初一几何练习——角平分线
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
七年级数学下册 角平分线的性质习题
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是()A. SSSB. ASAC. AASD. 角平分线上的点到角两边的距离相等2. 作∠AOB的平分线时,以O为圆心,某一长度为半径作弧,与OA,OB分别相交于点C,D,然后分别以点C,D 为圆心,适当的长度为半径作弧,使两弧相交于一点,则这个适当的长度为()A. 大于CDB. 等于CDC. 小于CDD. 以上答案都不对3. 根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论:__________,并说明理由.4. 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A. 6B. 5C. 4D. 35. 如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是点C,D,则下列结论错误的是()A. PC=PDB. ∠CPD=∠DOPC. ∠CPO=∠DPOD. OC=OD6. 如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为点A,B.下列结论中不一定成立的是()A. PA=PBB. PO平分∠APBC. OA=OBD. AB垂直平分OP7. 如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()A. 8B. 6C. 4D. 28. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于____.9. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为()A. AD>DEB. AD=DEC. AD<DED. 不确定提升训练10. 如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H,再分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.(1)试说明:AB=AE;(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.11. 如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N. 试说明:PM=PN.12. 如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.13. 如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.试说明:∠BAP+∠BCP=180°.答案：1. A2. A3. OM平分∠BOA4. A5. B6. D7. C8. 3509. D10.解：（1）∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）∵∠A=100°，∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=40°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=40°．11. 证明：因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD.又因为BA=BC,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB.因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,所以PM=PN.12. 证明：如图,作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,因为AC为∠BAD的平分线,所以CG=CH.因为AB=AD,所以S△ABC=S△ACD.又因为AE=DF,所以S△AEC=S△CDF.因为S△BCE=S△ABC-S△AEC,S△ACF=S△ACD-S△CDF,所以S△BCE=S△ACF.因为S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,所以S四边形AECF=S△AEC+S△BCE.所以S四边形AECF=S△ABC.所以四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.13.证明：如图，过点P作PE⊥BA于E.∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，∴PD=PE.∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，∴△BPD≌△BPE.∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，∴AE=CD.∵PD=PE，AE=CD，PD⊥BC，PE⊥BM，∴△PCD≌△P AE，∴∠PCB=∠P AE.∵∠BAP+∠P AE=180°，∴∠BAP+∠PCB=180°.。
角平分线性质练习题
４ 分层练习, 评价自我活动四 做一做 练习一：判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ）（2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ）（3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。
( )2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。
( )3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）练习三如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
(1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。
(2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想（1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？６ 布置作业，指导学习1、必做题：教材：第2题。
2、选做题：教材：第3题。
板书设计角平分线的性质 角平分线的判定∵ PA=PB ∵ OP 平分∠AOB ， 又∵ PA ⊥OA ，PB ⊥OB 又∵ PA ⊥OA, PB ⊥OB ∴ OP 平分∠AOB ∴ PA=PB到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等测试目标：探索并掌握角平分线性质11.3角平分线性质（1）一、选择题 1．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 2．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于()A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm 二、填空题3．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________．ABC DOPEDCB4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ．⑵已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2．三、解答题5．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF6．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ， BD 平分∠ABC ． 求证：BC = AB + AD测试目标：探索并掌握角平分线性质11.3角平分线性质（2）一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点2． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处Ｄ．4处21AB CDEFF A B EC DD B A C二、填空题3．角的内部_____________________________的点，在这个角的平分线上．4．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=_____度．5．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）6．已知，如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC 的外角平分线．角的平分线性质的正确应用“角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用例1 如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.求证:∠CBA+∠ADC=180°.小结:涉及到角平分线有关的问题,要想到角平分线性质的应用,应用注意步骤的完整性.不要漏点关键的步骤:如CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别是E，F不能漏掉.例2 如图,在△ABC,∠C=90°,AD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB.垂足为E.DE=EB.求证:AC+CD=AB.小结:本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的.解决问题时应灵活应用角平分线的性质.二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用例3 如图，△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证：BP为∠ABC的平分线.小结:本题角平分线性质和判定的综合应用,应注意辅助线的添加的方法.角的平分线性质及应用李其明（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．（A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对．例2．如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，试问：P到AB、BC、CA的距离相等吗？例3．如图2，△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BD=4，BC=7，则D到AB的距离是．例4．如图3，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）．（A）∠1＞∠2（B）∠1=∠2（C）∠1＜∠2（D）不能确定．例5．如图4，在△ABC中，∠A=900，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，求△BDC的面积．BDACE图2AB CO1 2AB CDEMACBPNFE 图１图３例6．如图4，在△ABC中，∠A=900，AC=AB，BD平分∠BAC，DE⊥BC，BC=8，求△BED的周长．．例7．如图5，△ABC中，∠A=900，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，求∠B的度数．角平分线典型案例精析李庆社题1 已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点.求证：（1）当 ∠1= ∠2时，OB=OC；（2）当OB=OC时，∠ 1= ∠2.【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.题2 已知：如图∠ 1= ∠2，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，连结CD交AB于E求证：AB垂直平分CD.【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.1AB CDE2图５题3 已知：如图AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，EF 交AD 于M,求证：MF=ME.【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形.角平分线（同步测控） 一、选择题1. 2007广东茂名课改）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于 点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42. （2007浙江义乌课改） 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE =3，则点P 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63. (2007广东课改)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点4. （2006 贵港课改）已知：如图，AD 是ABC △的角平分线，且:3:2AB AC =，则ABD △与ACD △的面积之比为（ ） Ａ．3:2Ｂ．3:2Ｃ．2:3Ｄ．2:3 5. （2005 ）如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小 关系是（ ） Ａ．PC PD > Ｂ．PC PD =Ｃ．PC PD < Ｄ．不能确定6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（ ） A ．SAS B 。
初一三角形角平分线经典例题
《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图 复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解 【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π， 故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =， 即此时t 的值为254． （2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。
七年级上角平分线练习题及答案
角平分线相关练习题如图，^AOB=6Q°, CD 丄04 于 D , CE1.OB 于 E,且 CD=CE> 则 ZDOC= ___________A3、如图，已知OE. OD 分别平分厶商 和ZBOC,若 厶OEW ,Z^OZ>=70% 求ZBOC 的度数.3. 如图9F 平分ZAOB,PC 丄O £PD 丄O 乩垂足分别是6D.下列结论中错误的是（4、如图 4,在△ABE 中 ZA=90° , 若AD=m, BCn,求△BDC 的面积.5、（2007浙江义乌课改）如图，点F 是£BAC 的平分线上一点，FE 丄理C 于点E.已知FE3 则点戸到川办的距离是（A. 3B. 4C. 5D. 6A. PC=PDC. ZCPO= ZDPO B. OC = OD D ・ OC=PC区（7 分）如图，ZAOB=ZCOD=903J OC平分ZAOB, ZB0D = 3ZD0E 试求ZCOE的度数.B了如图，已知ZAOB = 90% ZBOC=60°, OD是ZAOC的平分线，求ZBOD的度数•鼠如图，已知/DOE=70°, ZDOB=40\OD平分ZA OB 9OE 平分Z" OG 求Z4 OCA答案：1、/DOC=30 °解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为/AOB 的角平分线，因为/ AOB=60 °，所以zDOC= ZEOC=30 °2、/BOC=5O °解析：由题知，/ AOE= ZBOE=? Z AOB=45。
，启OD= ZEOD-Z BOE=70。
-45 °25。
，启OC=2 ZBOD=50 °3、D解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。
4、S^BDC=? mn解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E,贝V DE为ABDC的高线，由于DA丄AB且DE丄BC, BD是角平分线，故得知线段AD=DE=m , S4BDC=? BCXDE=? mn5、A解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离=PE=36、"OE=75 °解析：Z AOC= ZBOC= ZBOD=? X 90 ° =45 °，因为Z BOD=3 ZDOE，所以Z BOE=? ZBOD= ? X45 °=30 ° , ZCOE= ZBOC+ ZBOE=45 °+30 °757、/BOD=75 °解析：Z COD=Z AOD=?Z AOC=?(Z AOB-Z BOC)=?(90°-60°)=15°，ZBOD= ZBOC+ ZCOD=60 °+15 °758、/AOC=14O °解析：Z AOC= Z AOB+ Z BOC=2 Z BOD+2 Z BOE=2 Z BOD+2 (Z DOE-Z BOD)=2 Z DOE=2 X70 °=140 °。
角平分线练习题
角平分线练习题一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，则AB长为〔〕A．2 B．2C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，则△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD则CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．68．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，则OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点D．Q点11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．2413．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．414．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．418．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．1个21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．2422．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S=10，DE=2，AB=4，则△ABCAC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6评卷人得分二．填空题〔共13小题〕=9，23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S△ABC则DE的长为．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB 边的距离是．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．31．如图，点O在△ABC，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，则∠BOC=．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，则△ACD的面积为．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，则…、〞的形式：如果，则．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为．评卷人得分三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．2018年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，应选：D．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，应选：B．3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．应选：C．4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，则AB长为〔〕A．2 B．2C．2D．3【解答】解：如图，过B点作BE⊥OA于E，∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD=2，∴BE=BD=2，在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，∴AB=BE=2．应选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，则△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．应选：B．6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．应选：C．=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD则CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S=AB•DE=×10•DE=15，△ABD解得DE=3．应选：A．8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，应选：C．9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，则OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM=ON=8cm，应选：C．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．应选A．11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处【解答】解：如下图，加油站站的地址有四处．应选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，应选：C．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕，∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的选项是①②③④共4个．应选：D．14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．应选：C．15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和△AEP中，∴Rt△ADP≌△AEP〔HL〕，应选：D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴DE=DC=3cm，应选：B．17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=2，∴PE=PD=2．应选：B．18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．应选：A．19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选：B．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．1个【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．应选：B．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=，应选：B．=10，DE=2，AB=4，则22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABCAC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，=AB×DE=×4×2=4，∵S△ADB∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6应选：D．二．填空题〔共13小题〕23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S=9，△ABC则DE的长为．【解答】解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，，即×5×DE+×6×DE=9，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC解得，DE=，故答案为：．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 3 ．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是96 ．【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OM=ON=OD=6，∴△ABC的面积为：×AB×OM+BC×DO+NO=〔AB+BC+AC〕×DO=32×6=96．故答案为：96．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是42 ．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB +S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×〔AB+AC+BC〕=×4×21=42，故答案为：42．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm ．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB 边的距离是16 ．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=16〔角平分线性质〕，故答案为：16．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，则DE的长为 3 ．【解答】解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°．在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°，∴DE=AD=3．故答案为：3．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处．【解答】解：∵△ABC角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．31．如图，点O在△ABC，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，则∠BOC= 120°．【解答】解：∵点O在△ABC，且到三边的距离相等，∴点O是三个角的平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣60°〕=60°，在△BCO中，∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，则△ACD的面积为8 ．【解答】解：作DH⊥AC于H，∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°，DH⊥AC，∴DH=DB=2，∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8，故答案为：8．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= 150°．【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，则…、〞的形式：如果一个点在角的平分线上，则它到这个角两边的距离相等．【解答】解：如果一个点在角平分线上，则它到角两边的距离相等．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为14 ．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32×=14，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故答案为：14．三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】〔1〕证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；〔2〕AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：〔1〕∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∴∠ECD=∠EDC；〔2〕在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE〔HL〕，∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，∵AB=AD，∴△ABC面积=△ACD面积，又∵AE=DF，∴△AEC面积=△CDF面积，∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，∴△BCE面积=△ACF面积，∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，∴四边形AECF面积=△ABC面积，又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．【解答】解：〔1〕OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；〔2〕过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，=BC•OM=×12×4=24〔cm2〕．∴S△OBC40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；〔2〕解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，.∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．。
角的平分线问题专项训练(30道)
角的平分线问题专项训练（30道）【题型1 单角平分线型】1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC 的度数．∠EOC，若∠DOE＝3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=1255°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；∠DOB，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠COE=136．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON 的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【题型2 双角平分线（不交叉型）】11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON ＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图∠，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图∠，如图∠，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图∠结论：；图∠结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．∠若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；∠若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON 的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB ＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【题型3 双角平分线（交叉型）】21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图∠所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB 之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图∠所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷§13.3.1 角的平分线(含答案)-
2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷§13.3.1 角的平分线的性质(含答案)-13.3.1 角的平分线的性质知识要点1．角的平分线的性质：定理1．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 定理2．到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．2．三角形的三条角平分线交于三角形内一点，•并且这个点到三角形三边的距离相等．典型例题例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ．∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上） 即：三角形的三条角平分线交于一点．同步练习（第一课时）一、选择题1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个D CBA E HIFG2. 已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,则点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3．如图1，已知CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•则图中与∠BCE 互余的角有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图2，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③DCBA EFAPDCBA E（1） (2) (3) 二、填空题5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，则AB 与CD 之间的距离是___________． 三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．PDC BAEF10．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，•求证：PB=PC ．PDBA11．如图，已知CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 交BE 于点O ． ①若OC=OB ，求证：点O 在∠BAC 的平分线上． ②若点O 在∠BAC 的平分线上，求证：OC=OB ．D CAEO答案:1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略 9．证明AC 平分∠BCD10．先证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，再证△APB ≌△APD11．①证明△COE ≌△BOD 得到OE=OD ；②先由角平分线的性质证明OE=OD ，•再证明△COE ≌△BOD§13.3.2 角的平分线的性质（第二课时）一、选择题1．如图1，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；•②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC 垂直且平分BD ，其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．①③④2DCBA35146CBA(1) (2) (3)2．如图2，三条公路两两交于点A 、B 、C ，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处 二、填空题3．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点． 4．△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD=3：2，BC=15cm ，•则点D 到AB 的距离是__________． 三、解题题5．如图3,在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在S 区内，到公路和铁路的距离相等，且离公路和铁路的交叉处800米．如果你是红方的指挥员，•请你在如图所示的作战地图中标出蓝方指挥部的位置（比例尺1：2000）．6．如图，已知点P 是△ABC 中BC 边的中点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．①当PD=PE 时，求证：AB=AC; ②当AB=AC 时，求证：PD=PE 。
七年级数学上册角平分线几何综合题汇总
七年级数学上册角平分线几何综合题汇总角平分线是几何学中的一个重要概念，涉及到角的计算。
在研究过线段射线的基础上，学生需要掌握方法和技巧，加强分析解题的能力并规范书写。
题1：直线AB、CD是经同一点O的不同直线，OE是∠BOD的角平分线，OF是∠COE的角平分线，求∠COF的度数。
已知∠1=100°，解题过程如下：∵∠1=100°，所以∠BOD=180°-100°=80°。
因为OE是∠BOD的角平分线，所以∠DOE=1/2×∠BOD=40°。
同理，∠COE=180°-40°=140°，OF 是∠COE的角平分线，所以∠COF=1/2×∠COE=70°。
题2：已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数。
解题过程如下：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，所以∠BOC=2×40°=80°。
因此，∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°。
由于OD平分∠AOB，所以∠AOD=1/2×∠AOB=1/2×120°=60°。
最后，∠COD=∠AOD-∠AOC=60°-40°=20°。
题3：已知∠AOD=150°，∠AOB=40°，∠COD=70°，OM、ON分别是∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数。
解题过程如下：∵∠AOB=40°，∠COD=70°，所以∠AOM=1/2×∠AOB=1/2×40°=20°，∠DON=1/2×∠COD=1/2×70°=35°。
角平分线练习
角平分线（练习）
1、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立
的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
（第1题）（第2题）（第3题）
2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB 的距离是______________。
3、如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=________
4、如图：△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，过D分别作D E⊥AB，DF⊥AC，
求证：DE=DF
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于9．
求：△ADC的面积．
6、已知∠A=∠B=90°，∠BCD、∠ADC的平分线交AB于E．求证：AE=BE．
7、如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE=ED，点F在PA上，∠APB=60°，∠PEF=15°．求∠CFE的度数．
如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）
数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．。
(完整版)七年级上角平分线练习题及答案
角平分线相关练习题答案：1、∠DOC=30°解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为∠AOB 的角平分线，因为∠AOB=60°，所以∠DOC=∠EOC=30°2、∠BOC=50°解析：由题知，∠AOE=∠BOE=½∠AOB=45°，∠BOD=∠EOD－∠BOE=70°-45°=25°，∠BOC=2∠BOD=50°3、D解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。
4、S△BDC=½mn解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E，则DE为△BDC的高线，由于DA⊥AB且DE⊥BC，BD是角平分线，故得知线段AD=DE=m，S△BDC=½BC×DE=½mn5、A解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离＝PE=36、∠COE=75°解析：∠AOC=∠BOC=∠BOD=½×90°=45°，因为∠BOD=3∠DOE，所以∠BOE=⅔∠BOD=⅔×45°=30°，∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°7、∠BOD=75°解析：∠COD=∠AOD=½∠AOC=½（∠AOB-∠BOC）=½（90°－60°）=15°，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+15°=75°8、∠AOC=140°解析：∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2∠BOD+2（∠DOE-∠BOD）=2∠DOE=2×70°=140°。
初一几何——三角形内外角平分线模型
初一几何——双角平分线模型1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（）A．80 B．802018 C．40 D．80×(12)20186．已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°−12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝．第7题图第8题图第9题图8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系，并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O 与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：．13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A 和∠F的数量关系；（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝；若∠A＝n°，则∠BOC＝；（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．初一几何——双角平分线模型参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝100°，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：A．2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝50°，∴12（∠ACD﹣∠ABC）＝25°，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝25°，故选：C．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解答】解：延长AC 交BD 于点E ， 设∠ABP ＝α， ∵BP 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝2α，∴∠AED ＝∠ABE +∠A ＝2α+60°， ∴∠ACD ＝∠AED +∠D ＝2α+80°， ∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP =12∠ACD ＝α+40°， ∵∠AFP ＝∠ABP +∠A ＝α+60°， ∠AFP ＝∠P +∠ACP∴α+60°＝∠P +α+40°， ∴∠P ＝20°， 故选：B ．5．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 2017BC 与∠A 2017CD 的平分线相交于点A 2018，得∠A 2018．如果∠A ＝80°，则∠A 2018的度数是（ ）A ．80B ．802018C ．40D ．80×(12)2018【解答】解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ， 由三角形的外角性质，∠ACD ＝∠A +∠ABC ， ∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，12（∠A +∠ABC ）＝∠A 1+∠A 1BC ＝∠A 1+12∠ABC ，整理得，∠A 1=12∠A =12×80°＝40°； 同理可得 ∠A n =(12)n ×80 故选：D ．二．填空题（共4小题）6．已知△ABC，下列说法正确的是①②③（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°−12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．【解答】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A；②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°−12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°−12（∠A+180°）＝90°−12∠A．③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACE=12∠ABC+12∠A，∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，∠P=12∠A；故答案为①②③．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝113°．【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝46°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣46°）＝67°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣67°＝113°．故答案为：113°．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝18°．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠EBC=12∠ABC＝20°，∠ECD=12∠ACD＝38°，∵∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝38°﹣20°＝18°，故答案为18°．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝52°．【解答】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF=12∠ABC，∠EAB=12∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF=12（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案为：52°．三．解答题（共5小题）10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．【解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，∴∠CAD=12∠CAF＝∠H+12∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠CAF＝∠B+∠ACB＝90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即12∠CAF−12∠ACB＝45°，∴∠H=12∠CAF−12∠ACB＝45°．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1=12∠ACD＝55°，∠2=12∠ABC＝25°∵∠E+∠2＝∠1，∴∠E＝∠1﹣∠2＝30°；（2）猜想：∠E=12∠A；（3）∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2=12∠CBD，∠4=12∠BCF，而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，∴∠2=12（∠A+∠ACB），∠4=12（∠A+∠ABC）．∵∠E+∠2+∠4＝180°，∴∠E+12（∠A+∠ACB）+12（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+12∠A+12（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+12∠A＝90°．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝（90+α2）°．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°+13∠α，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝(n−1)180°+∠αn（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系∠O=12（∠A+∠D），并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：∠O=12（∠A+∠∠D+∠E+∠F）﹣180°．【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−α2，∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°+α2=（90+α2）°；故答案为：（90+α2）°；（1）根据∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝120°+13∠α；（2）根据∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=(n−1)180°+∠αn；（3）四边形边形ABCDEF的内角和为：（4﹣2）•180°＝360°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ABC−12∠BCD＝180°−12（∠ABC+∠BCD）＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A+∠D）°，（4）六边形ABCDEF 的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠BCD ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ，∴∠O ＝180°﹣∠OBC ﹣∠OCD＝180°−12∠ABC −12∠BCD＝180°−12（∠ABC +∠BCD ）＝180°−12（720°﹣∠A ﹣∠B ﹣∠E ﹣∠F ）=12（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°，故答案为：12（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°． 13．（1）如图1，已知△ABC ，BF 平分外角∠CBP ，CF 平分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（2）如图2，已知△ABC ，BF 和BD 三等分外角∠CBP ，CF 和CE 三等分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（3）如图3，已知△ABC ，BF 、BD 和BM 四等分外角∠CBP ，CF 、CE 和CN 四等分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（4）如图4，已知△ABC ，将外角∠CBP 进行n 等分，BF 是临近BC 边的等分线，将外角∠BCQ 进行n 等分，CF 是临近BC 边的等分线，试确定∠A 和∠F 的数量关系．【解答】解：（1）由已知得∠CBF =12∠CBP ，∠BCF =12∠BCQ ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=12(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠A+180°)=90°−12∠A．（2）由已知得∠CBF=13∠CBP，∠BCF=13∠BCQ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=13(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=13(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−13(∠A+180°)=120°−13∠A．（3）由已知得∠CBF=14∠CBP，∠BCF=14∠BCQ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=14(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=14(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−14(∠A+180°)=135°−14∠A．（4）由已知得∠CBF=1n∠CBP，∠BCF=1n∠BCQ，∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=1n(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=1n(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−1n(∠A+180°)=n−1n×180°−1n∠A．14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝113°；若∠A＝n°，则∠BOC＝90°+12 n°；（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．【解答】解：（1）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∴∠BOC＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝113°，故∠BOC＝113°．∴若∠A＝n°，则∠BOC=90°+12 n°；（2）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠FCB∴∠BOC＝180°−12（∠EBC+∠FCB），而∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝∠180°﹣∠ACB∴∠BOC＝180°−12（180°+∠A）＝90°−12∠A，∴∠BOC=90°−12 n°；（3）∵∠COB＝∠4﹣∠2，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，∴∠ACD＝2∠4，∠ABC＝2∠2，∴∠A＝2∠COB，∴∠BOC=12n°．。
《角平分线》典型例题及解析
《角平分线》典型例题及解析例题：1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．两处C．三处D．四处答案：D说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．2．如图，已知△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论中正确的个数是( )①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD = CD，AD = BC；④∠BDE =∠CDF．A．1 B．2C．3 D．4答案：C说明：①如图，P为AD上任意一点，则ΔAPB与ΔAPC中，AP = AP，AB = AC，∠BAD =∠CAD，∴ΔAPB≌ΔAPC，∴PB = PC，①正确；②根据角平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；③不难得到ΔADB≌ΔADC(SAS)，∴BD = CD，但无法判断AD与BC 之间的关系，∴AD = BC不成立，③错误；④由ΔADB≌ΔADC(SAS)，知∠B =∠C，而∠BDE+∠B = 90º，∠CDF+∠C = 90º，∴∠BDE =∠CDF，④正确；答案为C．3．如图，△ABC中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．求∠ADC 的度数．解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180º，∵∠ABC = 120º，∠C = 26º，∴∠BAC = 180º−120º−26º = 34º，∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34º = 17º．∴△ADC中，∠ADC = 180º−∠DAF−∠C = 180º−17º−26º = 137º．例3．如图，△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的外角平分线．求证：(1)点P在∠A的平分线上；(2)∠BPC = 90º−∠BAC．证明：(1)过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠B的外角∠CBM的平分线上，∴PM = PQ，∵P在∠C的外角∠BCN的平分线上，∴PN = PQ，∴PM = PN，而PM⊥AB，PN⊥AC，∴点P在∠A的平分线上．(2)∵∠BPC = 180º−∠1−∠2，而∠1 =∠MBC =(∠BAC+∠ACB)，∠2 =∠NCB =(∠BAC+∠ABC)，∴∠BPC = 180º−∠1−∠2 = 180º−(∠BAC+∠ACB)−(∠BAC+∠ABC)= 180º−(∠BAC+∠ACB+∠ABC)−∠BAC = 180º−×180º−∠BAC= 90º−∠BAC．。
适合初学者的角平分线几何初步题目带解答
一.解答题(共15小题)1.已知OC是∠AOB内部的一条射线,∠AOC=30°,OE是∠COB的平分线.当∠ＣOE ＝4０°时,求∠AOB的度数．解:∵ＯＥ是∠ＣOB的平分线,∴∠COB＝(理由:)．∵∠ＣOE=40°，∴.∵∠AOC=，∴∠AOB=∠AOC+ =110°．2．如图，已知∠BＯＣ=2∠AOＢ,OD平分∠AOC,∠ＢOD=14°，求∠AOB的度数．3.已知:如图，∠ＡOB=15０°，OC平分∠AOB，∠AOD是直角,求∠CＯD的度数.4．如图,已知∠AOC=90°,∠COB=50°,ＯD平分∠AＯB，求∠COD等于多少度？5.已知：A、O、Ｂ三点在同一直线上,ＯE、OD分别平分∠AOC、∠BＯC.(1）求∠ＥOＤ的度数;(2）若∠ＡＯE=5０°，求∠BＯC的度数.6．如图,OB是∠AOC的平分线，ＯD是∠COE的平分线．（1)如果∠AＯB＝50°，∠DＯＥ=30°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AＯE＝160°,∠COD=３０°，那么∠AOB是多少度？7．如图所示，∠AOB：∠BＯＣ：∠COD＝４:5:3，ＯM平分∠AOＤ,∠BOM＝２0°,求∠AOD和∠MＯC.8．如图，∠ＡOC：∠ＢOC=１：4,ＯＤ平分∠AOB,且∠ＣOD=3６°，求∠AOB度数．9．如图，已知ＯB是∠AOＣ的平分线,OＤ是∠CＯE的平分线，如果∠AOE=140°,∠ＢOC比∠ＣOＤ的２倍还多10°,那么∠ＡOＢ是多少度？10.如图,∠AＯB是平角，射线ＯD平分∠AＯC,射线OＥ平分∠BOD,且∠BOC=4∠AＯD，求∠COE的度数.1１.如图，OＢ是∠AOC的平分线,OD是∠EOC的平分线．（1）如果∠ＡOD=75°,∠BOC=1９°,则∠ＤOE的度数为；(2）如果∠BＯＤ=５6°,求∠AＯE的度数.12.如图,点Ａ,O,B在同一条直线上，射线OD和射线ＯE分别平分∠ＡＯＣ和∠BOC，求∠DOE的度数．13.如图,已知∠ABC是直角，∠DBC=３０°,BＦ、BE分别是∠ABD、∠CBD的平分线，求∠ＥBF.１４．如图，Ｏ为直线AＢ上一点,∠AＯC=50°,OD平分∠AOＣ．(1)填空:∠BOＤ= 度；（2)当∠ＤOE＝９0°,请说明OE平分∠BOC．15．如图,已知∠AOB=90°,∠EOＦ=６0°,OE平分∠AOB,ＯF平分∠BOC,求∠ＣOB和∠AOC的度数.2018年0３月1３日吕泽文的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共15小题)1．已知ＯＣ是∠ＡOB内部的一条射线，∠ＡOC＝３０°，ＯE是∠COＢ的平分线．当∠COＥ＝40°时，求∠ＡＯB的度数.解:∵OE是∠CＯＢ的平分线，∴∠CＯB= 2∠COE (理由：角平分线定义）．∵∠CＯE=40°，∴∠COＢ＝8０°．∵∠ＡOC= 30° ,∴∠AＯB=∠AOC+ ∠ＣＯB =110°.【分析】根据角平分线线的定义求得∠COB=80°．然后根据图中角与角间的和差关系得到∠AＯＢ=∠AOC+∠COB=110°．【解答】解:∵OE是∠COB的平分线，∴∠COB＝２∠COＥ(角平分线定义）.∵∠COＥ=40°,∴∠CＯB=８0°．∵∠ＡOＣ=30°,∴∠ＡOB＝∠AOC+∠ＣOＢ=1１0°．故答案是：2∠COE,角平分线定义,∠COB＝８０°,30°,∠ＣOB.【点评】本题考查了角平分线的定义.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．２.如图,已知∠ＢOC=2∠AOB，OＤ平分∠AOC,∠BＯD=14°,求∠ＡOB的度数.【分析】此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x,再进一步表示∠AＯＣ=３x，根据角平分线的概念表示∠AOＤ，最后根据已知角的度数列方程即可计算.【解答】解:设∠AＯB＝x，∠BOC=２x．则∠AOC=3x．又OD平分∠AOＣ,∴∠ＡＯD=x.∴∠BＯＤ=∠AOD﹣∠AOＢ＝x﹣x=14°∴x=２8°即∠AOＢ=28°.【点评】本题考查了角平分线的定义.此类题设恰当的未知数,根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算较为简便．3.已知:如图，∠AOB=15０°，OC平分∠AOB,∠AOＤ是直角，求∠COD的度数．【分析】根据∠AOB＝150°,OC平分∠ＡＯB，即可得到∠AOC=75°，进而得出∠C ＯD=∠AOD﹣∠AOC=９0°﹣75°＝15°．【解答】解:∵∠AOB=150°,OＣ平分∠ＡＯB，∴∠AOC＝∠AOB=×1５０°=75°,∴∠ＣOD=∠ＡＯD﹣∠AOC＝９0°﹣75°=15°．【点评】本题考查了角平分线的定义,解决本题的关键是根据根据∠AOB=150°,O Ｃ平分∠AOＢ，得出∠AOC=75°，再根据角之间和与差进行计算即可.4.如图，已知∠AOC=9０°，∠CＯＢ＝5０°，OD平分∠AOB，求∠COD等于多少度？【分析】先根据题意得出∠AOB的度数，再由OD平分∠AＯB得出∠AOD的度数,根据∠ＣOD=∠AOC﹣∠AＯＤ即可得出结论.【解答】解:∵∠ＡＯC=90°,∠COB=50°，∴∠AOB=∠AOＣ+∠COB＝１4０°,∵OD平分∠AOB，∴∠ＡOD=∠AＯB=7０°,∴∠COD=∠AＯC﹣∠AＯD=90°﹣70°=2０°.【点评】本题考查的是角平分线的定义,熟知从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．5.已知：A、O、Ｂ三点在同一直线上,OＥ、OD分别平分∠AOＣ、∠BＯC．（１）求∠ＥOD的度数;(２)若∠AＯＥ＝5０°，求∠ＢOC的度数．【分析】（1）由于OE、OＤ分别平分∠AOC、∠BOC，所以∠EOC=∠AOC，∠ＣOD=∠ＢOＣ，进而得出∠EOＤ=∠EOC+∠COD＝∠AOB=９0°；（２）由OE平分∠AＯC，∠AＯE=50°,得出∠AＯC=２∠AOE=100°,再根据邻补角定义得出∠BOC=180°﹣∠AOC=80°.【解答】解:（1)∵ＯE、OD分别平分∠AＯC、∠BOC,∴∠ＥＯC=∠AOＣ,∠COD＝∠BOC,∴∠EOD=∠EOＣ+∠CＯD=∠AＯC+∠BOC=∠ＡOB，又∵Ａ、O、B三点在同一直线上,∴∠ＡOB=1８0°，∴∠ＥOD＝∠AＯＢ＝90°;（2）∵OE平分∠AOC,∠AOE=50°，∴∠AOC=2∠AＯE=100°，∴∠BOＣ=1８0°﹣∠AOC＝80°．【点评】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.也考查了角的和差,邻补角定义,准确识图是解题的关键．６．如图，OB是∠AＯＣ的平分线,OＤ是∠COE的平分线.（1）如果∠AOＢ=5０°，∠DＯE=30°,那么∠BOD是多少度？(２)如果∠AOE=16０°,∠ＣOD=30°，那么∠AＯＢ是多少度？【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠ＤOE=∠ＣOＤ，∠BOC=∠AOB,再根据条件∠AOB=50°，∠DOＥ＝30°可得答案；(2)首先根据角平分线的性质可得∠DOＥ=∠COＤ,∠BOC=∠AOB,再根据条件∠ＣOＤ=30°可得∠ＤOE=３0°，然后可得答案．【解答】解：(1）∵OＢ是∠AOC的平分线,OＤ是∠ＣOE的平分线，∴∠ＤOＥ=∠COD，∠ＢOC=∠AOB，∵∠AＯB=50°，∠DOE=3０°，∴∠DOＣ=30°,∠ＢOC=５０°，∴∠ＢOD＝8０°;(2)∵ＯB是∠ＡOＣ的平分线,OD是∠COＥ的平分线，∴∠DOＥ＝∠CＯD,∠ＢOC＝∠AOB，∵∠COD=３0°,∴∠DＯＥ=30°,∴∠AOＣ＝1６0°﹣３０°﹣30°＝1００°，∵∠ＢOC=∠ＡOB，∴∠AOB＝50°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义,关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7.如图所示,∠AOB:∠BOC:∠COD＝4:5:3,ＯM平分∠AOD,∠BＯM=20°,求∠AOD 和∠MＯC.【分析】设∠AOB=４x，∠BOＣ=5x,∠COＤ=3x,得到∠AOD＝12x，根据角平分线的定义得到∠AOＭ=∠ＡＯD=6ｘ,根据题意列出方程,解方程即可.【解答】解:设∠ＡＯB=4x，∠BOC=５x，∠CＯD=3ｘ,∴∠ＡOＤ=12ｘ,∵OM平分∠AOD，∴∠AOM=∠ＡOD=６x，由题意得,6ｘ﹣4ｘ=20°，解得,ｘ＝１0°,∴∠ＡOD＝１2x＝12０°，∠BＯC=5x＝50°,∴∠MOＣ＝∠BOＣ﹣∠BＯＭ=30°.【点评】本题考查的是角平分线的定义,掌握从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键.8.如图,∠AOＣ:∠BOC=1:4，OD平分∠AＯＢ,且∠COD=3６°，求∠AOB度数.【分析】根据题意可以用∠AOＢ表示出∠ＡOC和∠AOＤ,然后根据∠COD＝36°，即可求得∠AOB的度数．【解答】解:∵∠AOＣ:∠ＢOC=1:４，OD平分∠ＡＯB，且∠COD=36°,∴∠ＡOC=,∠AＯＤ=,∴∠CＯD=∠ＡＯD﹣∠AOＣ=，∴，解得,∠AOB=１20°,即∠AＯB的度数是120°.【点评】本题考查角平分线的定义,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答．9．如图，已知OB是∠AＯC的平分线，ＯD是∠COＥ的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠CＯD的2倍还多1０°,那么∠AOＢ是多少度?【分析】设∠COD的度数为x，则∠ＢOC=2ｘ+1０°,利用角平分线定义得到∠EOC=2∠COD=２x,∠BOC＝2x＋10°,再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB=∠ＢＯC，∠AＯC=2∠BOC＝4ｘ+2０°,所以2x＋4x+20°=140°，解得x=20°，然后计算２x+10°即可．【解答】解:设∠ＣOＤ的度数为x,∵OＤ是∠ＣＯE的平分线,∴∠EＯC=2∠COD＝２x，∵∠BOC比∠COＤ的2倍还多10°,∴∠BＯＣ=2x+10°,∵OB是∠AＯC的平分线，∴∠AOB＝∠BOＣ，∠ＡOC=２∠ＢOC=4x+2０°，∵∠AOＥ=１40°，∴2ｘ+4x+２０°=１40°，解得ｘ＝20°,∴∠BOC＝２x+10°=5０°∴∠ＡOB是5０度．【点评】本题考查了角平分线的定义:灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．10．如图,∠AOB是平角,射线ＯD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD,且∠BOC=4∠AＯD,求∠ＣOE的度数.【分析】由OD平分∠AOＣ和∠BOC=4∠AOD,可求出∠AＯC=6０°，再求出∠COB 的度数，即可求出∠BＯD,利用∠COE＝∠DOE﹣∠COD即可求出．【解答】解:∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠ＣOＤ=∠AOＣ,∵∠BＯC＝4∠AＯD,∴∠ＢOＣ=2∠AOC,∵∠BＯC+∠AOC=180°，∴３∠AOC=180°,∴∠AＯC=6０°，∴∠COＤ=∠AOC=30°，∠ＢOＣ＝2∠ＡＯC=120°∴∠BＯD＝150°,∵OＥ平分∠ＢＯD,∴∠EOＤ=∠BＯE=75°,∴∠COE=∠DOE﹣∠CＯD=７5°﹣30°=45°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系.11．如图,ＯB是∠AOC的平分线，OD是∠EOＣ的平分线.(1）如果∠AOＤ=75°,∠BOＣ=19°,则∠DOE的度数为３７° ;（2）如果∠ＢOＤ=5６°,求∠ＡOE的度数.【分析】（１)根据角平分线的定义求得∠AOC=38°,∠DＯE=∠DＯC=∠ＡOＤ﹣∠AOC=75°﹣38°=３７°；（2）根据角平分线的定义易求∠AＯＥ=2∠BOD．【解答】解:(1）∵OB是∠AOC的平分线,∠BOＣ=19°,∴∠ＡOＣ=2∠BOC＝38°，∴∠DＯC＝∠ＡＯD﹣∠AOC=75°﹣38°=３7°．又∵OD是∠EＯC的平分线,∴∠DOＥ=∠DＯC＝37°．故答案为:３7°;（2）如图，∵OB是∠AOC的平分线,∴∠AOC=2∠BOＣ.∵OD是∠ＥOC的平分线,∴∠COE=2∠CＯD，∴∠AＯＥ=∠AOＣ+∠COE=2∠BOＣ＋2∠COD=２∠ＢＯD=１12°.【点评】本题考查了角平分线的定义.解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．12．如图，点A,O，Ｂ在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOＣ和∠BOC,求∠DOE的度数．【分析】根据角平分线的定义表示出∠ＣOD和∠COE，再根据平角等于180°进行计算即可得解.【解答】解：∵射线OD和射线OE分别平分∠AOＣ和∠ＢOＣ,∴∠CＯD=∠AOC，∠CＯＥ＝∠BOＣ，∴∠DOＥ=∠ＣOD+∠COE=(∠ＡOC＋∠BOC）,∵点A,O,B在同一条直线上,∴∠AOＣ+∠BOC=１80°，∴∠DＯE=×180°＝９０°．【点评】本题考查了角平分线的定义,平角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.１3．如图,已知∠ABC是直角，∠DBＣ=３0°，BF、ＢE分别是∠ＡＢD、∠CBD 的平分线,求∠ＥBF.【分析】根据角平分线的定义得到∠ＦＢD=∠ABD，∠EＢD=∠ＣＢD,计算即可.【解答】解：∵ＢF、BE分别是∠ABD、∠CＢD的角平分线，∴∠FＢD＝∠ＡBＤ,∠EBD=∠CBD,∴∠EBＦ=∠FBD＋∠EBＤ＝(∠ABD＋∠CBD)=∠ＡBC＝45°．【点评】本题考查了角平分线的定义,熟练掌握此类题型是解题的关键.1４．如图，O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠ＡOC.(1）填空:∠BOＤ= 1５5 度；(2)当∠DOE=９０°，请说明ＯE平分∠BOC．【分析】（1)根据∠BOD＝∠DOC+∠ＢOＣ，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DＯC和∠ＢOC即可；(2)根据∠ＣOE=∠DOE﹣∠DOC和∠BOE=∠BＯD﹣∠ＤOE分别求得∠CＯE与∠BOE的度数即可说明.【解答】解：(１）∵∠ＡOC=5０°，OD平分∠ＡOＣ，∴∠DＯC=∠ＡOC=25°,∠BOC＝１80°﹣∠AＯC=130°，∴∠BOＤ＝∠DOC+∠BOC=155°;(2)∵∠DOE=90°,∠DOC=25°，∴∠CＯE=∠DOE﹣∠DＯC＝9０°﹣2５°=６5°.又∵∠ＢOＥ＝∠BOD﹣∠DOE＝１55°﹣90°=65°，∴∠CＯE＝∠BOＥ，∴OＥ平分∠BOC．故答案为：155.【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义,以及邻补角的定义是解题的关键.15．如图,已知∠AOB＝９０°,∠ＥOF=６0°,OE平分∠AOB,ＯＦ平分∠BOＣ,求∠COＢ和∠ＡOＣ的度数.【分析】先根据角平分线，求得∠BＯE的度数，再根据角的和差关系,求得∠ＢOF的度数,最后根据角平分线,求得∠BOC、∠AOC的度数．【解答】解:∵∠ＡOB=９0°,ＯE平分∠ＡOB∴∠BOＥ=４５°又∵∠EOF=6０°∴∠FOB=60°﹣４5°=1５°∵OF平分∠BOＣ∴∠COB＝２×15°=３0°∴∠AOＣ=∠BOC+∠AＯB=30°+90°＝120°【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根据∠ＡOC的度数是∠ＥOF度数的2倍进行求解．。
七年级数学上册角平分线几何综合题汇总
七年级数学上册角平分线几何综合题汇总角平分线定义和角的有关计算，既是教学中的重点，也是难点。
需要学生掌握方法和技巧，在学习了线段射线的基础上加强学生分析解题的能力，规范书写。
1、如图所示，直线AB 、CD 是经同一点O 的不同直线，OE 是∠BOD 的角平分线，OF 是∠COE 的角平分线，当∠1=100°时，求∠COF 的度数解：∵∠1=100°，∴∠BOD=180°-100°=80°，∵OE 是∠BOD 的角平分线，∴∠DOE=∠BOD=40°，12∴∠COE=180°-40°=140°，∵OF 是∠COE 的角平分线，∴∠COF=∠COE=70°．122、如图，已知∠BOC=2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠AOC=40°，求∠COD 的度数解：∵∠BOC=2∠AOC ，∠AOC=40°，∴∠BOC=2×40°=80°，∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°，∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD=∠AOB=×120°=60°，12∴∠COD=∠AOD-∠AOC=60°-40°=20°．3、.如图，∠AOD=150°，∠AOB=40°，∠COD=70°，OM 、ON 分别是∠AOB 、∠COD 的平分线，求∠MON 的度数解：∵∠AOB=40°，∠COD=70°，OM 、ON 分别是∠AOB 、∠COD 的平分线，∴∠AOM=∠AOB=×40°=20°，1212∠DON=∠COD=×70°=35°，1212∴∠MON=∠AOD-∠AOM-∠DON=150°-20°-35°=95°．4、已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC=40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线．（1）求∠MON 的大小；（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？解：（1）∵∠AOB 是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 是∠BOC 的平分线，ON 是∠AOC 的平分线，∴∠MOC ＝∠BOC ＝65°，∠NOC ＝∠AOC ＝20°．1212∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°，（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小不发生改变．∵∠MON ＝∠MOC −∠NOC ＝∠BOC −∠AOC ＝(∠BOC −∠AOC )=∠AOB ，121212 12又∠AOB 是直角，不改变，∴∠MON ＝∠AOB ＝45°．125、如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线．（1）如图1，当∠AOB 是直角，∠BOC=60°时，∠MON 的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON 与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON 与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°1212∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°（2）如图2，∠MON=α，12理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°121212∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+30°）-30°=α12126、如图1，∠AOB=140°，∠AOD 在∠A OB 的内部，OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOD ．（1）若∠AOD=28°，则∠COE 的度数为（直接写出答案）（2）若∠AOD=x°，求∠COE 的度数？（3）如图2，若将题中的“∠AOB=140°”改为“∠AOB=m°”，将“∠AOD 在∠A OB 的内部”改为“∠AOD 在∠AOB 的外部”，其它条件不变，当∠AOD=x°时，求∠COE 的度数？解：（1）∵OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOD ．∴∠COD=∠AOD ，∠EOD=∠BOD ，1212∴∠COE=∠COD+∠EOD=（∠AOD+∠BOD ）=∠AOB=1212×140°=70°．12故答案是：70°；（2）∠COE=∠AOB=70°，与∠AOD 的度数无关，12答：若∠AOD=x°，则∠COE 的度数为：70°．（3）∵∠AOB=m°，OE 平分∠BOD ．∴∠DOE=m +x 2∵∠AOD=x°，OC 平分∠AOD ，∴∠COD=x°12∴∠COE=∠DOE-∠COD=-x°=m°m +x 21212答：∠COE 的度数为：m°．127、已知：如图，线段OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在同一平面内，且∠AOE=110°，∠AOB=20°．（1）若OB 平分∠AOC ，求∠COE 的度数．（2）在（1）条件下，若OD 也平分∠BOE ，求∠COD 的度数．（3）若线段OA 与OB 分别为同一钟表上某一时刻与分针，则经过多少时间，OA 与OB 第一次垂直．解：（1）∵OB 平分∠AOC ，∠AOB=20°，∴∠AOC=2∠AOB=40°，∵∠AOE=110°，∴∠COE=∠AOE-∠AOC=70°（2）∵∠AOE=110°，∠AOB=20°，∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=90°，∵OD 平分∠BOE ，OB 平分∠AOC ，∴∠BOD=12∠BOE=45°，∠BOC=∠AOB=20°，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=25°；（3）设经过x 分钟，OA 与OB 第一次垂直．由题意得，6x-x=90+20，解得x=20．12答：经过20分钟，OA 与OB 第一次垂直．9、点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图①，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，则∠MOC=（2）如图②，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠MOB 的角平分线，求旋转角∠BON 和∠CON 的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图③时，∠NOC=∠AOM ，求∠NOB 的度14数．。
七年级数学5 角平分线
七年级数学5 角平分线∙角平分线的性质∙角平分线的判定∙三角形角平分线的性质例题1如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP2.根据角平分线的性质，可知△AOP≅△BOP，所以可得到A，B，C四个选项的结论，故选择D．在三角形内到三角形三边距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点3.如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，BD=2CD，D到AB的距离为5.6 cm，求BC的长．4.如图所示，BE=CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D．求证：AD平分∠BAC．一、选择题（共5小题；共25分）1. 如图所示，点P是∠CAB内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则下列结论中错误的是 ( )A. ∠PEA=∠PFAB. AE=AFC. AE=PED. ∠PAE=∠PAF2. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3 cm，则点D到AB的距离DE是 ( )A. 5 cmB. 4 cmC. 3 cmD. 2 cm3. 如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是 ( )T1 T2 T3 T4 T5A. PM>PNB. PM=PNC. PM<PND. 无法确定4. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC= ( )A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB:S△OBC:S△OAC= ( )A. 1:1:1B. 6:4:3C. 2:3:4D. 4:3:2二、填空题（共5小题；共25分）6. 如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PD=PE，则点P在的平分线上．7. 如图所示，要在M区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点A处的距离为2 cm（指图上距离）处，则图中工厂的位置应建在，理由是．T6 T7 T8 T9 T108. 已知：如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=4，则两平行线间的距离为．9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD=3:2，则点D到线段AB的距离为．10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90∘，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．三、解答题（共3小题；共39分）11. 已知，如图所示，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的两个外角的平分线．求证：AP平分∠BAC．12. 如图所示，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2 cm，AB=9 cm，BC=6 cm，求△DBC和△ABC的面积．13. 如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等，那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求?请你在图中画出它的位置并标出所求．（保留画图痕迹）七年级数学三角形的有关证明复习题一、选择题（共5小题；共25分）1. 在Rt△ABC中，∠B=30∘，若斜边AB=5 cm，则直角边AC的长为 ( )A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 2.5 cm2. 下列定理中，没有逆定理的是 ( )A. 内错角相等，两直线平行B. 直角三角形中，两锐角互余C. 相反数的绝对值相等D. 同旁内角互补，两直线平行3. 如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，则点P到AB的距离为 ( )T3 T4 T5A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．又E，F分别是CD，AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62∘，那么∠DBF= ( )A. 62∘B. 38∘C. 28∘D. 26∘5. 如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有 ( )A. 3个B.4个C. 5个D. 6个二、填空题（共5小题；共25分）6. 在△ABC中，∠C=90∘，c=10，a:b=3:4，则a=，b=．7. 如图，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．T7 T8 T108. 一个三角形三条边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，这个三角形最长边上的高是．9. 如图所示，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80∘，则∠BCA的度数为．10. 如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，MD是AB的垂直平分线，BD=30 cm，则DC=．三、解答题（共5小题；共65分）11. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：① ∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③ OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．12. 如图所示，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2 cm，AB=9 cm，BC=6 cm，求△DBC和△ABC的面积．13. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC．延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90∘，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AC=3 cm，则BE=cm．14. 已知：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：E在AF的垂直平分线上．15. 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．七复习题答案第一部分1. D2. C3.B4.C5. C第二部分6. 6；87. 68. 12 cm9. 60∘10. 15 cm第三部分11. （1）①②；①③．（2）选①③证明如下，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，又∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．12.如图所示，过点D作DF⊥BC，垂足为点F．因为BD为∠ABC的平分线，所以DF=DE=2 cm，所以S△DBC=12BC⋅DF=12×6×2=6cm2.所以S△ABC=S△DBC+S△ABD=6+12AB⋅DE=6+12×9×2=15cm2.13. （1）∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90∘，∴CD=CE．又∠ACB=90∘，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC.∴△ACD≌△BCE．（2）6214. ∵点E在BD的垂直平分线EG上，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B．又∠ACB=90∘，∴∠EDB+∠CFD=90∘，∠B+∠BAC=90∘，∴∠CFD=∠BAC．又∠CFD=∠AFE，∴∠BAC=∠AFE，∴EA=EF，∴点E在AF的垂直平分线上．15. （1）∵BF=AC，AB=AE（已知），∴AF=CE（等量代换）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），∵△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60∘（等边三角形的性质），∴∠BCA=60∘（等量代换），同理可得∠BAC=60∘．∴在△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．角平分线答案第一部分1. C2. C3.B4.C5. C第二部分6. ∠C7. ∠BAC的平分线且距A点2 cm处；到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8. 89. 410. 4第三部分11. 如图所示，过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC，交AC的延长线于点F．因为点P是△ABC两外角的平分线的交点，所以PD=PE，PE=PF，所以PD=PF，所以AP平分∠BAC．12.如图所示，过点D作DF⊥BC，垂足为点F．因为BD为∠ABC的平分线，所以DF=DE=2 cm，所以S△DBC=12BC⋅DF=12×6×2=6cm2.所以S△ABC=S△DBC+S△ABD=6+12AB⋅DE=6+12×9×2=15cm2.13. 如图，点P即为物流中心的位置．。
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
北师大版(2024新版)七年级数学上册第四章习题练课件：与角平分线有关的常考题型
专项 与角平分线有关的常考题型
阶段强化专项训练
类型1 利用分类讨论思想求角度
1.[2024重庆一中开学考试]已知 ， ， 平分，则 的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
【解析】 分两种情况：①射线 在的外部，如图1， ，因为平分 ，所以 ；②射线 在 的内部，如图2，
，因为平分 ，所以 。
2.[2024绵阳期末]已知 ，，平分 ，平分，则 的度数是( )
C
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【解析】 分两种情况：如图1，当在 内部时，因为 ， ，所以 ，因为平分，
平分，所以 ， ，所以 ；如图2，当在 外部时， 。
类型2 利用整体思想求角度
3.[2023石家庄期末]如图，已知是直角， 是锐角，平分，平分，则 的大小等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为平分，平分，所以 ， ，所以
4.[2024南通期末]已知，射线在 的内部，射线是内靠近 的三等分线，射线是内靠近 的三等分线。
（1）如图，若 ，平分 ，
①补全图形；
解：补全图形如图所示。
②填空： 的度数为_____。
【解析】 因为平分， ，所以 ，由题意知 ， ，所以 。
6.[2024岳阳期末]点是直线 上一点，是直角，平分 。
（1）①如图1，若 ，求 的度数；
解：因为 ， ，所以 ，又因为平分，所以 ，所以 。
②如图2，若 ，直接写出的度数。（用含 的式子表示）
因为 ， ，所以 ，又因为平分，所以 ，所以 。
（2）将图1中的绕点 按顺时针方向旋转至如图2所示的位置。探究与 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由。
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E
B
O
B
O
初一几何练习 —— 角平分线
一．角平分线的概念
1．角平分线： 。
2．角平分线的结论：
若点OC 是∠AOB 的角平分线，则有：
（1）相等关系： 。
（2）一半关系： 。
（3）二倍关系： 。
二．角平分线的性质的应用 1．直接应用：
（1）已知：如图1，OC 是∠AOB 的平分线，
∠AOB = 70°；求：∠AOC 的度数。
（2）已知：如图1，OC 是∠AOB 的平分线， ∠AOC = 35°；求：∠AOB 的度数。
2．整体思想的应用：
（1）已知：如图2，∠AOB = 80°，OC 是∠AOB 的
平分线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ； 求：∠EOF 的度数。
（2）已知：如图2，∠EOF = 40°，OC 是∠AOB 的
平分线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ； 求：∠AOB 的度数。
图2
（3）已知：如图3，∠AOB = 80°，OC 是∠AOB
内部任意一条射线，OE 平分∠AOC ，OF 平 分∠BOC ；求：∠EOF 的度数。
（4）已知：如图3，∠EOF = 40°，OC 是∠AOB
内部任意一条射线，OE 平分∠AOC ，OF 平 分∠BOC ；求：∠AOB 的度数。
图3
B A
E
A
（5）解答下列问题：如图4；
① 已知；∠AOB=90°, ∠BOC=30°, OE 平分∠AOC, OF 平分∠BOC, 求：∠MON 的度数.
② 若①题中，∠AOB=α，其他条件不变，
求∠MON 的度数.
③ 若①题中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变， 求∠MON 的度数.
④ 从①、②、③题的结果中能看出有什么结论？
3．证明题：
（1）已知：如图5，∠ABC = ∠ACB ，BE 平分∠ABC ， CF 平分∠ACB ； 求证：∠1 = ∠2。
（2）已知：如图5，∠1 = ∠2，BE 平分∠ABC ， CF 平分∠ACB ； 求证：∠ABC = ∠ACB 。
图5
（3）已知：如图6，OC 是∠AOB 内部任意一条
射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ；
求证：∠EOF = 21
∠AOB 。
（4）已知：如图6， OC 是∠AOB 内部任意一条
射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ； 图6 求证：∠AOB = 2∠EOF 。
（5）已知：如图7，OB 、OD 是∠AOC 内部的 任意两条射线，OE 平分∠AOB ，OF 平分 ∠BOC ；
求证：2∠EOF = ∠BOD + ∠AOC 。
图7
A
B
O
A
B
4．分类讨论思想的应用：
（1）特殊：已知：∠AOB = 65°，∠BOC =
2
1
∠AOB ；求：∠AOC 的度数。
（2）一般：已知：∠AOB = 65°，∠BOC = 25°；求：∠AOC 的度数。
（3）拓展：已知：∠AOB = 65°，∠BOC = 30°，∠COD = 25°；
求：∠AOD 的度数。
（4）已知：有公共顶点的两个直角∠AOB 和∠COD ，若∠AOC=50°；
求：∠BOD 的度数。
5．方程思想的应用：包括线段成比例。
（1）已知：如图8，点A 、O 、B 三点共线， ∠1﹕∠2﹕∠3 = 1﹕3﹕2 ； 求：∠BOC 的读数。
图8
（2）已知：如图9，∠BOC = 4∠AOC ，OD 平分∠AOB ， 且∠COD=36°， 求：∠AOB 的度数.
图9 （3）已知：如图10，OC 是∠AOB 外的一条 射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，
∠EOF = 40°，∠AOC + ∠BOC = 160°； 求：∠AOC 和∠BOC 的度数。
图10。