空间直线及其方程

空间直线及其方程

I. 空间直线方程的几种形式一、空间直线的一般方程

⎩⎨

⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A p

z z n y y m x x 0

00-=-=-二、空间直线的对称式方程与参数方程

⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 0

00

定义直线:1L ,

11

1111p z z n y y m x x -=-=-直线:2L ,

2

2

2222p z z n y y m x x -=-=-两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）

两直线的夹角公式

三、两直线的夹角

2

L 1

L ϕ

1

s 2

s =2

12121p p n n m m ++212121p n m ++22

2222p n m ++2121cos s s s s ⋅=

ϕII 、两直线的位置关系

定义直线和它在平面上的投影直线的夹

角称为直线与平面的夹角．

ϕ,

:0

00p z z n y y m x x L -=-=-,

0:=+++∏D Cz By Ax },,,{p n m s =

},

,,{C B A n =

ϕ

四、直线与平面的夹角

≤≤ϕ0.

2

π

III 、直线与平面的位置关系222222||sin p

n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=

ϕ

补充：

1.点的距离为

到平面∏：A x+B y+C z+D= 0

)

,

,

(0

z

y

x

M

∏

d

0 M

d

2. 过直线

⎩⎨

⎧=+++=+++0

0:22221111D z C y B x A D z C y B x A L 的平面束)

(1111D z C y B x A +++0

)(2222=++++D z C y B x A 方程

()

0,21不全为λλ1λ2λ通常取：)

(1111D z C y B x A +++0

)(2222=++++D z C y B x A λ其中：

λ为任意实数

例1.求直线在平面

上的投影直线方程.

提示：过已知直线的平面束方程

从中选择得⎩

⎨⎧=++=--001z y x z y 这是投影平面

)1(1=++-+--+z y x z y x λ即

使其与已知平面垂直：λ从而得投影直线方程

,1-=λ

例2. 求过直线L :⎩⎨

⎧=+-=++0

405z x z y x z y x 84--且与平面夹成角的平面方程.

提示:过直线L 的平面束方程

其法向量为已知平面的法向量为λ选择使4

3-

=λ.

012720=-++z y x 从而得所求平面方程

n 1n 4π012=+1

1

4cos n n n n ⋅=

π

}.1,5,1{1λλ-+=n }

8,4,1{--=n 还有其它平面方程吗？

思考题

在直线方程p

z n y m x +-==-62

24中，m 、n 、p 各怎样取值时，直线与坐标面xoy 、

yoz 都平行.

思考题解答

},6,,2{p n m s +=

且有.

0 ≠s ,

0=⋅k s

,0=⋅i s ⎩⎨

⎧==+⇒0206m p ,0,6=-=∴m p ,0

≠s ,

0≠∴n 故当时结论成立．

,0=m 6-=p ,0≠n

习题课主要内容:

I. 向量代数

II. 空间解析几何

I . 向量代数

222z

y x a a a a ++= 一、向量及其坐标1.向量模

{}

z y x a a a a ,,=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos ,cos ,cos y

x

z

x y z

x y z

x y z

a a a a a a a a a a a a αβγ=

=

=

++++++2 方向余弦

{}

cos ,cos ,cos a a a

αβγ==3 单位向量,,i j k

基本单位向量222222arccos

arccos

x x y y z z x

y

z

x

y

z

a b a b a b a b a b

a a a

b b b

θ++⋅==++⋅++4 两向量的夹角

()()

Prj cos ,a b b a b

b a =在上的投影5 向量的投影