现代通信原理教程10章部分习题解答

10.1 已知码集合中有8个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000），求该码集合的最小码距。

解 因为该码集合中包含全零码组（000000），所以对于线性分组码，最小码距等于除全零码外的码组的最小重量，即3min =d 。

10.2 上题给出的码集合若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错与纠错，问纠错、检错的能力如何？
解 只用于检错时，由条件：最小码距1min +≥e d ，求出2=e ，即能检出2位错码。

只用于纠错时，由12min +≥t d ，可得1=t ，既能纠正1位错码。

同时用于检错与纠错，且3min =d 时，无法满足下列条件
⎩⎨⎧>++≥t
e e t d 1m i n
故该码不能同时用于检错与纠错。

10.4 已知(7,3)码的生成矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=001110101001111001110G
列出所有许用码组，并求监督矩阵。

解 分别将信息段（000）、（001）、（010）、（011）、（100）、（101）、（110）和（111）代入式A =m G ，得到许用码组如下 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100
生成矩阵G 为典型阵，有
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=110101111110Q 所以
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==011110111101T
Q P
监督矩阵
[]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==0110001110001011101001011000r I P H 10.5 已知一个(7,4)系统汉明码监督矩阵如下：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101001
0111010
1110100
H 试求：
(1) 生成矩阵G ；
(2) 当输入信息序列()101101011010
=m 时，求输出码序列A=？ (3) 若译码器输入()1001001B =,请计算校正子S ，并指出可能的错误图样。

解 (1)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==011110111101T P Q
[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==000101100101100100111
1000101Q I G k (2) 1010,0110,1101321===m m m
[]()11010010001011
00101100100111
1000101110111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==G m A ()0110001
22==G m A ()1010011
33==G m A
(3)
[][]1110010101000111101111011001001=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==T BH S 利用关系式T EH S =，求得可能的错误图样()0100000=E 。

10.7 已知()()()()()
111111223434415+++++++++++=+x x x x x x x x x x x x ，试问由它共构成多少种码长为15的循环码？列出它们的生成多项式。

解 将115+x 按因式的次数排列如下： 1次 1+x
2次 12++x x 3次 ()()
112+++x x x
4次 (
)14++x x 或(
)134++x x 或(
)1234++++x x x x
5次 ()()114
+++x x x 或()()113
4
+++x x x 或()()112
3
4
+++++x x x x x 6次 ()()114
2
++++x x x x 或()()113
4
2
++++x x x x 或 ()()112
3
4
2
++++++x x x x x x
7次 ()()()1114
2
+++++x x x x x 或()()()1113
4
2
+++++x x x x x 或 ()()()1112
3
4
2
+++++++x x x x x x x
8次 ()()113
4
4
++++x x x x 或()()112
3
4
4
++++++x x x x x x 或 ()()112
3
4
3
4
++++++x x x x x x 9次 ()()()1113
4
4
+++++x x x x x 或
()()()1112
3
4
4
+++++++x x x x x x x 或 ()()()1112
3
4
3
4
+++++++x x x x x x x
10次 (
)()()
1113442++++++x x x x x x 或
()()()1112
3
4
4
2
++++++++x x x x x x x x 或 ()()()1112
3
4
3
4
2
++++++++x x x x x x x x
11次 ()()()()11113
4
4
2
+++++++x x x x x x x 或
()()()()11112
3
4
4
2
+++++++++x x x x x x x x x 或 ()()()()11112
3
4
3
4
2
+++++++++x x x x x x x x x 12次 ()()()1112
3
4
3
4
4
++++++++x x x x x x x x
13次 ()()()()11112
3
4
3
4
4
+++++++++x x x x x x x x x 14次 ()()()()11112
3
4
3
4
4
2
++++++++++x x x x x x x x x x
这些因式都满足生成多项式的3个条件，因此由它们可构成出30种码长为15的循环码。

(15,14)循环码的生成多项式是1+x ；(15,13)循环码的生成多项式是12++x x ；(15,12)循环码的生成多项式是()()
112+++x x x ；4次因式有()14++x x 或()
134++x x 或
()
1234
++++x x x x
3个，任选其中一个做生成多项式都可以产生一个(15,11)循环码，
依此类推。

10.9已知(7,4)循环码的生成多项式为13++x x ，输入信息码元为1001，求编码后的系统码组。

解 ()13++=x x x g ，()13+=x x m 。

① 计算()()
36331x x x x x m x k n +=+=-； ② 求()()x g x m x k n /-的余式，用长除法：
③ 编码后，系统码的码多项式为
()()()x x x x x r x m x x T k n +++=+=-236 对应的系统码组()1001110=A 。

10.10已知某循环码的生成多项式是1245810++++++x x x x x x ，编码效率是31。

求 (1) 该码的输入信息分组长度k 及编码后码组的长度n ； (2) 信息码()14++=x x x m 编为系统码后的码多项式。

解
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧==-
3110n k k n
可解得15,5==n k 。

(2) ()()
1011144101x x x x x x x m x k n ++=++=-
()()124581010
1114++++++++=
-x x x x x x x x x x g x m x k n 1
2
45810
6782
4++++++++++++=x x x x x x
x x x x x x x
因此所求的码多项式为
()x x x x x x x x T ++++++=678101114 10.11已知(7,3)循环码的一个码组为（1001011）。

(1) 试写出所有的码组，并指出最小码距min d ； (2) 写出生成多项式()x g ；
(3) 写出生成矩阵；
(4) 画出构成该(7,3)循环码的编码器。

解
(1) 0000000 1001011 0010111 0101110 1011100 0111001 1110010 1100101 4min =d
(2) ()124+++=x x x x g (3)
()()()()⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12423523462x x x x x x x x x x x x g x xg x g x x G
(4)
10.19 已知一个（2,1,3）卷积码编码器结构如题10.19图所示，试
(1) 写出生成序列1g 、2g 和生成矩阵G ； (2) 画出状态图和网格图。

解 (1) ()()815101==g ，()()823011==g 。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡=
10011110011011
0110110110110110O O G
(2) 下图中a 、b 、c 和d 分别代表状态00、01、10和11，实线表示输入比特为0的分支，虚线表示输入比特为1的分支。

状态图：
网格图：
10.20 某（3,1,3）卷积码的生成多项式为
()211x x x g ++=，()221x x x g ++=，()231x x g +=
(1) 画出该码编码器框图；
(2) 画出网格图；
(3) 当接收序列为111 001 011 010 110 000时，试用维特比译码算法求发送序列。

解 (1)
(2)
(3)
①首先考察接收序列前）
nN，选出幸存路径。

（bit
约束长度3
nN，接收序列前9位是“111 001 011”。

在该卷积码的网格图
=
N，9
=
上，分别找出从出发点状态a经三级路径到达状态a、b、c及d的两条路径，对应序列，并计算它们和接收序列前bit
9的码距，将码距小的一条路径保留（若两条路径的码距相同，则可以任意保留一条），作为幸存路径，见下表。

图(a)是经过三级路径后幸存路径网格图。

②继续考察接收序列中后继3
n位，计算出新增路径段的码组与接收序列中后继
3位之间的新增码距，总码距（原幸存路径的码距+新增码距），选出幸存路径，分别如图(b)、(c)、(d)和图(e)所示。

由图(e)可见，幸存路径abdcbcb上的序列“111 001 001 000 110 000”与接收序列码距最小（概率最大），故对应发送信息为110101。