二次曲线

空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
xoz 面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影曲线,
R( y, z) 0 x 0
T ( x , z ) 0 y 0
x y z 1 例 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
,由上半球面
2 2
z
4 x y
2
2
3 ( x y )锥面所围成 .
, 求它在
xoy
面上的投影
解
半球面和锥面的交线为
z C : z 4 x y ,
2 2
3( x y ),
2 2
消去 z 得投影柱面
x y 1,
2 2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
1 z 2, x 0 | y | 3 2 .
例5
求抛物面 y z
2
2
x与平面 x 2 y z 0
的 截线在三个坐标面上的投影曲线方程 .
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 5 y 4 xy x 0 , （ 1） 消 去 z 得 投 影 z 0
思考题解答
交线方程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去 z 得投影柱面
x y 1,
2 2
在 xoy 面上的投影为
x y 1 . z 0
2 2
2 2 2
解 （1）消去变量z后得
x y
2 2
3 4
,
在 xoy 面上的投影为
3 2 2 x y 4, z 0
（2）因为曲线在平面 z
1 2
上，
所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
( x1 , y1 , z1 )， 随 着 参 数 的 变 化 可 得 到 曲 线 上 的 全
部点.
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z) 0 G ( x , y , z ) 0
z
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.
o
x
S1
S2
C
y
x y 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 z 0 R( y , z ) 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
思考题
求椭圆抛物面2 y
2 2
x
2
z 与抛物柱面
2 x z 的 交 线 关 于 xoy 面 的 投 影 柱 面 和 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 .
x y 1, z 0.
2 2
一个圆,

所求立体在
2
xoy 面上的投影为
2
x y 1.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x x( t ) y y( t ) z z(t )
2 2
解
2 2 x y 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x y 1 2 x 3 y 3z 6
2 2
交线为椭圆.
z a2 x2 y2 2 例2 方程组 a 2 a 表示怎样的曲线？ 2 ( x ) y 2 4
2 2
x 5 z 2 xz 4 x 0 （ 2） 消 去 y 得 投 影 , y 0
2 2
y z 2y z 0 . （ 3） 消 去 x 得 投 影 x 0
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例
设一个立体 和 z
解
z
a x y
2 2
2
上半球面,
(x a 2 ) y
2 2
a
2
圆柱面,
4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y ( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当 给 定 t t1 时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点