“命题的否定”与“否命题”

“命题的否定”与“否命题”

河南 姚红雨

“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.

一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式

设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.

例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 . (2005.江苏高考) 分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.

评注：该命题的否定形式为“若122-≤>b a b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:

(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；

否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；

(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；

否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.

如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.

例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；

(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.

解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形， 否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；

否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；

(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加， 否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；

否定形式（p ⌝

）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加； 原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加， 否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.

否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.

评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；

（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.

除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：

1.简单命题的否定

不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.

例4.写出下列命题的否定(即非p )：

(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；

(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；

(5)a ，b 都是1.

解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；

(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；

(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；

(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根

(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.

评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．

2.复合命题的否定

由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.

例5.写出下列命题的否定：

(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；

(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.

解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)

（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）

（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）

（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)

评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。而在复合命题中的“或”是可兼的；

(2) “p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式出现在“若A ，则B ”形式的命题中，该命题的否定或否命题的写法规则相同，例如例2中第(1)小题的解法.

3.含有一个量词的命题的否定

对含有一个量词的命题的否定，应根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其呈现的或隐含的量词.命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“∃ ”与“∀ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.

全称命题“M x ∈∀,)(x p ”的否定为“M x ∈∃,

)(x p ⌝”；存在性命题“M x ∈∃,)(x p ”的否定“M x ∈∀,)(x p ⌝”.解题时就是把命题p 中的全称量词改成存

在性量词，存在性量词改成全称量词，并把量词的作用范围进行否定.

例6.写出下列命题的否定：

(1)R x ∈∃，012≤++x x ； (2)有些三角形是直角三角形；

(3)不存在实数x ，x x 212<+； (4)对任意的A x ∈，都有2)(>x f ；

(5)正数的绝对值是它本身； (6)可以被5整除的整数，末位是0.

解：(1)命题的否定为：不存在R x ∈，使012≤++x x ，即：R x ∈∀，012>++x x ；

(2) 命题的否定为：没有一个三角形是直角三角形，即所有三角形都不是直角三角形（在这里，不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”）；

(3)命题的否定为：并非“不存在实数x ，x x 212<+”，即存在实数x ，x x 212<+；