专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计

马鞍山二中刘向兵

一、教学目标

知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；

2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。

过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。

情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。

二、教学重点与难点

教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。

教学难点：椭圆的切线方程的探究。

三、教学流程设计

(一）创设情境

复习：怎样定义直线与圆相切？

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。

(二）探究新知

基础铺垫：

问题1、已知椭圆

22

:1

82

x y

C+=与直线l只有一个公共点

（1）请你写出一条直线l的方程；

（2）若已知直线l的斜率为1

k=-，求直线l的方程；

（3）若已知切点(2,1)

P,求直线l的方程；

（4）若已知切点P,求直线l的方程。

设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y

=±=

特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。

（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0

∆=。切线斜率确定，切线不确定。

（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0

∆=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0

∆=。

（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

问题一般化：

猜想：椭圆22

22:1x y C a b

+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？

（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）

设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为2

00x x y y r +=进行猜想，培

养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。

探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程。

经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=，且直线OP 垂直于切线，所以，=-1op k k ⋅切线，

1.点与圆

设点P(x 0，y 0)，圆222

()()x a y b r -+-=则

点在圆内222

00()()x a y b r -+-<， 点在圆上 222

00()()x a y b r -+-=， 点在圆外222

00()()x a y b r -+->

由圆C 方程及直线l 的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则

l 与圆C 相交0⇔∆>， l 与圆C 相切0⇔∆=， l 与圆C 相离0⇔∆<

类比到圆中：

已知圆2

2

2

:C x y r +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与

x 轴、y 轴分别交于点B A 、.

结论（1）过点P 的切线方程为2

00x x y y r +=；

（2）OP AB ⊥∴Q 1OP AB k k ⋅=-；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b

→时，椭圆→圆，所以2

21OP AB

b k k a

⋅=-→-）

（3）过点P 的切线方程为2

00x x y y r +=与x 轴、y 轴分别交于点B A 、,2

(0,)r A y ，

2

0(,0)r B x ，

所以00AB x k y =-；（椭圆中2020

AB b x k a y =-也可理解为a 趋于b 时，AB k 趋于00x y -） （4

）||||||2AB AP BP r =+≥==，当且仅当||||AP BP r ==时，取“=”

由2014年浙江高考题最后一道题

[2014·浙江卷] 如图，设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共

点P ，且点P 在第一象限.

（1）已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；

（2）若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .

如图，设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在

第一象限.

（1）已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；

(1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝kx ＋m ，

x 2a

2＋y 2b

2＝1，

联立消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2

＝0.

由于l 与C 只有一个公共点，所以4

2

2

2

2

2

2

2

2

44()()0a k m a m b b a k ∆=--+=，化简

得2

2

2

2

m a k b =+(*)，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2

m b 2＋a 2k 2. 又点P

在第一象限，故m = 所以点P

的坐标为22

(P .

（2）设点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，用点P 的坐标00,x y 表示椭圆的切线

方程；

(2)解：00(,)P x y ，则由（1

）知22

00x y ==

，

则可设过点P 切线l 的方程为00()y y k x x -=-消参得 22002200x b x a k

k y b a y =-⇒=-代

入00()y y k x x -=-得20

0020

()b x y y x x a y -=--

化为整式22222222

0000a y y b x x a y b x a b +=+=（因为点P 在椭圆上，所以

22222222

0000221x y a y b x a b a b

+=⇒+=）， 两边同除以22

a b 得椭圆的切线方程00221x x y y a b +=，与圆的切线方程做类比，形式相仿。

所以，过切点00(,)P x y 的椭圆的切线方程00221x x y y

a b

+=.