2014考研数学二真题答案

2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x - 均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121
（D ）),(2
10 【详解】
αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2
阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪
⎨⎧>>12
1α
α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹
的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式 3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122t
t t dx y d -=-
=， 对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=)'("y y K ，曲率半径10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
20
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2)
(arctan arctan x x x -=ξ， 3131333
02022
0=+--=-=→→→x
x o x x x x x x arx x x x x x )()(lim )(arctan tan lim lim ξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及0222
2=∂∂+∂∂y
u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ∂∂∂=∂∂∂=
∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．
所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b
a 00000000等于
（A ）2
)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +- 【详解】
2000000000000000
0)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d b a a d
c d c b a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,,均是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等
于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
⎰
∞
-=++12
5
21
dx x x ． 【详解】
⎰
⎰∞
-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212
141521π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
⎰
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1)1()1()7(=-=-=f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程47
22=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz ．
【详解】
设4722-
+++=z y x e z y x F yz ),,(，1222122+=+==yz
z yz y x ye F y ze F F ,,，当2
1==y x 时，0=z ，
21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 21
21--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫
⎝
⎛=22ππθ,),(r 处的切线的直角坐标方程为 ．
【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨
⎧====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭
⎫
⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.2
2π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
113
51211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ．
14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,( 的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求 042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--⎰+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
1122212
1
1
2
21
1
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→⎰⎰x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2=C ， 即
3
2
313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322
2222211212)
()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．
17．（本题满分10分）
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得
4
3
211212121202
2
2
22222-
==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰D D
D D
dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x
z e u f x
z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x
x x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*． 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(．
将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==
C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤⎰
0； （2）
⎰⎰
≤⎰+
b
a dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤⎰⎰⎰
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
⎰
0．
（2）令⎰
⎰
⎰-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
⎰
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a
=-+≤⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
⎰
．从而
0=-≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
⎰⎰
≤⎰+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=++
+=+=+=)()()(,)(， ,)(x x
x f 313+=，
利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1
))
ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰
11111111101
010
，
111=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足
)(12+=∂∂y y
f
，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=∂∂y y
f
，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
．
令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212
．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V
22．（本题满分11分）
设矩阵A =1-23-401-11120-3æèçççöø
÷
÷÷，E 为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵B ．
【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，
得到方程组0=AX 同解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=43
424132x
x x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=13211ξ．
（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=44
4
333222
111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14131
001312010162100114131000101110001
4321101134
0010111
0001432
1100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ，
即满足E AB =的所有矩阵为
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛++-+-++-+-----=32
132
132132
1313431212321162c c c
c c c c c c c c c B
其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛111111
111
与⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 相似．
【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛111111
111 ，=B ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
11
1
1
1
11
1
11
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)(
， 所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；
而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛00 λ~A ；
1002
01
0--=---=
-n n n
B E λλλλλ
λ)(
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；
对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对
角化，且⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛00 λ
~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛111111
111
与⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 相似．。