存水平等于：

用c3表示一期的期望缺货回补成本，它等于缺货回补量的平均水平乘上缺货回补成本系数。缺货回补量的平均水平由下式给出：用c4表示一期的期望消失需求成本，它等于消失需求量乘上单位商品损失，用下式表示：

用r表示一期的期望净收入，它可用下式表示：

由上式可知一期的期望净收入最大化问题是一个一元函数求极值问题，对其求一阶导数使，经过简化计算得到下式：此时

因此，一期的最大期望净收入r*=（m-1）cp（d/λ）-s*ch /λ，而在整个计划期内的总期望净收入tr=λ·r*=（m-1）cp d-sch。

2 敏感性分析

通过拟定相关数据、计算求解来对模型进行敏感性分析。下面的表格1揭示了参数λ，β，cb和cl 的变化对最优的预设库存水平s*和最大期望净收入r*的影响。

对于参数λ的影响，可通过观察表格的第1，2和3行来研究其

对最优预设库存水平和期望净收入的影响。当λ增加时，预设库存水平应降低，同时最大的期望净收入增加。这一点也符合常识，货物到达的频次提高，所需要的满足需求的预设库存水平降低，相应的成本也会下降。缺货回补占比β的变化对最优预设库存水平和期望净收入的影响可以观察表中第1，4和5行。我们发现β的影响效果与λ相同。缺货回补成本系数cb的影响效果可观察表格中的第1，6和7行，发现当它增加时，最优预设库存水平增加，最大期望净收入减少。

观察表格第1，8和9行。我可以发现消失需求导致的每单位商品成本cl的影响效果与cb相同。

3 结论

无论是单期还是多期库存模型都可以看作是上述模型的特例。假设我们考虑货物的到达是在一些随机的时间点上如t1，t2，…tn，要求解出每次的补货批量使得期望净收入最大。此时，我们可以令τ1=t1，τ2=t2-t1，…，τn=tn-tn-1，…它们是独立的且服从相同参数的指数分布。因此，到货间隔期无记忆性的假设隐含了我们解决随机的单期问题也就解决了随机的多期问题。此外，对于有限库存能力及安全库存问题有待于进一步的研究。

参考文献：

[1]silver ea,peterson r(1985) decision systems for inventory management and production planning,2nd

edn.wiley,new york.

[2]rose jh(1992) the newsboy with known demand and uncertain replenishment:applications to quality control and container fill.operations res lett11:111-117.

[3]周永务，王圣东.库存控制理论与方法[m].北京：科学出版社，2009.

[4]赵晓波，黄四民.库存管理[m].北京：清华大学出版社，2008.