整式基本概念及加减运算

板块一 代数式、单项式、多项式

代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做

代数式.

单独的一个数或字母也是代数式.

列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.

列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：

（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；

（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；

（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式

括起来；

（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.

单项式： 像2-a ，2

r π，213

-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的

代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.

单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21

2

-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项

式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4

7

叫做单项式247x y 的系数.

同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.

多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27

319

-+x x 是多项式.

多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母

的项叫做常数项.

多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.

【例1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？

⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10⨯n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π

例题精讲

整式基本概念及加减运算

【巩固】

a ，

b ，

c 都是有理数，试说出下列式子的意义： ① 0a b +=； ② 0abc >； ③ 0ab ≠； ④ 1ab =-；

⑤ 2||0a b +=； ⑥ ()()()0a b b c c a ---=； ⑦ 22a b +；⑧ ()2

a b +

【例2】 讲下列代数式分别填入相应的括号：

222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x

-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（ ）； 二次多项式（ ）； 整式（ ）

【巩固】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.

223xy ；-a ；a bc ；32+mn ；572t ；233-a b c ；2；-x π

【巩固】 下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数：

2341523133

x xy

a b x abc x --+，，，，，

【巩固】 写出一个系数是2004，且只含x 、y 两个字母的三次单项式是 .

【巩固】 写出下面式子的同类项：

⑴256x y ⑵11π2

-c a ⑶72xy z ⑷π

【例3】 下列各对单项式中不是同类项的是（ ）

A ．423

4

x y -与()224x y - B ．4328x y 与3415y x -

C ．215a b 与20.02ab

D ．43-与34-

【巩固】 单项式11

3

+--a b a x y 与23x y 是同类项，求-a b 的值.

【例4】 已知33

m n a b 和33ab -是同类项，且229A mx xy y =-+，223B x nxy y =-+，求(){}

232A B A B A --+-⎡⎤⎣⎦

的值

【巩固】 已知关于x y ，的单项式333n x y +和214m y x --是同类项，则m = ，n =

【巩固】 若1

2223

55

9+--m m n a b

与2a b 是同类项，求m ，n 的值.

【巩固】 设m 和n 均不为零，233x y 和223

5m n

x y ++-是同类项，则3223

3223

3395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+

【巩固】 若25x a b 与30.9y

a b 是同类项，求x ，y 的值.

【巩固】 若441

3

a b x y z 和827a c x y -是同类项，求a b c ++的值．

【例5】 同时都含有a b c ，，，且系数为1的7次单项式共有（ ）个

A ．4

B ．12

C ．15

D ．25

【例6】 填空：若单项式()122n

n x y

--是关于x y ，的三次单项式，则n =

【巩固】 含字母x 和y ，且系数为1的四次单项式是

【例7】 将多项式223421-+-x y xy x y 按x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.

【巩固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式.

⑴424215+-x x ； ⑵2+a ab b ； ⑶33332++-a ab b a b ； ⑷+x y x

.

【例8】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值

【例9】 若多项式()22532m

x y n y +--是关于x y ，的四次二项式，求222m mn n -+的值

【巩固】 当m 取什么值时，2

1

23(2)3-+-m m x y xy 是五次二项式？

【例10】 设m n ，表示正整数，多项式4m n m n x y ++-是几次几项式

【例11】 一个多项式按x 的降幂排列，前几项如下：1098273234...x x y x y x y -+-+试写出它的第七项及最后一