弹塑性力学基本理论及应用 刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助 第六章 弹塑性平面问题

第六章 弹塑性平面问题

任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。但是，当所考察的物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面(二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如

y x ,)的函数，从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。

由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程

由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。 1.1平衡方程

无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y

xy xy

x σττσ (6.1-1)

1.2几何方程

由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 x

v

y u ，y

v ，x

u

xy y x ∂∂+∂∂=

∂∂=

∂∂=

γεε (6.1-2) 由式(6.1-2)可得到平面问题的变形协调方程为

y x x

y xy

y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2

222

2 (6.1-3) 1.3本构关系

两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此，由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。

(1) 平面应力问题

对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ，根据广义虎克定律显然有

0==zx yz γγ。因此本构方程为

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⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪⎬⎫+=+-=-=-=

xy xy y x z x y y y x x E E

E E

τνγσσν

ενσσενσσε)

1(2)()(1

)(1 (6.1-4a)

或

⎪⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎪⎬⎫+=+-=+-=

xy

xy x y y y x x E E E γτνεενσνεενσ)1(2)(1)(12

2

(6.1-4b) (2) 平面应变问题

对于平面应变问题，有0===zx yz z γγε，根据广义虎克定律，必有

)(y x z E

σσν

σ+-=

和0==zx yz ττ。因此，本构关系为

⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪

⎬⎫+=---=---=xy

xy x y y y x x E E E τνγσννσνεσν

σνε)1(2)1(1)1(122 (6.1-5a)

或

⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎪

⎪⎬⎫+=+=-+-+=-+-+-=

xy

xy y x z x y y y x x E E E λντσσνσεννεννσεν

ν

ενννσ)1(2)

()1()21)(1()1()21)(1()1( (6.1-5b)

将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的E 换为)1/(2ν-E ，ν换为)1(νν-，就可以得到平面应变问题的本构方程式。 1.3应变协调方程

如果采用应力法求解，还必须将平面问题的应变协调方程(6.1-3)式变换为用应力表示。

(1) 平面应力问题的应变协调方程

对于平面应力问题，将方程(6.1-1)式中的第一式对x 求导，第二式对y 求导，有

⎪⎪

⎭⎪⎪⎬⎫

∂∂-∂∂-=∂∂∂∂∂-∂∂-=∂∂∂y Y y

y x x X x

y x y xy x xy 22

2222στστ 将上式相加后，得

)(21)(2122

222y Y

x X y

x y x y x xy ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂∂σστ 因

)(1)1(22

22222y Y x X y

x E y x E y x y x xy xy ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂∂+=∂∂∂σσντνγ 将式(6.1-3)中耐x ε、y ε用本构关系式(6.1-4a)入，而y

x xy

∂∂∂γ2用上式代换，可得

0))(1(22

222

2222222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂++∂∂-∂∂+∂∂-∂∂y Y x X y

x x x y y y x x y y x σσνσνσσνσ 化简上式，得

))(1(2

2

222222y Y

x X y x y x y y x x ∂∂+∂∂+-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂νσσσσ

上式可进一步写为

))(1())((2222y Y

x X y

x y x ∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂νσσ (6.1-6)

如果不计体力或为常体力，则上式可写为

0))((22

22=+∂∂+∂∂y x y

x σσ (6.1-7a)

或用拉普拉斯算符简写为

0)(2=+∇y x σσ (6.1-7b) 式(6.1-6)即为用应力表示的应变协调方程，通常称为纳维方程。 (2) 平面应变问题的应变协调方程

对于平面应变问题，因为平衡方程同样为(6.1-1)式，应力分量x σ、y σ也只是x 、y 的函数，因此应用由平面应力变换到平面应变的对应关系，则平面应变问题的应变协调方程可直接从(6.1-6)中得到，即

)(11))((2222y Y

x X y

x y x ∂∂+∂∂--=+∂∂+∂∂σσ (6.1-8)

注意到，当在平面应变问题中，如果不计体力或为常体力时，则(6.1-8)式也简化为(6.1-7)式，这时平面应力问题与平面应变问题的应变协调方程相同。 由以上可见，如果讨论的问题为D 域上的调和函数，则)(y x σσ+是在区域D 上直到二阶导数都是连续的连续函数。在这种情况下，平面应力和平面应变问题的应力分量x σ，y σ，xy τ的分布是相同的，是是是说，他们在oxy 平面内应力场一致。 1.4边界条件

平面内周边上的应力边界条件为 ⎪⎭

⎪

⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.1-9a)

对于平面应变问题还有

Z z =σ (6.1-9b) 对于平面应力问题．由于z 方向无外力作用，又0=z σ，所以该方向的边界条件自动满足。

从以上的讨论中不难发现，方程(6.1-1和(6.1-7)以及边界条件(6.1-9)中均不含材料常数。由此得出重要结论：对于全部边界为力边界的无(或常)体力的平面问题，