江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
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苏科版九年级下册数学教学课件 第5章 二次函数 二次函数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次函数的概念 观察上面所列的函数关系式，
S=πr2 ，y=-x2+8x，y=240x2 +180x+45， 你能发现它们有哪些共同特征？
定义：
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫
做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次函数的概念
练一练：下列函数是二次函数吗？为什么？(口答)
（1）y=2x2 +8x+5
（2）s=2t(3-t) =6t-2t2= -2t2+6t （3）y 2x2 1 （4）y x2 1 等式右边不是整式
x （5）y=(x-3)2 -x2 =-6x+9，自变量最高次数是1. （6）y = ax²+ bx + c（a、b、c是常数）缺少a≠0 （7）y=x3 -x2 +1 自变量最高次数是3
【分析】总费用= 镜面的费用 + 边框的费用 + 加工费用
镜面宽为 x 米，则镜面的长为2x 米，镜面面积为2x2 平 方米，所以镜面的费用为 120×2x2=240x2 元；边框的费 用为 30(2x+x+2x+x)=180x 元；加工费为 45 元；所 以y与x之间的函数关系式为 y=240x2 +180x+45 .
形，写出矩形纸片的剩余面积 S(cm2)与所剪正方形边长 x(cm)之
间的函数表达式.
x
x
S=30×20-x2=600-x2，是S关于x 的二次函数.
20cm
30cm
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
（2） y2x2 4x
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象课件 苏科版
对称轴是直线x=
b 2a
二次函数的图象
例 1 ．已知二次函数 y x 2 2 x 1，试在 平面直角坐标系画出它的函数图象。
解：
y ( x 1) 2 2
列表
y
4 3 2 1 -2 -1
x -1 0 1 2 3 y=(x-1)2-2 2 -1 -2 -1 2 描点画图 注意：
的顶点坐标 写出对称轴,与坐标轴交点坐标，当x取 何值时，y随x的增大而增大，当x取何值 时，y随x的增大而减小？
1 2 3 1 2 3 解：y x x ( x 2 x 1 1) 2 2 2 2
= -1/2（x+1)2+2
∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对 称轴是直线x＝－1
二次函数的增减性
抛物线 y ax bx c （a 0 ） ， a 0 时，开口向上，结合图象可知：
2
y
b ①当 x 时， y 随着x 的增大而减小； 2a b x y x ②当 时， 随着 的增大而增大； o 2a 2 4ac b b ③当 x 时，函数有最小值 。 4a 2a
3 3 令 x 0，y ， ∴抛物线与y轴交点（0， ） 2 2
令
1 2 3 y 0， x x 0 2 2
的解为
x1 3，x2 1
∴抛物线与x轴交于点(－3，0)，(1，0) 当 X<-1 时，y随x的增大而增大， 当
x 1 时，y随x的增大而减小。
画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质
y M(1,4) (2 ,3) (3,0) 1 2 3 x=1 x
(0,3)
• ∵a= —1＜0，∴开口 向下 • 当x=1时，y有最大值4
初中数学苏科版九年级下册《5.2二次函数的图象与性质》课件
式是
。
小牛试刀
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-10
-5
O y=x2-25 x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,k)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函
数的图象上，则点C的坐标为
点D的坐标为
.
小牛试刀
(1)已知二次函数y=ax2+k,点A(1,2), 当x=0时，此函数有最大值为3，则 此抛物线的关系式为:
y=-x2+3
小牛试刀
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点 的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）D
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将 y=2x2-7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的 图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式
是
。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数
x=0时,y最小=0
a<0 向下
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的应用课件(2) 苏科版共34页
人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数的图象和性质课件 苏科版
在对称 轴左侧
Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大
在对称 轴右侧
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
a＞0
y=ax2 a＜0
向上
向下
y=ax2+ k
a＞0 a＜0
向上
向下
二次函数y=a(x-h)2的性质
Y的最 值
在对称 轴左侧
在对称 轴右侧
a＞0 y=ax2 a＜0 a＞0
向上
Y轴（0，0）Fra bibliotek最小值是0
Y随x的增大而 减小
Y随x的增大而 增大
向下
Y轴
（0，0）
最大值是0 Y随x的增大而
增大
Y随x的增大而 减小
向上
Y轴
（0，k）
最小值是k
Y随x的增大而 Y随x的增大而 减小 增大
y=ax2+k
a＜0
向下
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ，顶点 是 （ 3， 0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当 x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 2 得到函数 y= -3（x+1） 的图像，其顶点坐标是 （-1，0） ， 对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值， 是0 .
y=9（x－3）2 的
图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上 ，对 （－2，0） 称轴是 直线x=－2 ，顶点坐标是 ，当x ＞－2 时， y随x的增大而增大，当x= －2 时，y有最 小 值是 0 .
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再见
问题2
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
即
d
1 2
n2
(x＞0)
d 1 n2 3 n②
22
(n≥3的整数)
y 20 x2 40x 20③ (x ＞ 0)
二次函数的一
y＝ax般2＋形b式x＋: c
,a是二次项系数
b是a≠一0次) 项系数
(其中a、b、c是常数
C是常数项
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
是 ( )
例４.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，设连墙的一边 为x,矩形的面积为y,试(1)写出y关于x 的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x) (o<x<10)
2x2 20x
(2)当x 3时y 2 32 20 3 42m
江苏省太仓市第二中学九年级数学下册 二次函数课件2 苏科版
二次函数（2）
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则
函数值y＜0时x的取值范围是(
(A)x＜-1 (C)-1＜x＜2 (B)x＞2
)
(D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图 所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=】根据二次函数图象的对称性可得 .
答案：-1
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得
抛物线的函数解析式为(
(A)y=x2+1
)
(B)y=(x+1) 2
(C)y=x2-1
(D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，
“左加右减”，故选D.
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的 最大值为_____. 【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法 可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4. 即：x+y的最大值为4. 答案：4
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则
函数值y＜0时x的取值范围是(
(A)x＜-1 (C)-1＜x＜2 (B)x＞2
)
(D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图 所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=】根据二次函数图象的对称性可得 .
答案：-1
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得
抛物线的函数解析式为(
(A)y=x2+1
)
(B)y=(x+1) 2
(C)y=x2-1
(D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，
“左加右减”，故选D.
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的 最大值为_____. 【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法 可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4. 即：x+y的最大值为4. 答案：4
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文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。10、倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
九下数学课件二次函数(课件)
12
解：S＝x 2 －x，
2
即 S＝－x ＋6x(0＜x＜6)．
能力提升
(2)若要求设计的广告牌的各边长均为整数，请你填写下
表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
解：填表如下：
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
完成备作业。
总结反思
二次函数的定义要理解三点：
(1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体实数；而在
实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义．
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数关系式化
为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
能力提升
【1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点
知识点一 二次函数的识别
【例 1】下面的函数是二次函数的是( B )
A．y＝3x＋1
B．y＝x2＋2x
x
C．y＝
2
2
D．y＝ 2
x －2x－1
【归纳总结】判断二次函数的方法：
判断一个函数是不是二次函数，不能只看形式，如果函数表达
式给出的形式比较复杂，必须将其化成一般形式，再根据下面
的三个方面考虑：
意实数_．
l
概念归纳：
二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c，a，b，c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的特殊形式：
1. 只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；
2. 不含一次项，即：y = ax2+ c (b = 0，c≠0)；
3. 不含常数项，即：y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0).
y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
解：S＝x 2 －x，
2
即 S＝－x ＋6x(0＜x＜6)．
能力提升
(2)若要求设计的广告牌的各边长均为整数，请你填写下
表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
解：填表如下：
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
完成备作业。
总结反思
二次函数的定义要理解三点：
(1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体实数；而在
实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义．
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数关系式化
为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
能力提升
【1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点
知识点一 二次函数的识别
【例 1】下面的函数是二次函数的是( B )
A．y＝3x＋1
B．y＝x2＋2x
x
C．y＝
2
2
D．y＝ 2
x －2x－1
【归纳总结】判断二次函数的方法：
判断一个函数是不是二次函数，不能只看形式，如果函数表达
式给出的形式比较复杂，必须将其化成一般形式，再根据下面
的三个方面考虑：
意实数_．
l
概念归纳：
二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c，a，b，c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的特殊形式：
1. 只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；
2. 不含一次项，即：y = ax2+ c (b = 0，c≠0)；
3. 不含常数项，即：y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0).
y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
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拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
江苏省太仓市第二中学九年级数学下 册 二次函数的应用课件(2) 苏科版
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
苏科版九年级数学下册5.5：二次函数的应用 课件 (共28张)
①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次 函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33． ②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？ 最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随天数x（x为正整数）的增大而增大，则需 要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小整 数解．
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90º，AB ＝2，CD＝1，BC＝m，P为线段BC上的一动点， 且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所 在直线于E．设BP＝x，CE＝y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动 时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
∴对称轴
x
b 2a
160 2 (
5a 5)
35，
得a ≥ 3
2
故a的最小值为3．
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x(x
为正整数)的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨
aW元/kg(，y 求aa的最18小) •整m数解．5 x 2 (160 5a)x 1850 50a 2
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴
x
b 2a
160 5a 2( 5)
34.5，得a>2.5
2
故a的最小值为3．
解后反思
本题是一道以商品销售利润为实际背景的二次函数应 用问题，非常生活化！对此，我们首先要认真审题，吃透 题意，确定变量，建立函数模型。在第（2）问中要注意分 类讨论，也就是所求最大利润应该在分段函数中进行。其 中特别要注意的是第（3）问求参数a的最小值要利用二次 函数图像的性质，即从增减性角度考虑，特别要注意的是 还要考虑自变量的取值范围，以及天数x为整数这个细节。
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？ 最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随天数x（x为正整数）的增大而增大，则需 要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小整 数解．
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90º，AB ＝2，CD＝1，BC＝m，P为线段BC上的一动点， 且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所 在直线于E．设BP＝x，CE＝y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动 时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
∴对称轴
x
b 2a
160 2 (
5a 5)
35，
得a ≥ 3
2
故a的最小值为3．
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x(x
为正整数)的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨
aW元/kg(，y 求aa的最18小) •整m数解．5 x 2 (160 5a)x 1850 50a 2
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴
x
b 2a
160 5a 2( 5)
34.5，得a>2.5
2
故a的最小值为3．
解后反思
本题是一道以商品销售利润为实际背景的二次函数应 用问题，非常生活化！对此，我们首先要认真审题，吃透 题意，确定变量，建立函数模型。在第（2）问中要注意分 类讨论，也就是所求最大利润应该在分段函数中进行。其 中特别要注意的是第（3）问求参数a的最小值要利用二次 函数图像的性质，即从增减性角度考虑，特别要注意的是 还要考虑自变量的取值范围，以及天数x为整数这个细节。
《二次函数》课件2(16页)(苏科版九年级下)
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r²
是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
• 3.将进货单价为40元的商品按50元卖 出时,就能卖出500个,已知这种商品每 涨1元,其销售量就会减少10个,设售价 定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函 数关系式计算出售定价为80元时所得 利润。
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
即 d 1 n2 3 n②
22
②式表示了多边形的
对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
二次函数的应用ppt2 苏科版
xcm
A
N
4 2 2 x 40 x 4x 15 300 . 3 3
想一想P62
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y的最大值是多少? 或用公式 : b 当 x 15 时 , 2 a
M D P┐
C
G
H
B A N
MN 50 cm , PH 24 cm . 40cm 12 设 AB bcm , 易得 b x 24 . 25
想一想P62
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(2).设矩形的面积为ym2, 当x取何值时,y的最大值是 多少?
M
30cm
C
G
H
D
B
12 P┐ A N 2 .y xb x x 24 40cm 25 12 2 12 2 x 24 x x 25 300 . 25 25
想一想P62
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
丙 丁
甲
乙
做一做
跳水运动与抛物线
某跳水运动员进行10米 跳台跳水训练时,身体(看成 一点)在空中的运动路线是经 过原点O的一条抛物线.在跳 某规定动作时,正常情况下, 该运动员在空中的最高处距 水面32/3米,入水处距池边的 距离为4米,同时,运动员在距 水面高度为5米以前,必须完 成规定的翻腾动作,并调整好 入水姿势,否则就会出现失误.
40cm
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d 在变化，设为（ ，h 4 y 2 线
x (10,0) 解析式可得 d 关系式； (-10,0) O 与h d
( 0,-4 )
）代入抛物
A( 2,h-4)
（2）设水位上升hm时，水面与抛物线
d 交于点（ ，h 4 2
1 d 则 h4 × 25 4
2
）
∴
d 10 4 h
（3）设正常水位时桥下的水深为2m， 为保证过往船只顺利航行，桥下水面的 宽度不得小于18m，求水深超过多少米 时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
C
y
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
B A O
2.5米
4米
3.05米
(2) 问球出手时离地面多高时才能投
中？
C
A
3.05米
x
球的出手点A的横 坐标为-2.5，将x=2.5代入抛物线表达 式得y=2.25,即当出 手高度为2.25m时， 才能投中。
O
2.5米
如图，一个学生推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约 1.4米，铅球落在点B处，铅球运行中在学生前3米处（即OC＝3）达 到最高点，最高点高为3.2米。已知铅球经过的路线是抛物线。根据图 示的直角坐标系，你能算出该学生的成绩吗？
（3）根据逆向思维可求水面宽度为 18m，即d＝18时，水位上升多少米？
说明：要求抛物线的函 数关系式，关键是确定 其上的点的坐标，再选 用适当的形式求其关系 式。
18 10 4 h ，h 0.76 （3）当d＝18时，
0.76 2 2.76
∴当水深超过2.76m时会影响过往船只 在桥下图所示的直角 坐标系，则球的最高点和 1.在建立的坐标系中,点A、 球篮的坐标分别 C B、C 的坐标分别是怎样 (0,3.5),B(1.5,3.05). 的? 设所求的二次函数的表达 2. 抛物线的解析式如何设 式为y=ax2+c.将点B和点C的 定 ? 坐标代入，得
( 0,-4 )
分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对 称轴为图中y轴，因此可知抛物线上一些 特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。 解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2， 且过点（10，－4）
1 ∴ 4 a×10 ，a 25 1 2 故 y x 25
2
（2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求 出用h表示 d的函数关系式； （2）当水位上升时，抛物线与水面交点
3.5=c 解得 a= -02 3. 怎样求抛物线的解析式 c= 3.5 ?3.05=1.52a+c
例1.如图是某校篮球比赛中,一队员投 篮时在直角坐标系中的示意图,主队球 员甲在距篮下4米处跳起投篮，球运行 的路线是抛物线，当球运行的水平距离 为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后 准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的 距离为3.05米。(1) 求抛物线的函数解 析式
解析式 的设定
求解析式
P
6 . -E 4 . 2 0 . -2 4. 2 . 4 F . 6 .
A
B
A
C D
两盏景观灯间的距离
二次函数与拱桥问题
例4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥 下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。 （1）在如图所示的直角坐标系 中，求出该抛物线的解析式。
y
(10,0)
O
x (10,0)
x
如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞 上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水 面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m， 桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧 壁上各有一盏距离水面4m的景观灯。求： （１）抛物线的解析式（2）求两盏景观 灯之间的水平距离?
?
5m
10m
1m
建立直角坐标系
点的 坐标
A( -5,-4 ) B( -5,-5 ) C(5, -4 ) x D(5,-5 ) E( -X,-1 ) F( X,-1 ) P( 0,0 )
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的 半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大 高度应达到多少米？（精确到0.1米） A
作业：
O
2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个 规定动作时，正常情况下，该运动 员在空中的最高处距水面32/3米， 入水处距池边的距离为4米，同 时，运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。（1）求这条抛物线的解 析式；（2）在某次试跳中，测 得运动员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中调 整好入水姿势时，距池边的水平 距离为18/5米，问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由。
跳长绳比赛中，绳子甩 到最高处时成抛物线状， 在建立的坐标系下，如 何设此抛物线的解析式 较恰当？
Zx```x```k
y
x
２米
设Y=a(x+1)(x-1)
如图，喷泉喷 出水流的形状 是抛物线，在 y 建立的坐标系 下，抛物线的 P(1,2) 解析式如何设 较恰当？
Z```xx```k
Y=a(x-1)2+2
实际问题
数学问题
求解数学问题
形如: y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫二次函数 图象: 抛物线
二次函数的三种表示方式
一般式 :
y ax bx c(a 0)
2
y a( x h) k (a 0)
2
顶点式 :
两根式
y a( x x1 )( x x2 )(a 0)
（1）试画出高尔夫球飞行的路线；
（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？ 球的起点与洞之间的距离是多少？
1.如图，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于 水面处安装一柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。 由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形 状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求 设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度 2.25米。(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少 要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
1、通过这节课的学习活动你 有哪些收获？
2、对这节课的学习，你还有 什么想法吗？
练习1. 竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系可用公式 h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时 的高度，v0(m/s) 是抛出时的速度。一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出去，小球的高度h(m)与运动时 间t(s)的关系如图所示。
例2
分析：要求出该学生的成绩， 关键是 1.首先要求出该抛物线的解析式 2.由解析式求出点B的坐标， 得出该学生的成绩
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（3，3.2） 所以，设y=a(x-3)² ＋3.2 又抛物线经过点A（0，1.4），得 ∴y=－0.2(x－3)² +3.2 当y=0时，x＝ 7或x＝ -1（舍去）
h(m) 80 (1) 观察右图，h0的值是多少? 2＋40t 60 h ＝－ 5t (2) h和t的关系式是 。 40 20
(3) 小球何时达到最大高度， 最大高度是多少? (4)小球经过多少秒后落地?
t(s) 0 2 4 6 8
2.王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按 函数关系式y=-1/5X2+8/5X 击球，球正好进洞．其中， y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距 离．
教学重点
能用二次函数的性质解决某些实际问题
教学难点
zx``x```k
如何根据实际问题建立数学模型.特别 是如何建立适当的坐标系,并根据坐标系 设定恰当的函数表达式;如何将实际情形 中的”问题”转化为数学问题.
这些生活中的事物都与我们 现在学习的二次函数有着密 切的关系？你想知道它们之 间有怎样的关系吗？
二次函数的应用(1)
教学地位
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要 数学模型。本节内容是利用二次函数的性质去 解决一些实际问题.
教学目标
1．能够根据题意建立适当的直角坐标系，并根 据坐标系设定恰当的函数表达式． 2．使学生经历将实际问题数学化的过程．渗透 函数、数形结合、建模、转化等数学思想方法 ； 体验合作与交流的学习方法．
a=－0.2
答：该学生的成绩是7米。
课内练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最大高度10m。 ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？
y
15 10 5 10 20 30 40 50