(甘志国)谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题
2010年高考数学江西卷理科全解析-推荐下载
解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当
| MN | 2 3时 ，由点到直线距离公式，解得[ 3 , 0] ； 4
解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不
取 ，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A
9．给出下列三个命题：
①函数 y 1 ln 1 cos x 与 y ln tan x 是同一函数；
B. x=-1，y=2
D. x=1，y=2
【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 (x i2 ) (1 x)i y ，没有虚
部，x=1,y=2.
2.若集合 A=x | x 1，x R， B=y | y x2，x R，则 A B =（ ）
A. x | 1 x 1
的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
江西高考理科数学试卷及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知（x+i ）(l- i)=y,则实数x,y 分别为 A ．x=-1 y=1 B.x=-1,y=2 C ．x=1 y=1 D. x=1,y=2 2．若集合A=A ．{|x -1≤ x ≤1 } B. {|x x ≥0} C ．{|x 01x ≤≤} D.∅3.不等式22||x x x x++>的解集是 A ．（0，2） B. （-∞，0） C ．（2，+∞） D. （-∞，0）⋃（0，+∞）4lim x →∞(1+13 +213+…+x 13)=A.5/3B.3/2C. 2D.不存在5.等比数列| a n |中 a 1 = 2，a x = 4,函数f （x ）=x(x - a 1)(x – a 2 )…(x - a x ),责f x (0)= A. 26 B.29 C .212 D. 2156.(2-x )8 展开始终不含x 4想的系数的和为A.-1B.0C. 1D.27．E ，F 是等腰直角ABC V 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF= A ．2627 B ．23 C 3 D ．348．直线y=kx+3与圆()23x -+()22y -= 4 相交于M , N 两点，若MN ≥3,则k 的取值范围是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪[)0,+∞ C ．3333⎡-⎢⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．给出下列三个命题： ①函数y =12ln 1cos 1cos x x -+与y =ln tan 2x是同一函数； ②若函数y = f(x)与y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称，则函数 y =f (2x)与 y =12g(x)的图像也相关于直线y = x 对称；③若奇函数f(x)对定义域内任意x 都有f(x)= f(2-x)，则f(x)为周期函数，期中真命题是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②10.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 做直线1l ，使l 与棱1AB 1AD 1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
2010考年江西数学高考试卷分析试
2010年江西数学高考试卷分析洪都中学饶云松今年的高考数学，难度有较大的下降，试题一改前几年的情况，小题基本没有设卡，难度较小，大题前四个题都比较常规化，难度也不大，区分度也较小。
理科最后一题属竞赛型的论证题，难度很大，只有及少数考生能动笔。
从试卷结构、考点的设置到试题的编制很好地体现了在知识网络的交汇点处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内命题的原则。
多视点、多角度、多层次地考查了考生的数学素养和潜能。
试题容入了新课程、新大纲的理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新、又朴实无华，为新课程的首次高考指明了方向。
一．试卷分析１．主干内容重点考查、知识点覆盖全面文理两份试卷均以高中主干知识为重点考查对象：如对函数、不等式和导数的考查有：理科：３、５、９、１２、１９，文科：４、５、６、８、１２、１７；对三角的考查有：理科：７、１７，文科：１２、１９；对数列的考查有：理科：４、５、２２，文科：７、２２；对解析几何的考查有：理科：８、１５、２１，文科：１０、１５、２１；对立体几何的考查有：理科：１０、１６、２０，文科：１１、１６、２０；对概率的考查有：理科：１１、１８，文科：９、１８；除此之外文理试题还兼顾了对其它非主干知识的考查：如：理科：复数的概念及运算：１；集合的运算：２；二项式展开式：６；向量的运算：１３；排列组合：１４；文科：命题：１；集合的运算：２；二项式展开式：３；排列组合：１４；向量的文理两套试题，十分重视数学思想方法的灵活运用，强调数学的通性通法，淡化特殊技巧。
通过对通解通法的熟练运用来检验考生对基本知识的掌握情况。
如：数形结合的思想方法运用有：理：７、２１；用代特值法解决文：7；用转化的方法解文：２０、１９；３．注重理性思维、突出“能力立意”。
高考对考生理性思维能力的要求越来越高，他要求考生要有较强的逻辑推理能力、分析概括能力、运算能力、空间想象能力、应用数学知识解决一些实际问题的能力和创新意识。
2010年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•江西）已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用复数相等求出x、y即可．【解答】解：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得（x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．（5分）（2010•江西）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．【点评】在应试中可采用特值检验完成．3．（5分）（2010•江西）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；转化思想．【分析】首先题目求不等式||＞的解集，考虑到分析不等式||＞含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数．解得即可得到答案．【解答】解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．【点评】此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式||＞的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型．4．（5分）（2010•江西）…=（）A．B．C．2 D．不存在【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先求和，由…，得，由此可得…的值．【解答】解：…=，故选B．【点评】考查等比数列求和与极限知识，解题时注意培养计算能力．5．（5分）（2010•江西）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26B．29C．212D．215【考点】导数的运算；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．6．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B【点评】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．7．（5分）（2010•江西）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】约定AB=6，AC=BC=，先在△AEC中用余弦定理求得EC，进而在△ECF中利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案．【解答】解：约定AB=6，AC=BC=，由余弦定理可知cos45°==；解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF==，∴【点评】考查三角函数的计算、解析化应用意识．8．（5分）（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．C．[﹣]D．[﹣，0]【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．【解答】解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．9．（5分）（2010•江西）给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与的图象也关于直线y=x对称；③若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），则f（x）为周期函数．其中真命题是（）A．①②B．①③C．②③D．②【考点】判断两个函数是否为同一函数；函数的周期性；反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的三要素可得①不正确；根据互为反函数的两个函数的图象特征可得②正确；根据奇函数的定义、周期函数的定义可得f（x）是周期为4的周期函数，可得③正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数=ln=ln，要求tan∈R，而函数则要求tan＞0，故①中2个函数解析式不同，即对应关系不同，而且定义域也不同，故不是同一个函数，故排除A．若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）与函数y=g（x）互为反函数，故函数y=f（2x）与也互为反函数，故它们的图象也关于直线y=x对称，故②正确．验证③，f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x），又通过奇函数得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故选：C．【点评】本题考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识，考虑定义域不同，属于基础题．10．（5分）（2010•江西）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】异面直线及其所成的角．【专题】分类讨论．【分析】直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A的直线进行分类，分两类第一类：通过点A位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，进行讨论即可．【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．【点评】本题主要考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力，属于基础题．11．（5分）（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（）5，做差比较大小即可．【解答】解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1﹣（）5，作差得P1﹣P2=（）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0∴P1＜P2．故选B【点评】本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；创新题型．【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．【点评】本题考查函数图象、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•江西）已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|=．【考点】向量的模．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出||的长度．【解答】解：如图，由余弦定理得：||===故答案为：．【点评】本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答．14．（4分）（2010•江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种，故答案为90．【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．（4分）（2010•江西）点A（x0，y0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值．【解答】解：a=2．c=6，∴右焦点F（6，0）把A（x0，y0）代入双曲线，得y02=8x02﹣32，∴|AF|=∴．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用．16．（4分）（2010•江西）如图，在三棱锥O﹣ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为S3＜S2＜S1．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】设OA=a、OB=b、OC=c，取BC的中点D并连结OD、AD，由三角形中线的性质与锥体体积公式，可得截面OAD就是将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分的截面三角形，结合题意得S△OAD=S1．根据OA、OB、OC两两垂直，在Rt△OBC中算出中线OD=，从而算出Rt△AOD的面积S1=．同理求出S2=，S3=．最后根据a＞b＞c＞0比较三个表达式的大小，即可得到S1＞S2＞S3．【解答】解：设OA=a，OB=b，OC=c，则a＞b＞c＞0．取BC的中点D，连结OD、AD，∵OD是△BCD的BC边上的中线，∴S△OBD=S△OCD=S△OBC，因此V A﹣OBD=V A﹣OCD=V A﹣OBC，即截面OAD将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=，得OD=BC=．因此S△OAD=OA•OD=，即S1=．同理可得S2=，S3=．∵a＞b＞c＞0，∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，可得＞＞，即S1＞S2＞S3．故答案为：S1＞S2＞S3【点评】本题给出过同一个顶点三条棱两两垂直的三棱锥，经过这三条棱分别作将三棱锥分成两等分的截面，比较三个截面的大小．着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式、勾股定理与解直角三角形和不等式的性质等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．【考点】弦切互化；同角三角函数间的基本关系．【专题】综合题．【分析】（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．【点评】考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．18．（12分）（2010•江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，分别求出对应概率即可．（2）利用期望公式代入即可．【解答】解：（1）必须要走到1号门才能走出，ξ（2）可能的取值为1，3，4，6，，，，（2）小时．【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．19．（12分）（2010•江西）设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．最大值在右端点取到．所以a=．【点评】考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．20．（12分）（2010•江西）如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故∠AEB=45°．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ．因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．．所以，所求二面角的正弦值是．【点评】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．21．（12分）（2010•江西）设椭圆C2：=1（a＞b＞0），抛物线C2：x2+by=b2．（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C和抛物线C2的方程．【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想．【分析】（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由a2=b2+c2，求得C1的离心率；（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得△QMN的重心，代入抛物线C2：x2+by=b2，即可求得椭圆C和抛物线C2的方程．【解答】解：（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由．（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，有．由点N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1=b2，解得：故，得△QMN重心坐标．由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y=4．【点评】此题是个中档题．考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．考查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强．22．（14分）（2010•江西）证明以下命题：（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差数列．（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长a n，b n，c n为正整数且a n2，b n2，c n2成等差数列．【考点】等比关系的确定；等差关系的确定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）要证a2，b2，c2成等差数列，考虑到结构即要证a2+c2=2b2，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．【解答】解（1）考虑到结构特征，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．（2）证明：当a n2，b n2，c n2成等差数列，则b n2﹣a n2=c n2﹣b n2，分解得：（b n+a n）（b n﹣a n）=（c n+b n）（c n﹣b n）选取关于n的一个多项式，4n（n2﹣1）做两种途径的分解4n（n2﹣1）=（2n﹣2）（2n2+2n）=（2n2﹣2n）（2n+2）4n（n2﹣1）对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．下证互不相似．任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例，由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似．【点评】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力．考查学生对等比关系和等差关系确定的能力．。
2010年高考模拟试卷江西汇编——压轴题
n=k+1时： a k 1
1 ak 2
1 cos 2k
2
所以，n=k+1时，猜想也成立。
cos2 2k 1
cos
(0
1
k
2
)； 2
故：由①②可知，对任意 n∈N*,猜想均成立。……………………………………8 分;
3)证明:设 f(x)=x-sinx (0 x ) ,则 f`(x)=1-cosx≥0, 2
∴
an n
2
3n 1
∴ a n 3n 1 2
n
（2） b 1 ，当 n 2 时，b S S
1 ， S 1 S ………………5 分
nn
n
n
n1 n
nn
n1
两边平方得： Sn2
Sn2 1
2Sn n
1 n2
Sn2 1 Sn2 2
2Sn 1 n1
1 (n 1)2
Sn2 2
Sn2 3
2Sn 2 n2
1 (n 2)2
1.（江西省十所重点中学 2010届高三第一次模拟考试（理科））
22.(本小题满分 14 分)
已知数列{an }中， a1
cos (0 2
2 ) ， an 1
1 an (n N*). 2
(1)求 a2 , a3 ;
(2)求{an} 的通项公式;
(3)设 Sn 为数列{ 2 an } 的前 n 项和,证明: Sn
（2）1 当 n
2 时，b2
b
2 1
2
14
3
a2 ，不等式成立．
2 假设当 n k(k
bk 1 bk2 (k 1)b
k
2,k N ) 时，不等式成立，即b k 1.那么，当 n k
江西名校2010年高考信息卷二(数学理)
2010年江西省名校高考信息卷数学试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，22题，150分，考试限定用时120分钟。
须在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线ax+2y+1=0与直线x +y-2=0互相垂直，那么a = A.1B.- 13C.- 23D.- 22. (理科) 若y=log 2(1-i)（1-xi ）(x ∈R)有意义，则y= A. 14 B.12C. 1D. 23.设集合A = {x | | x -2 | ≤2, x ∈R }，B = {y | |y=- x 2, -1 ≤ x ≤ 2 | }，则C R (A ∩ B) 等于 A. {x | x ∈R ，x ≠0} C. {0 }B.R D.空集4.已知向量OA →=（k,12）, OB →=( 4, 5 ) , OC →= (-k ,10 ),且A 、B 、C 三点共线，则 k 的值是A. - 23B. 43C. 12D. 135.函数f(x) = coswx ( w ＞0 )的最小正周期为4π，则函数f(x)的一条对称轴方程为A.x=πB. x=π2C. x=π4 D. x=06.在正项等比数列{ a n }中，若a 2 · a 4 · a 6=8,则log 2a 5 - 12log 2a 6= A.18B. 16C. 14D. 127.若m 、n 是空间两条不同的直线，α、β、γ 为三个互不重合的平面，则下列命题： ① m ⊥n ，α∥β，α∥m 得出 n ⊥β；②α⊥γ ，β⊥γ，得出 α⊥β； ③α⊥m ，m ⊥n 得出α∥n ；④ 若m 、n 与 α所成的角相等，则m ∥n. 其中错误命题的个数是 A.1 B.2C.3D.48. 设a 为实数，若函数f(x)=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数是f‘(x)，且f‘(x)是偶函数，则曲线y= f(x)在原点处的切线方程为 A.y=-3xB. y=-2xC. y=3xD. y=2x9.若函数f(x)= ｛x-2｝+｛x+2｝的最小值为n ,则（x- 1x）n的展开式中的常数项是A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项10.在直角坐标系xOy 中，已知点A （2，0），点B 为曲线 ⎩⎪⎨⎪⎧x=2cos αy=2sin α上的动点，若｛AB →｝= 2,则向量OA →与OB →的夹角为 A.3π4B. π2C. π4D. π611.（理科）随机变量ξ 的概率分布规律为P （ξ＝n ）= a (23)n(n=1、2、3、4、……),其中a 是常数，则P （12＜ξ ＜52）的值为A.29B. 13C. 59D. 23 12.设抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线与A 、B 两点，且满足AF → ·BF →=0，则直线AB 的斜率k = A. 2B.22C. 3D.33第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为 . 14.现将10个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村1个名额，一个村2个名额，一个村3个名额，一个村4个名额，则不同的分配方案种数为 . 15.在实数的原有运算中，我们补充运算“*”如下：当a≥b 时，a*b=a; 当a ＜b 时, a*b=b 2.设函数f(x)=(1*x)x - (2*x), x ∈ [ -2,2 ],则函数f(x)的值域为 . 16.已知长方形ABCD 的一组邻边长分别为3、4，沿对角线AC 折成一个三菱锥，若记二面角B-AC-D 的大小为θ( 0＜θ＜π2) ,则该三菱锥的外接球的体积为 .三、解答题:本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知a 、b 是不共线的向量，且a =(5cos α,5sin α), b =(5cos β, 5sin β) (1) 求证：a+b 与a-b 垂直。
再谈竞赛数学的根在何处——兼评2010年江西高考理科数学压轴题
问的解 答 ， 还是 得不 到结 果 ， 但 故要 把多项 式设 为二 次 多项 式．
设 ０ ＝Ａ ｎ ２ ＋Ａ ＋Ａ ， ＝Ｂ ｎ １ ｏ６ ２ ＋Ｂ ｎ＋Ｂ ， ｌ ０
初 等数 论 中一个 重要 内容 和 课 题． 究 初 等 数 论 的 研
是一 个 严肃 而重 大 的问题． 本文 以理 ２ １ ０ ０年江 西高
△ 相 似， 则 有： 据 比例性 质有 ：
ｍ ＋ ２ｍ 一 １
２ ｎ ＋ ２ｎ 一 １ ， ｕ 。‘ Ｈ ’ 口 。
ｍ ＋ １
考理 科 数学 压 轴 题 为 例 探 讨 竞 赛 数 学 反 哺 课 堂 教
令Ａ ＝一２， Ｉ＝２，４ ．＝０ 解 出 Ｂ Ｃ 贝 Ｂ ， ＝ｌＡ ，０
＝
用 带余 除法 来揭 示它 们之 间 的关 系． 第 二 问的解 答真 是 “ 神来 之 笔 ”： 以能 想 到 多 何 项式 ４ （ 一１ ， 按 两 种 方式 进 行 分 解． ｏ ＝ ｎｎ ）并 令
是 ，ｒ一 ； ， ｒ一 。 ２ ｒ ＝０ｑ ｇｒ ＝０同时成立． 此时， ｒ 有
＝ ＝
０ ２ ＝ ｎ ，ｂ ＋ｃ 变 成 了 ２ ａ １ ： ｒ 就 （ ｑ） 上 ＋
Ｉ＋ ２Ａ０ ＋ ｆ＋・ Ｃ ＋ ２Ｃｏ ＝ ２Ｂ ＋ ４ ｏ ｃ Ａ ２ Ａ
＝２ 一口 ， ｂ 这是 一个 不定 方 程 ， 个方 程 只能解 一 一 个未 知数 ， 不妨 选 。为基 本元 ， 而 ｂ ｃ 用 。表 故 从 ，能
３ ４
中学数学研究
２ １ 年第 ９期 ０１
示 出来． 而 问题 的 表述 ： 任 一 正 整数 ０ 都 存 在 故 对 ，
2010年高考数学理科试题解析版(江西卷)
4 5
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4 3 ，解得 tan ∠ECF = 。 cos ∠ECF = 5 4
8.直线 = y kx + 3 与圆 ( x − 3) + ( y − 2 ) = 4 相交于 M,N 两点，若 MN ≥ 2 3 ，则 k 的取值
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京翰教育 1 对 1 家教 /
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上。 13.已知向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ， a 与 b 的夹角为 60°，则 a − b = 【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等 知识， 如图 a= OA, b= OB, a − b= OA − OB= BA ， 由余弦定理得：a − b =3
1 1− n 3 )= 3 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 lim ( n →+∞ 1 2 1− 3
5.等比数列 {an } 中， 函 数 f ( x) = 则f a1 = 2 ， a8 =4， x( x − a1 )( x − a2 ) ( x − a8 ) ， A． 2 【答案】C
3 , 0] ； 4
解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取 +∞ ，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 9．给出下列三个命题： ①函数 y =
1 1 − cos x x 与 y = ln tan 是同一函数； ln 2 1 + cos x 2
② 若 函 数 y = f ( x) 与 y = g ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y = x 对 称 ， 则 函 数
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(甘志国)对2010年高考数学湖北卷压轴题的研究
对2010年高考数学湖北卷压轴题的研究甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2010(7)：45-49)2010年的全国普通高考已落下帷幕，笔者在第一时间认真钻研了2010年高考数学湖北理科卷和文科卷，发现其中最靓丽的题就是两道压轴题，本文将对它们作深入研究. 1 对文科压轴题的研究文科压轴题 设函数c bx x a x x f ++-=23231)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y .(1)确定c b ,的值；(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点)2,0(，证明：当21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'.(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. (答案：(1)1,0==c b ；(3)),32(3+∞⋅.)1.1 对第(2)问的研究第(2)问的结论即：若曲线1231)(23+-==x a x x f y 在两个不同点处的切线重合，则重合的这条切线不经过点)2,0(.下面给出其一般性的结论：定理1 三次函数的图象在两个不同点处的切线不会重合.证明 即证三次曲线)(x f y =在点)0))((,()),(,(≠++h h t f h t B t f t A 处的切线不会重合.设O 为坐标原点，把三次曲线)(x f y =沿向量平移后，曲线)(x f y =经过坐标原点，点))(,(t f t A 也变为坐标原点O ，所以只需证明：曲线)0()(:23≠++==a cx bx ax x g y C 在点)0))((,(),0,0(≠h h g h P O 处的切线不会重合.用反证法来证明：c bx ax x g y ++='='23)(2. 假设曲线C在点PO ,处的切线重合，得023,23),()0(2=+++='='b ah c bh ah c h g g .得曲线C 在点P O ,处的切线分别为)()(,23h x c ch bh ah y cx y -=++-=即 )(,2b ah h cx y cx y ++==因为它们重合，所以0=+b ah ，又由得到的023=+b ah ，得0=ah ，这与题设“0,0≠≠h a ”矛盾！所以欲证结论成立.(用平移证题、解题，非常简洁.2009年的高考数学理科湖北卷压轴题(无考生做全对)也可用平移给出简洁的解答.)关于定理1，还有以下注记：(1)常数函数、一次函数的图象及任意直线(包括铅垂线)在两个不同点处的切线均重合. (2)二次函数的图象(即抛物线)及三次函数的图象在两个不同点处的切线均不会重合. (3)当∈≥n n n ,4(N )时，均存在n 次函数的图象，使它在某⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n (表示不大于2n的最大整数)个不同点处的切线重合.下面证明结论(3)：读者易证曲线2222)]1([)2()1()(----==m x x x x x f y 在点∈≥-=m m m i i f i P i ,21,,2,1,0))((,(； N )处的切线均为0=y ；曲线2223)]1([)2()1()(----==m x x x x x g y 在点∈≥-=m m m i i g i Q i ,21,,2,1,0))((,(； N )处的切线均为0=y .还可以把曲线22)1(-=x x y (如图1)绕坐标原点逆时针旋转︒45得到曲线0),(=y x h ，由旋转变换公式⎪⎩⎪⎨⎧+=-=**，θθθθcos sin sin cos y x y y x x 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=****，22x y y y x x 把它代入22)1(-=x x y 后可得曲线0),(=y x h ，即0)(22)2()(),(22=-+-++=y x y x y x y x h所以曲线0),(=y x h 在点⎪⎭⎫⎝⎛21,21),0,0(处的切线重合，且为直线x y =.(读者也可用隐函数导数的求法证得此结论)图1猜想 对于∈≥n n n ,4(N )次曲线)(:x f y C =，有(1)若曲线C 在两个点处的切线重合，则该切线的斜率为0；(2)当n 已知时，若曲线C 在δ个点处的切线重合，则δ的最大值是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n .1.2 对第(3)问的研究此问与2007年全国卷(II)理科压轴题的压轴问“已知函数x x x f -=3)(.设0>a ，如果过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线，证明)(a f b a <<-”是同样的问题. (注 文献[1]末还得到：在本题中有，过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线)(a f b a <<-⇔.)下面浅探“过一点可作n 次曲线的切线条数”的问题.定理2 当且仅当已知点M 在已知直线l 上时，直线l 过点M 的切线存在(且切线存在时,切线就是直线l ).证明 可不妨设点b kx y l y x M +=:),,(00，得k y ='. 若直线l 过点M 的切线0l 存在，设切点为),(b kt t +，得)()(:0t x k b kt y l -=+-即 b kx y +=说明切线0l 与直线重合,从而可得定理2成立.定理3 过已知点),(00y x M 可作已知∈≥n n n ,2(N )次曲线∈≠++++==---0110111,,,,0()(a a a a a a x a x a x a x f y n n n n n n n ；R )切线的条数即关于t 的一元n 次方程(因为以下多项式)(t g 的首项系数0)1(≠-n a n )0)()()()(00=-'-+=y t f t x t f t g ① 的相异实数解的个数.证明 设切点为))(,(t f t ,得切线方程为))(()(:0t x t f t f y l -'=-由0l M ∈,得))(()(00t x t f t f y -'=-此即方程①,从而可得定理3成立.推论1 (1)过已知点作已知n n (是正偶数)次曲线切线的条数可以是n ,,2,1,0 ； (2)过已知点作已知n n (是奇数，3≥n )次曲线切线的条数可以是n ,,2,1 ； (3)过已知点作已知∈n n (N *)次曲线切线的条数最少是0，最多是n .证明 (1)当n 是正偶数时，由“实系数一元∈n n (N *)次方程的虚根成对出现”(见文献[2]第118页定理2)知，方程①可以没有实根，此时所作切线的条数为0.事实上，当已知点在已知二次曲线内部(即含拋物线焦点的区域)时，所作的切线就是0条.当n 是正偶数时，n 次方程①可以有n 个相异实根，也可以让n 个实根中恰有2个,3个,1,-n 个相等，n 个全相等，从而得方程①相异实数解的个数是1,,1, -n n .所以结论(1)成立.(2)当)3(≥n n 是奇数时，由“实系数一元∈n n (N *)次方程的虚根成对出现”知，此时方程①至少有一个实根，得此时的切线为一条.而后同上可证得结论(2)成立. (3)由(1),(2)知成立.引理1]1[ 设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆，则(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0>∆⇔且)(x f 的两个极值异号；(2)方程0)(=x f 有一个二重根和一个一重根0>∆⇔且)(x f 有一个极值为0；(3)方程0)(=x f 有三重实根0=∆⇔且d a b 2327=；(4)方程0)(=x f 有一个实根和两个共轭虚根⇔除(1),(2),(3)之外的所有情形. 引理2 设∈≠=+++=d c b a a d cx bx ax x f ,,,0(0)(23；R )，方程023)(2/=++=c bx ax x f 的判别式)3(42ac b -=∆(当0>∆时,设)(/x f =0的两根为21,x x )，则方程0)(=x f 相异实根个数的情形是：(1)方程0)(=x f 有三个不同实根0)()(021<⋅>∆⇔x f x f 且；(2)方程0)(=x f 有且仅有两个相异实根0)()(021=⋅>∆⇔x f x f 且； (3)方程0)(=x f 有唯一实根⇔除(1),(2)之外的所有情形0)0)()(0(21≤∆>⋅>∆⇔或且x f x f .由引理2及定理3，得 推论2过已知点),(00y x M 作已知曲线∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(23；R )的切线条数为1,2或3.具体的情形是(以下⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-'⋅-=0000)3()3)(3(])([y a b f a b x a b f y x f G )： (1)所作切线的条数为30<⇔G ；(2)所作切线的条数为2⎪⎩⎪⎨⎧=-≠⇔030G a b x ；(3)所作切线的条数为1⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=⇔0)3(30330000G a b f y ab x G a b x a b x 或或. 证明 此时的方程①，即02)3(2)()()()(00020300=-+++-+-=-'-+=y cx d t bx t b ax at y t f t x t f t g)3)((62)3(26)(0002abt x t a bx t b ax at t g +--=+-+-=' 可以验证引理2中的)()(21x f x f ⋅即这里的))(3()(0G abg x g =-⋅(用00)()()()(y t f t x t f t g -'-+=)，由定理3及引理2可证推论2成立，再细加说明如下:(1)所作切线的条数为30030<⇔<-≠⇔G G abx 且(因为当0<G 时用反证法可证ab x 30-≠).(3)第二个“⇔”是因为可证：当,30a b x -=)3(0abf y -≠时0>G . 三次曲线∈≠=+++==d c b a a d cx bx ax x f y ,,,0(0)(23；R )在对称中心(即拐点)处的切线方程为)3)(3()3(:a b x a b f a b f y l +-'=-- 即 0)3()3)(3(:=--++-'y abf a b x a b f l理科科压轴题 已知函数)0()(>++=a c xbax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y .(1)用a 表示出c b ,；(2)若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：)1()1(2)1ln(131211≥+++>++++n n n n n . (答案：(1)a c a b 21,1-=-=；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.) 本题可能是以欧拉(Euler,1707-1783)常数(有结论n n c nε++=++++ln 131211 ，其中c 为欧拉常数，且0lim =∞→n n ε)为背景编拟的.2.1 第(2)问的自然解法——分离常数法x x f ln )(≥即x a xa ax ln 211≥-+-+，它在1≥x 时恒成立，即)1()1(1ln ),1(2111ln 2>-+-≥>-+-+≥x x x x x a x xx x x a恒成立.用导数可证函数)1(ln )1()1(21)(2≥--+-=x x x x x x g 是增函数(只需证)1(01ln )(≥≥--='x x x x g 恒成立，再用导数可证)，所以)1(0)1()(≥=≥x g x g ，当且仅当1=x 时0)(=x g ，得21)1(1ln lim ),1(21)1(1ln 212=-+-><-+-+→x x x x x x x x x x所以“)1()1(1ln 2>-+-≥x x x x x a 恒成立”即“21≥a ”. 读者可能会问是如何想到证明以上函数)(x g 是增函数的：须求函数)1()1(1ln )(2>-+-=x x x x x x h 的上确界，就大胆猜测它是减函数(也可用多次求导的方法给予证明)，再用洛必达(H L 'ospita ，1661~1704)法则可求出其上确界是21，但洛必达法则不能在解答题中使用，笔者就使用以上技巧简洁圆满地解决了这个棘手问题.高考难题考什么，一定程度上来说就考合情推理、大胆猜测(猜测出正确的结论是解答难题的关键). 2.2 第(3)问的伴随结论试卷提供的两种证法都要用到第(2)问的结论，而不用此结论也可直接证得第(3)问.证法1 (数学归纳法)由43327.277.2>⨯>>e 可得1=n 时成立.假设∈=k k n (N*)时成立：)1(2)1ln(131211+++>++++k k k k . 下证1+=k n 时成立：)2(21)2ln(1131211++++>+++++k k k k .只需证明 )2(21)2ln(11)1(2)1ln(++++>+++++k k k k k k k即 ⎪⎭⎫⎝⎛+++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++211121111ln k k k ②只需证明)0(011111ln 2><⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，这用导数可证： 设)0(11111ln 2)(>⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x g ，得0)1(1)(22>+='x x x g ，所以)(x g 是增函数，0)(lim )(=<+∞→x g x g x .所以欲证成立.证法2 (累加法)由②，得⎪⎭⎫ ⎝⎛++<-+11121ln )1ln(k k k k 令n k ,,2,1 =后，把得到的n 个不等式相加可得欲证.(当然，证法1、2实质相同.)读者用以上证法还可证得该问的伴随结论： 定理4 (1))0(1112111ln 11>⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+x x x x x ；(2)∈≥<+++<++-+n n n nn n n ,2(ln 13121)1(22)1ln( N*).证明 (1)右边在上述证法1中已证，左边同右边的证法(用导数)也可证，详细过程见专著[3].(2)左边即上述第(3)问，右边用(1)的左边同证法1、2可证，详细过程也见[3].参考文献1 甘志国.三次方程根的情况的简明结论[J].中学数学(高中)，2007(10)：20-212 张远达编著.浅谈高次方程[M].武汉：湖北教育出版社，19833 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.173。
2010年江西高考数学
2010年江西高考数学引言2010年江西高考数学试题是江西省高考中的一部分。
数学试题是高考中的一门必考科目，对考生来说非常重要。
本文将对2010年江西高考数学试题进行分析和讨论。
一、试卷概述2010年江西高考数学试卷共分为选择题和非选择题两部分。
选择题包括单项选择题和多项选择题，非选择题包括填空题、解答题和证明题。
试卷难度适中，覆盖了高考数学的各个知识点和能力要求，对考生的综合能力进行了全面考查。
二、选择题分析1. 单项选择题单项选择题是高考数学中的基础题型，考查考生对基本概念和基本运算的理解和掌握程度。
2010年江西高考数学试卷的单项选择题共有20道，覆盖了代数、几何、函数、数列等各个知识点。
难易程度适中，但有一些题目需要考生细致入微地进行计算和推理。
2. 多项选择题多项选择题是考查考生对知识点的综合运用和分析能力。
2010年江西高考数学试卷的多项选择题共有10道，覆盖了函数、图形、立体几何等多个知识点。
多项选择题的难度较高，需要考生对知识点的理解和运用能力较强。
三、非选择题分析1. 填空题填空题是考查考生的精确计算和推理能力的题型。
2010年江西高考数学试卷的填空题共有5道，覆盖了各个知识点。
填空题的难度适中，需要考生细致入微地进行计算和推理。
2. 解答题解答题是考查考生的问题分析和解决能力的题型。
2010年江西高考数学试卷的解答题共有3道，覆盖了代数、几何等知识点。
解答题的难度较高，需要考生分析问题并给出合理的解答过程和结论。
3. 证明题证明题是考查考生的逻辑思维和推理能力的题型。
2010年江西高考数学试卷的证明题共有2道，覆盖了几何和函数两个知识点。
证明题的难度较高，需要考生运用所学的数学方法和原理，进行严密的证明过程。
四、试题特点分析2010年江西高考数学试卷的试题总体难度适中，覆盖了高中数学课程的各个知识点和能力要求。
试题设计合理，既考查了考生对基础知识的掌握程度，也考查了考生的分析和解决问题的能力。
对2010年高考江西卷压轴题的研究
对2010年高考江西卷压轴题的研究龚晓洛【摘要】@@ 高考压轴题往往构思精巧、立意鲜明、背景深刻、情境新颖、设问巧妙,对运算和推理能力都有较高的要求,体现出考查学生的学习潜能和高校选拔的功能. 下面对2010年江西高考理科压轴题作一些分析,与大家共勉.【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2010(000)012【总页数】2页(P39-40)【作者】龚晓洛【作者单位】江西省丰城市第二中学,331100【正文语种】中文高考压轴题往往构思精巧、立意鲜明、背景深刻、情境新颖、设问巧妙，对运算和推理能力都有较高的要求，体现出考查学生的学习潜能和高校选拔的功能. 下面对2010年江西高考理科压轴题作一些分析，与大家共勉.(2010年江西卷理第22题) 证明以下命题：(1) 对任一正整数a, 都存在正整数b, c (b<c), 使得a2, b2, c2成等差数列；(2) 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an, bn, cn为正整数且成等差数列. 首先，以考查基础知识立意. 本题以等差数列的概念和性质、三角形相似等为考查内容. 第(1)问从特例出发，第(2)问难度较大，体现出梯度和高考的选拔功能.二是以考查思想方法立意. 本题以存在性命题为主线，考查了特殊与一般、转化与化归、构造法、反证法等数学思想和方法，尤其是该题中构造法的应用在高考试题中是不多见的.三是以考查能力素质立意. 本题虽是一道数列题，但它跳出了常见的递推数列、数列与不等式综合等平时训练过热的题型模式，是一道将知识、方法、思想、能力、素质融于一体的创新型试题，对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力、自主探索能力和创新意识等综合能力提出了极高的要求.试题第(1)问的证明可应用构造方法，利用从特殊到一般的思想，证明如下：首先找出一组符合要求的解，如12, 52, 72成等差数列，再用构造法可作出无穷多组符合题意的整数.由12 +72 = 2×52，可得a2 + (7a)2 = 2×(5a)2，这里的a为正整数.此即a2, (5a)2, (7a)2成等差数列，故对任一正整数a, 都存在正整数b=5a, c=7a (b<c), 使得a2, b2, c2成等差数列.对于试题的第(2)问，我们希望按照上面的构造方法得到的这无穷多组解能符合要求，但非常遗憾的是，以a2, (5a)2, (7a)2 (a为正整数)为边长不能构成三角形(因为a2 + (5a)2<(7a)2). 退一步说，即使能构成三角形，如此作出的三角形也都是两两相似的，仍然不合题意. 为了求出符合要求的解，我们需要采用不同的构造方法. 先看命题组给出的参考答案：若成等差数列，则有即(bn-an)(bn+an)=(cn-bn)(cn+bn).选取关于n的一个多项式，例如4n(n2-1)，使得它可按两种方式分解因式.由于4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n+2)(2n2-2n)，因此令易验证an, bn, cn满足①，因此成等差数列.当n≥4时，有an<bn<cn 且an + bn- cn = n2 - 4n+1>0, 因此以an, bn, cn为边长可以构成三角形，将此三角形记为△n，显然这样的三角形有无穷多个.下面用反证法证明这些三角形中无两个相似.任取正整数m, n(m, n≥4，且m≠n)，假若三角形△m与△n相似，则有：==，据比例性质，有===，==故=，由此可得m = n, 与假设m≠n矛盾，即任两个三角形△m与△n(m, n≥4，且m≠n)互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an, bn, cn为正整数且成等差数列.上述解答中，一个显著的特点是构造一个与问题紧密相关的恒等式来达到目的，从而得到三角形的三边an, bn, cn.实际上，利用不同的恒等式还可以导出不同的构造，例如由即(bn-an)(bn+an)=(cn-bn)(cn+bn),8(n2-1)(n+3)=(4n+12)(2n2-2)=(4n-4)(2n2+8n+6),令易验证an, bn, cn满足②，因此成等差数列.当n≥7时，有an<bn<cn且an + bn- cn = n2- 6n-3= (n-3)2-12>0, 因此以an, bn, cn为边长可以构成三角形，且显然这样的三角形有无穷多个.与上面相仿地可以证明这些三角形互不相似.3.4 进一步的推广笔者思索，是否有一种更具一般性、更简便一些的构造方法呢？经过探寻，笔者找到如下一种构造方法，供大家参考.由成等差数列，得令an = p-q, cn= p+q, 则故只需使可设q =2uv, p = u2-v2, bn= u2 + v2 (u, v为正整数且u>v)，满足上式.从而有an= u2-2uv-v2, cn= u2 +2uv-v2 , bn= u2 + v2.这样只需对u和v赋予不同的值，即可得到三边an, bn, cn的不同整数解，例如：(1)令u = n, v =1, 得an= n2 -2n-1, bn= n2 +1, cn= n2 +2n-1，这就是命题组给出的标准解答中的特例；(2)令u = n+1, v = 2, 得an= n2-2n-7, bn= n2 +2n+5, cn= n2 +6n+1，即是上面3.3推广中的例子;……如此等等，显然有无穷多组不同的结果.乍看2010年江西卷理科压轴题,给人一种“似曾相识”的感觉，“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，其实这是一道源于数学竞赛的数列问题，此题的原型可在许多奥数竞赛辅导书籍中找到.原型题求证：存在无穷多个边长均为整数的直角三角形，且其中任意两个都不相似.命题者将上述原型题作适当的改编后移植成为今年的高考压轴题，两题结论和证明思路基本类似，都是利用构造法和反证法.人们希望每年所命制的高考题都是一些好题和新题，但这对命题者的要求委实太高，命题者经常使用的方法是把某些高等数学中的结论、或某些数学竞赛题加以变形，使其换一个面貌在高考题中出现.构造法是证明存在性命题的一种有效手段，应该予以重视.高考压轴题往往都有一定的创新，但并非是无源之水，而是推陈出新，有根可寻. 高等数学或数学竞赛试题中的一些基本概念和结论、基本思想和方法为设计高考试题提供了广阔而又深刻的背景. 作为高中数学教师，应对高考试题认真地分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质，以达到拓宽数学视野，居高临下，对高考试题触类旁通、举一反三、拓展解题思路的目的. 这是高三教学中把握复习方向的重要基点，也是提高课堂复习效益的有效手段.。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5 分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2 或x＞4} B．{x|x＜0 或x＞4}C．{x|x＜0 或x＞6} D．{x|x＜﹣2 或x＞2}9．（5 分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）1 n +1 n A ．（1，10） B ．（5，6） C ．（10，12） D ．（20，24）12．（5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P （3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A ，B 两点，且 AB 的中点为 N （﹣12，﹣15），则 E 的方程式为 （）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 x 1，x 2，…x N 和 y 1，y 2，…y N ，由此得到 N 个点（x i ， y i ）（i=1，2，…，N ），再数出其中满足 y i ≤f （x i ）（i=1，2，…，N ）的点数 N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为． 14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5 分）过点 A （4，1）的圆 C 与直线 x ﹣y=1 相切于点 B （2，1），则圆 C 的方程为．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC ，∠ADB=120°，AD=2，若 △ADC 的面积为，则∠BAC= ．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1） 求数列{a n }的通项公式；（2） 令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ） 证明：PE ⊥BC（II ） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方 法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别 是否需要志愿者男 女需要 40 30 不需要160270（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2） 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3） 根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：K 2=．20．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A 和B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z 的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x==2，得切线的斜率为2，所以k=2；﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P 在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0 时，点P 到x 轴距离d 为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x 在R 为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x 在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2 和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1 是真命题，P2 是假命题，故p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1 是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2 是假命题．由此可知，q1 真，q2 假，q3 假，q4真．故选：C．【点评】只有p1 与P2 都是真命题时，p1∧p2 才是真命题．只要p1 与p2 中至少有一个真命题，p1∨p2 就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2 个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5 分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5 分）设偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x |f （x ﹣2）＞0}=（ ） A ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞4} B ．{x |x ＜0 或 x ＞4} C ．{x |x ＜0 或x ＞6}D ．{x |x ＜﹣2 或 x ＞2}【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断． 【专题】11：计算题．【分析】由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案． 【解答】解：由偶函数 f （x ）满足 f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），可得 f （x ）=f （|x |）=2|x |﹣4，则f （x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使|x ﹣2|＞2 解得 x ＞4，或 x ＜0．应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5 分）若，α 是第三象限的角，则 =（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣2【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；GW ：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 α 与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A，B 两点，且AB 的中点为N（﹣12，﹣15），则E 的方程式为（）A．B．C．D．【考点】KB ：双曲线的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A ，B 点坐标代入方程联立相减得x 1+x2=﹣24，根据=，可求得 a 和【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=k PN =1， 设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 ，两式相减并结合 x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30 得 =，从而 k==1即 4b 2=5a 2，又 a 2+b 2=9， 解得 a 2=4，b 2=5，故选：B ． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）设 y=f （x ）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤f （x ）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组 N 个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N 和y1，y2，…y N，由此得到N 个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5 分）过点A（4，1）的圆C 与直线x﹣y=1 相切于点B（2，1），则圆C 的方程为（x﹣3）2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5 分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则∠BAC= 60°．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面积求得BD 和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC 的值．【解答】解：由△ADC 的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，1 n +1 n n n n n n，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17．（12 分）设数列满足 a =2，a ﹣a =3•22n ﹣1 （1） 求数列{a n }的通项公式；（2） 令 b n =na n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式． 【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得 a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n +1）﹣1．由此可知数列{a}的通项公式为 a =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b =na =n•22n ﹣1 知 S =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，当 n ≥1 时，a n +1=[（a n +1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）]+a 1=3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n +1）﹣1．而 a 1=2，所以数列{a n }的通项公式为 a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由 b n =na n =n•22n ﹣1 知 S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1①n n 从而 22S =1•23+2•25+…+n•22n +1② ①﹣②得（1﹣22）•S =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n•22n +1． 即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（I ） 证明：PE ⊥BC（II ） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【考点】MA ：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1） 表示，，计算，就证明 PE ⊥BC ．（2） ∠APB=∠ADB=60°，求出 C ，P 的坐标，再求平面 PEH 的法向量，求向量，然后求与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为 x ，y ，z 轴，线段 HA 的长为单 位长，建立空间直角坐标系如图，则 A （1，0，0），B （0，1，0） （Ⅰ）设 C （m ，0，0），P （0，0，n ）（m ＜0，n ＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m= ，n=1 ，故 C （﹣），设=（x，y，z）为平面PEH 的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．19．（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12 分）设F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线ℓ 与E 相交于A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2 和x1x2进而根据，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，离心率可得．（II）设AB 的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0 和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN 的斜率，根据求得c，进而求得a 和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l 的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B 两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则， 因为直线 AB 斜率为 1，|AB |=|x 1﹣x 2|=，得，故 a 2=2b 2 所以 E 的离心率（I ） 设 AB 的中点为 N （x 0，y 0），由（I ）知． 由|PA |=|PB |，得 k PN =﹣1，即得 c=3，从而故椭圆 E 的方程为． 【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12 分）设函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣ax 2．（1） 若 a=0，求 f （x ）的单调区间；（2） 若当 x ≥0 时 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数 f （x ）求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．（2）根据 e x ≥1+x 可得不等式 f′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而可知当 1﹣2a ≥0，即时，f′（x ）≥0 判断出函数 f （x ）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0 时，f （x ）=e x ﹣1﹣x ，f′（x ）=e x ﹣1．当 x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当 x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0 时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0 时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f （x）＜0．综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10 分）如图：已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（I）∠ACE=∠BCD．（II）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB 即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC 与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5 分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10 分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10 分）已知直线C1（t 为参数），C2（θ为参数），（I）当α=时，求C1 与C2 的交点坐标；（II）过坐标原点O 做C1 的垂线，垂足为A，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1 与C2 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1 的普通方程为，C2 的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1 与C2 的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1 的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA 的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10 分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（I）画出函数y=f（x）的图象：（II）若不等式f（x）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知先寻找满足f（x）≤ax 的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2 或a≥ 时，函数y=f（x）与函数y=ax 的图象有交点．故不等式f（x）≤ax 的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
用动态圆解三道2010年全国卷压轴题
用动态圆解三道2010年全国卷压轴题
曾国平
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2010(000)009
【摘要】2010年高考全国卷共有三份,分别是全国Ⅰ卷、Ⅱ卷和新课标卷,巧合的是三份试卷的压轴题都考查带电粒子在匀强磁场的运动.由于带电粒子的速度大小或者方向发生变化,加之磁场区域有界,三道压轴题都有一定的难度,如果能够应用动态圆的方法,
【总页数】3页(P41-43)
【作者】曾国平
【作者单位】江西省赣州市赣县中学,341100
【正文语种】中文
【中图分类】G633
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2010年高考数学(江西卷)试题及参考答案
（ 若集合 Ａ＝｛ Ｉ ｝Ｂ＝｛ 文） ｚＩ ≤１ ， ｌ ｚＩ
Ａ ． ＝ 一 １， Ｙ＝ １
≥０ ， ＡｎＢ＝（ ｝则
） ． Ｂ． ｚ ｝ ｛ ≥０ Ｉ Ｄ． Ｉ 《 ｚ
的解 集是
Ｚ
Ｃ． ＝ １， ｚ Ｙ＝ １
Ｄ ． ＝ １ ＝２ ，
，
（， ｉ ＋∞）恒有 ｆ ｘ ≤ ［ （ ）一 ＝ｆ ｅ ＝ ， ， （） 厂ｚ］ （ ） ０
点评 ： 不等 式变形后 构 造 函数 ， 把 然后 用导
・ ． ．
１ｚ一互 ≤ Ｏ 即 ｌ ≤ 互 ．・ ｎ ， ｎ ． ・
＞ １且
数证 明该 函数的单调性 ， 达到证明不等式的 目 的 ． 得 注 意 的是 ， 了证 ： （ ＜０ 又 引入 值 为 ） ，
６ ０分 ． 每 小 题 给 出的 四 个 选 项 中 ， 有 一项 在 只 是 符合题 目要求 的 ．
Ｂ． ≥０ ｛ ｌ ｝ Ｄ．Ｉ （ ｚ
１（ ） ．理 已知 （ ｚ＋ｉ （ 一ｉ ＝ ， 实数 ， ）１ ） 则 Ｙ分别 为 （ ） ．
Ｂ ． ＝ 一 １ Ｙ＝ ２ ｚ ，
（ ） ．
Ａ［号ｏ Ｂ（∞一 ］［＋ ） ． ， 一 ］ ． ，号ｕｏ ｏ ～ ，ｏ
ｃ一， ．号 ］ ．譬譬 ［ ＇ ［ ］Ｄ一 ０
（ ） 函数 文 若 ｚ 对称 ， 口为（ 则 ） ． 的 图像 关 于直 线 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 意实数 １ 一１ ±ｌ 任
，
分析 ： 视旦 为 ｘ（ ｘ＞１ ， ）即证 ｌｘ＜＿ ｎ ｚ． ． 证 明 ： 造 函数 厂 ） ｎ 构 （ ：ｌｚ一互 ， ｚ∈ （ ， １
１ １
． ．
．
的单调 性 或求 出最值 ・ 外 应特 别 注 意 区 间端 另
2010年江西高考理科数学试题及答案[1]
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角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。
11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
从高考数学江西卷五年“概率与统计试题”的分析看2010年此类试题命题的趋向
ｌ
２
Hale Waihona Puke ３ 一１ ｎ
Ｐ ｐ １ ｐ ｐ （ 一 ）Ｐ （ － ） １ ｐ
（ 一 ） Ｐ １－ ） １ Ｐ （ ｐ
考试 ， 之后就 是新 课标 教 材 的高考 了 ， 故应 积极 关 注 （） ２ 试验 中， 事件 Ａ首次发 生后 即停 止试验 ， 但试 “ 正态分 布” 这一考点） 内容 。其实 ， 、 等 文 理科 的概率
“ 概率与统计” 中以独 立重 复事 件 为基 础 的随机 戏 ， 当出现正 面朝上 时 Ａ赢得 曰一 张卡 片 ， 则 Ｂ赢 否 变量的分布列 、 期望值 问题 ， 这其 中随机变量 的概率分 得 Ａ一 张 卡 片 ， 果 某 人 已赢 得 所 有 卡 片 ， 游 戏 终 如 则 布又有“ 二项分布 ” “ 和 几何 分布 ” 二项 分布 ” 对 止 。求掷硬 币的次数不大于 ７次时游戏终止的概率。 。“ 是
题 要 关 注 几 何 分 布 和 正 态 分 布 （ 态 分 布 这 五 年 都 没 验 次 数 不 超 过 次 。 其 分 布 列 为 正
有考题涉及 ， 其他省份的高考试 题多有考查 ， 题型有 客
观 题 和 主 观 题 ； 上 明 年 是 新 大 纲 版 教 材 的 最 后 一 次 加
“
ｎ次独立重复试验发生了 ｋ ” 概率分布角度所 作 次 从
（ ）、 理 Ａ Ｂ两位 同学 各有五张 卡片 ， 以投掷均匀 现
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例 ２２０ （０ ５年 江西省 高考第 １ ） 文 ） Ｂ两位 ９题 （ 、 同学各有五张卡片 ， 现以投掷均 匀硬 币的形式 进行游
(甘志国)对2009年高考江西卷压轴题的研究(5页)
对2009年高考江西卷压轴题的研究甘志国(该文已发表 中学数学(高中)，2009(9)：42-43)2009年高考江西卷理科压轴题(即第22题)及其参考答案是：各项均为正数的数列{}n a ，b a a a ==21,，且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有)1)(1()1)(1(q p q p n m nm a a a a a a a a +++=+++. (1)当54,21==b a 时，求通项n a ； (2)证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有λλ≤≤n a 1.解 (1)由题意，可得)1)(1()1)(1(121211--+++=+++n n n n a a a a a a a a ，再由54,21==b a ，得1313,3111,113111,2121111+-==+-+-⋅=+-++=----nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ，还可验证1313+-=n nn a 满足题设的所有条件，所以所求通项1313+-=n n n a .(2)由题设)1)(1(n m nm a a a a +++的值仅与n m +有关，记为m m b +，则)1)(1()1)(1(111n nn n n a a a a a a a a b +++=+++=+. 考察函数)0()1)(1()(>+++=x x a xa x f ，则在定义域上有1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩故对∈n N *，)(1a g b n ≥+恒成立.又 )()1(222a g a a b n n n ≥+=.又21)(0≤<a g ，得)()(21)(1)()(21)(1)(21)(1)(a g a g a g a a g a g a g a g a g a g n -+-≤≤---=-+-取)()(21)(1a g a g a g -+-=λ，即有λλ≤≤n a 1.下面先给出第(2)问的简解：同参考答案，得21)(0),()1(22≤<≥+a g a g a a n n 所以2)(,)(1212212a g a a g a a a a n n n n n >≤++<；)(2,)(121222a g a a g a a a a n n n n n <≤++<,即)(22)(a g a a g n <<，所以存在正数M m ,，使得M a m n ≤≤. (也可由“0)1(2lim 2=++∞→n na a a n 与0)()1(22>≥+a g a a n n ”矛盾知存在正数M ，使得M a n ≤.)若M m 1≤，得m M a m n 1≤≤≤；若M m 1>，得M a m Mn ≤≤≤1.总之，要证结论成立.(由此知，该问即证n a 有正数的上确界和下确界.)再对第(1)问作如下研究： 定理1 设数列{}n a 满足d b a baa d ba a n n n ,,(1++=+是已知的复数),02b ad ≠，αα-,是其特征方程bax d bx x ++=即02=-d ax 的两个复数根(且1,0a ±≠α)，则对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有)())(())((α±=+++=+++x a x a x a a a x a x a a q p q p n m nm .证明 由2b ad ≠，得ab±≠α，所以0≠αa b . 再证n a 不是方程02=-d ax 的根：因为1a 不是其根，所以只需证∈+n a n (1N *)不是其根.假设某个1+n a 是其根，得)(,11121b aa a ba d aa d n n n n -=-=++++由此还可得01≠-+b aa n ：否则11,++==n n ba d b aa .若01=+n a ，得0==d b ，与2b ad ≠矛盾！所以01≠+n a ，得2b ad =，也矛盾！所以01≠-+b aa n .由题设中的递推式，得)()(,111111b aa a ba d a b aa d ba ba a aa n n n n n n n n n -=-=-+=+++++++n n a a =+1由“假设某个1+n a 是其根”知n a 是方程02=-d ax 的根，进而得1a 是其根，这与题设矛盾！所以n a 不是方程02=-d ax 的根，即α±≠n a .注意，只有完成了上述证明，才能说以下证明是严格的(应时时注意分母不为零). 可证αααααα-+⋅-+=-+++n n n n a a a b a b a a 11(因为该式等价于21)(αa ba a b aa n n n +=++，而这由已知的递推式可得)，所以111-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=-+n n n a b a b a a a a αααααααααααααααα+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+--111111)(1n n n a b a b a a a a b a b a a 假设01111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-n a b a b a a αααα，得0)(111=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-ααααααn a b a b a a ，所以11111-==⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-n a b a b a a αααα，这不可能，所以1)(111111-⎪⎭⎫⎝⎛-+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=--n n n a b a b a a a b a b a a a αααααααααα 1)(2,12111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=----n n n n n a b a b a a a b a b a a a a b a b a a a αααααααααααααααα当α=x 时,2211221121))(())((-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++=+++n m n m n m nm n m n m a b a b a a a b a b a a a a a a a x a x a a ααααααααααα;当α-=x 时,ααααααα21))(())((2211-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+=+++-+n m n m n m n m n m a b a b a a a a a a a x a x a a .总之，当α±=x 时，))((n m nm a x a x a a +++的值仅与n m +的值有关，所以要证结论成立.定理 2 设数列{}n a 满足“对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有),,0())(())((21a a a a a a a a a a q p q p n m nm ±±≠+++=+++ααααα且21a a ≠”，则数列{}n a 由递推公式)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n 确定. 证明 由题设，得))(())((221111n nn n a a a a a a a a +++=+++++αααα 221221122121)()(])[(αααa a a a a a a a a a a n n n -+-=-+-+若0)(22121=-+-αa a a a a n ，得0)()(221221=-+-ααa a a a a n ，所以n n a a a a a a a a a a )()(,)(21222121221-=--=-ααα由0,21≠≠αa a ，得0≠n a ，且n n a a a a a a 22122221)()(-=-αα所以 22122221)()(a a a a -=-αα21,a a ±±=α(可以观察出以上关于α的四次方程的的四个根是21,a a ±±=α.)这与题设矛盾！所以0)(22121≠-+-αa a a a a n ，得)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n即定理2成立.定理3 设21,,0a a ±±≠α，21a a ≠，则数列{}n a 满足“对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有))(())((q p q p n m nm a a a a a a a a +++=+++αααα”的充要条件是数列{}n a 由递推公式)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n 确定(所以其通项公式为1))(())(())(())(()(12121111212111-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=--n n n a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααα).证明 由定理2知必要性成立，由定理1也可证充分性成立(关于通项公式的结论参见定理1的证明可得).注 这道压轴题是考查特殊与一般思想、等价转化思想、函数与方程思想的一道好题，考查的主要知识点是“由递推公式11(a baa dca a n n n ++=+已知),0bc ad a ≠≠确定的数列}{n a 的通项公式的求法”，关于此，拙文[1-3]给出了很好的初等解法——待定系数法、构造等比数列法，2007年高考理科全国卷(I)压轴题、2009年高考重庆卷第14题也都有此背景.参考文献1 甘志国.两类递推数列通项的求法[J].数学通讯，2006（17）：21-222 甘志国.应对高考需要研究性备考——兼评2008年高考陕西卷(理科)压轴题[J].中学数学研究(广州)，2009（5）：28-303 甘志国.初等数学研究(I) [J].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2008.292-298。
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谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题
甘志国(该文已发表 数理天地(高中版)，2010(9)：19，21)
本文将谈谈2010年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题：
高考题 证明以下命题：
(1)对任一正整数a ，都存在正整数)(,c b c b <，使得222,,c b a 成等差数列；
(2)存在无穷多个互不相似的三角形n ∆，其边长n n n c b a ,,为正整数且2
22,,n n n c b a 成等差数列.
参考答案 (1)易知2227,5,1成等差数列，所以222)7(,)5(,a a a 也成等差数列，即对任一正整数a ，都存在正整数)(7,5c b a c a b <==，使得222,,c b a 成等差数列.
(2)若222,,n n n c b a 成等差数列，得 2222n n n n b c a b -=-
))(())((n n n n n n n n b c b c a b a b +-=+- ① 选取关于n 的一个多项式，例如)1(42-n n ，使得它可按两种方式分解因式，由于
)22)(22()22)(22()1(4222n n n n n n n n +-=-+=-
所以，可令
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=--=++=-n n b c n b c n n a b n a b n n n n
n n n n 2222222222
即 )4(12112222≥⎪⎩
⎪⎨⎧-+=+=--=n n n c n b n n a n n n
易证n n n c b a ,,满足①，所以2
22,,n n n c b a 成等差数列.
当4≥n 时，n n n c b a <<，且0142>+-=-+n n c b a n n n ，所以以n n n c b a ,,为边长可以构成三角形，将此三角形记为)4(≥∆n n .
任取正整数),4,4(,n m n m n m ≠≥≥，若m ∆与n ∆相似，得
1
212111212222222-+-+=++=----n n m m n m n n m m 11
)
1()12()1()12(12121122222222--=+--++--+=-+-+=++n m n n n m m m n n m m n m 11
)
12()1()12()1(12121122222222++=---+---+=----=++n m n n n m m m n n m m n m n m n m n m =--=++,1
111 这与n m ≠矛盾！所以任意两个三角形m ∆与),4,4(n m n m n ≠≥≥∆互不相似.即欲证成立.
在本题第(2)问中，有222n n n c b a ≥≥或222n n n c b a ≤≤.若222n n n c b a ≥≥，又设),,(),,(y z x c b a n n n =，得z y x ,,是互质的正整数且
),(2222x z y y x z y x >+≥=+ ② 求方程②的正整数解就是解不定方程问题.
早在1995年，笔者就在文献[1]中给出了以下结论(也可见专著[2])：
定理1]1[ 方程z y x z y x ,,(2222=+两两互质，)y x >的全部正整数解为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+-=22222222s r z rs
s r y rs s r x
其中∈s r ,N*2,,s r >†s r +(“†”表示不整除)1),(,=s r .
证明 有222y x +，因为1),(=y x ，所以y x ,均为奇数.
由y x >知，可设∈=-=+b a b y x a y x ,(2,2N*)，所以1),(,,=-=+=b a b a y b a x .
把它代入2222z y x =+，得2
22z b a =+，且由1),(=b a 得z b a ,,两两互质，由勾股数组的求法(参见文献[3])，得
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==22222s r z s r b rs a 或
⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=22222s r z rs b s r a 其中∈s r ,N*2,,s r >†s r +1),(,=s r .所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+-=22222222s r z rs
s r y rs s r x
因为在方程②中，“正整数z y x ,,两两互质”等价于“正整数z y x ,,互质”，所以由定理1可得以上高考题第(2)问的一些答案，比如选1),4(=≥=s n n r ，可得以上参考答案第(2)问，选1,2==s r ，可得以上参考答案第(1)问.
这道高考压轴题以整数性质为背景，实际上，有很多高考题喜欢考查整数性质，比如2010年高考江西卷文科压轴题、湖北卷理科第20(2)题，2007年湖北理科卷中的四道题]4[.
所以在高考复习备考中，应重视这方面的研究.
参考文献
1 甘志国.有理数集上不存在四连贯的二次多项式[J].数学通讯，1995(12)：23-26
2 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.117
3 魏万迪.整数入门[M].成都：四川教育出版社，1988.268
4 甘志国.2007年高考湖北卷的一大特色——整数性质[J].数学通讯，2007(18)：19-20,18。